Transcription de la vidéo
Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par de huit fois 𝑥 puissance trois 𝑒, plus sept fois 𝑒 puissance moins huit 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on doit déterminer l’expression générale d’une primitive de la somme de deux fonctions. Tout d’abord, il est important de réaliser que 𝑒 est simplement une constante. Cela implique que huit fois 𝑥 puissance trois 𝑒 est un terme polynomial. Et par conséquent, puisque trois fois 𝑒 n’est pas égal à moins un, on peut intégrer ce terme en utilisant la formule pour intégrer les puissances . Puis en examinant le second terme de notre intégrande, on peut voir qu’on sait également comment l’intégrer. En effet, sept fois 𝑒 puissance moins huit 𝑥 est une fonction exponentielle.
On sait comment intégrer les deux termes de l’intégrande, donc on va séparer notre intégrale en deux parties, passant d’une somme de deux fonctions à une somme de deux intégrales. On obtient alors l’intégrale de huit fois 𝑥 puissance trois 𝑒 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de sept fois 𝑒 puissance moins huit 𝑥 par rapport à 𝑥. On peut maintenant intégrer ces deux termes séparément. Tout d’abord, on peut intégrer huit fois 𝑥 puissance trois 𝑒 en utilisant la formule pour intégrer les puissances. Cela implique d’ajouter un à notre puissance de 𝑥, puis de diviser par cette nouvelle puissance.
Enfin, on doit ajouter une constante d’intégration. Donc, on commence par ajouter un à notre puissance de 𝑥, ce qui nous donne x puissance trois 𝑒 plus un, puis on divise par trois 𝑒 plus un. Enfin, on ajoute une constante d’intégration qu’on note 𝑐 un. Donc, on a déterminé que cette intégrale est égale à huit 𝑥 puissance trois 𝑒 plus un, divisé par trois 𝑒 plus un, plus 𝑐 un. Passons à la seconde intégrale. Pour la calculer, on va utiliser l’une de nos formules pour intégrer les fonctions exponentielles.
Pour toutes constantes 𝑎 et 𝑛 où 𝑛 est différent de zéro, l’intégrale de 𝑎 fois 𝑒 puissance 𝑛𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑒 puissance 𝑛𝑥, divisé par 𝑛, plus la constante d’intégration 𝑐. Donc, il suffit de diviser par le coefficient de 𝑥 dans la puissance de 𝑒. Dans le cas de notre fonction, le coefficient de 𝑥 dans la puissance est de moins huit. Donc, on doit diviser notre intégrande par moins huit et ajouter une constante d’intégration. Cela nous donne sept fois 𝑒 puissance moins huit 𝑥, divisé par moins huit, plus la constante d’intégration 𝑐 deux.
On peut maintenant simplifier en réécrivant sept divisé par moins huit sous la forme moins sept huitièmes. Enfin, on combine nos deux constantes d’intégration, 𝑐 un et 𝑐 deux, en une nouvelle constante notée 𝑐. Et cela nous donne notre réponse finale. On a montré que l’intégrale de huit fois 𝑥 puissance trois 𝑒, plus sept fois 𝑒 puissance moins huit 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à huit fois 𝑥 puissance trois 𝑒 plus un, divisé par trois 𝑒 plus un, moins sept huitièmes fois 𝑒 puissance moins huit 𝑥, plus 𝑐.
