Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Intégrales indéfinies : fonctions exponentielles et inverses Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver l’intégrale indéfinie des fonctions exponentielles et des fonctions inverses 1𝑥.

Les intégrales indéfinies des fonctions exponentielles et des fonctions inverses ont de nombreuses applications concrètes étant donné que ces fonctions sont utilisées dans les modèles mathématiques de croissance démographique, de croissance cellulaire et de désintégration radioactive.

On peut résoudre les problèmes de ce type en utilisant les formules suivantes.

Définition : Intégrales des fonctions exponentielles et des fonctions inverses

𝑒𝑥=1𝑎𝑒+dC(1)

et

𝑎𝑥𝑥=𝑎|𝑥|+,dlnC(2)

pour 𝑎{0} afin d’éviter de diviser par zéro dans la première expression.

On peut vérifier l’exactitude de ces deux formules en appliquant l’inverse de l’intégration:la dérivation. En dérivant le membre de droite des formules ci-dessus, on constate que l’on obtient l’intégrande du membre de gauche:ddddln𝑥1𝑎𝑒=1𝑎(𝑎𝑒)=𝑒𝑥(𝑎|𝑥|)=𝑎𝑥.

Par conséquent, en intégrant on obtient 𝑒𝑥=𝑥1𝑎𝑒𝑥=1𝑎𝑒+,𝑎𝑥𝑥=𝑥(𝑎|𝑥|)𝑥=𝑎|𝑥|+.ddddCdddlndlnC

Ceci étant établi, comment s’y prendrait-on pour intégrer une expression du type 𝑎 (i.e., une exponentielle de base quelconque)?L’astuce consiste à utiliser le fait que 𝑒=𝑡ln et à appliquer les propriétés algébriques des logarithmes, en particulier lnln𝑎=𝑥𝑎:𝑎=𝑒=𝑒.lnln

On peut utiliser la formule pour les exponentielles de base 𝑒 donnée en (1) pour obtenir 𝑎𝑥=𝑒𝑥=1𝑎𝑒+=1𝑎𝑎+,ddlnClnClnln𝑎{1} pour éviter de diviser par zéro. Plus généralement, on a 𝑎𝑥=1𝑏𝑎𝑎+,dlnC pour 𝑎{1} et 𝑏{0}. Il n’est pas nécessaire de mémoriser ce résultat, car on peut le retrouver facilement en appliquant les propriétés arithmétiques du logarithme népérien à chaque base de l’exponentielle.

Prenons l’exemple d’une intégrale comprenant une fonction exponentielle et une fonction inverse, 𝐼(𝑥)=92𝑥12𝑒𝑥.d

On sait que l’intégrale de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou à la différence des intégrales de ces deux fonctions. Autrement dit, on peut séparer notre intégrale en deux, puis sortir les facteurs constants de ces deux intégrales. On obtient une constante d’intégration pour chaque intégrale;on peut combiner ces deux constantes en une seule, que l’on note C.

On applique les formules standard pour intégrer les fonctions exponentielles (1) et les fonctions inverses (2) et on trouve 𝐼(𝑥)=921𝑥𝑥12𝑒𝑥=92|𝑥|1213𝑒+=92|𝑥|+4𝑒+.ddlnClnC

S’il existe une condition aux limites, il devient possible de déterminer la constante d’intégration. Supposons que 𝐼(1)=0 soit une condition aux limites. Pour déterminer la constante C, on remplace par les valeurs de la condition aux limites, 𝐼(1)=92|1|+4𝑒+=0,lnC() puis on réarrange pour obtenir C=4𝑒.

Par conséquent, 𝐼(𝑥) peut s’écrire 𝐼(𝑥)=92|𝑥|+4𝑒4𝑒.ln

Passons maintenant à quelques exemples pour nous entraîner à calculer des intégrales de ce type et approfondir nos connaissances. Les deux premiers exemples concernent des fonctions exponentielles de bases différentes.

Exemple 1: Intégrer un quotient comprenant des fonctions exponentielles en distribuant la division

Déterminez 8𝑒𝑒+97𝑒𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction comprenant des exponentielles de base 𝑒.

On commence par séparer les différentes parties du numérateur de l’intégrande, puis on divise chacune d’entre elles par 𝑒 pour obtenir 8𝑒𝑒+97𝑒=87𝑒𝑒17𝑒𝑒+971𝑒=87𝑒𝑒7+97𝑒.

On va à présent séparer l’intégrale de la même manière et sortir les facteurs constants des intégrales, ce qui nous permettra d’intégrer les termes exponentiels en appliquant la formule 𝑒𝑥=1𝑎𝑒+,𝑎{0}.dC

Pour chaque intégrale, on obtient une constante d’intégration;on peut toutes les combiner en une même constante C. On a donc 8𝑒𝑒+97𝑒𝑥=87𝑒𝑒7+97𝑒𝑥=87𝑒𝑥17𝑒𝑥+97𝑒𝑥=8712𝑒17(𝑒)+97(𝑒)+=47𝑒𝑒797𝑒+.dddddCC

Dans notre premier exemple, nous avons vu comment intégrer un certain nombre de fonctions exponentielles de base 𝑒. Nous allons maintenant voir comment utiliser les propriétés arithmétiques des exponentielles et des logarithmes pour intégrer une fonction exponentielle de base 2.

Exemple 2: Intégrer une fonction exponentielle dont la base est un entier

Déterminez 2𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction comprenant une exponentielle de base 2.

On commence par réécrire l’intégrale en base 𝑒, ce qui nous donne 2=𝑒=𝑒,lnln après avoir appliqué les propriétés des logarithmes. On peut maintenant intégrer les termes exponentiels en utilisant la formule 𝑒𝑥=1𝑎𝑒+,𝑎{0}.dC

On a alors 2𝑥=𝑒𝑥=192𝑒+=1922+=292+.ddlnClnClnClnln

Dans le prochain exemple, nous verrons comment appliquer la formule (2) de la définition pour intégrer une fonction inverse.

Exemple 3: Intégrer une fonction inverse

Déterminez 27𝑥𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction inverse.

Pour calculer cette intégrale, il suffit de sortir la constante et d’appliquer la formule pour les fonctions inverses:𝑎𝑥𝑥=𝑎|𝑥|+,𝑎.dlnC

On a donc 27𝑥𝑥=271𝑥𝑥=27|𝑥|+.ddlnC

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous appliquerons à nouveau cette formule après avoir séparé le quotient de l’intégrande en plusieurs parties.

Exemple 4: Intégrer une fonction rationnelle en scindant le quotient

Déterminez (2𝑥5)𝑥𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction rationnelle. Dans un cas comme celui-ci, notre premier instinct pourrait être d’utiliser l’intégration par changement de variable. Cependant, en réécrivant le numérateur de l’intégrande sous forme développée, on s’apercevra que l’on peut simplifier l’intégrande en divisant chaque terme du numérateur par le 𝑥 du dénominateur.

Pour commencer, on développe le numérateur de l’intégrande pour obtenir un polynôme du second degré, puis on divise chacun de ses termes par 𝑥:(2𝑥5)𝑥=4𝑥+20𝑥+25𝑥=(4𝑥+20)+25𝑥.

La première expression de l’intégrande contient un terme linéaire, que l’on peut intégrer en utilisant la formule pour intégrer les puissances;la seconde expression est un inverse, que l’on peut intégrer en utilisant la formule pour intégrer les inverses:𝑎𝑥𝑥=𝑎|𝑥|+,𝑎.dlnC

On a donc (2𝑥5)𝑥𝑥=(4𝑥+20)+25𝑥𝑥=(4𝑥+20)𝑥+251𝑥𝑥=2𝑥+20𝑥+25|𝑥|+.ddddlnC

Jusqu’ici, nous avons appliqué nos formules pour trouver la solution générale à des intégrales contenant des exponentielles ou des inverses. Pour trouver une solution particulière à ce type de problème, il faut déterminer la constante d’intégration en appliquant une condition aux limites.

Exemple 5: Appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour intégrer une fonction rationnelle avec des conditions aux limites

Trouvez, si possible, une primitive 𝐹 de 𝑓(𝑥)=12𝑥1 vérifiant les conditions 𝐹(0)=1 et 𝐹(1)=1.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver la primitive vérifiant certaines conditions aux limites d’une fonction inverse.

D’après le premier théorème fondamental de l’analyse, 𝐹(𝑥) est l’intégrale indéfinie de 𝑓(𝑥), donc on a:𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥=12𝑥1𝑥.dd

Certains reconnaîtrons ce résultat directement;si ce n’est pas notre cas, on peut utiliser l’intégration par changement de variable. Pour cela, on commence par observer que l’intégrande est une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=12𝑥1, avec 𝑓(𝑥)=1𝑥 et 𝑔(𝑥)=2𝑥1. Il en découle que l’on peut faire la substitution suivante:𝑢=𝑔(𝑥)=2𝑥1.

La dérivée par rapport à 𝑥 de cette expression est dd𝑢𝑥=2 que l’on peut aussi écrire sous la forme suivante en réarrangeant les différentielles:dd𝑥=𝑢2.

On procède ensuite au changement de variable, passant de 𝑥 à 𝑢, puis on intègre l’expression résultante en utilisant la formule pour les fonctions inverses, 𝑎𝑢𝑢=𝑎|𝑢|+,𝑎.dlnC

On obtient 𝐹(𝑥)=12𝑥1𝑥=1𝑢𝑢2=121𝑢𝑢=12|𝑢|+.dddlnC

On applique à présent la substitution inverse 𝑢=2𝑥1 pour retrouver une expression en fonction de la variable 𝑥:𝐹(𝑥)=12|2𝑥1|+.lnC

On peut à présent utiliser les conditions aux limites 𝐹(0)=1 et 𝐹(1)=1. Notre solution comportant une valeur absolue, on rappelle la définition de |𝑥|:|𝑥|=𝑥𝑥0,𝑥𝑥<0.pourpour

On rappelle également que le log népérien, ln𝑥, n’est pas défini en 𝑥=0;par conséquent, pour ln|𝑥|, on doit considérer les valeurs de 𝑥0:lnlnpourlnpour|𝑥|=𝑥𝑥>0,(𝑥)𝑥<0.

On doit aussi définir la constante d’intégration C sur chaque partie de notre fonction définie par morceaux;on a donc, pour un certain 𝑎, CCpourCpour=𝑥>𝑎,𝑥<𝑎.

Séparer la constante d’intégration est essentiel, car elle prend différentes valeurs en fonction de la valeur de 𝑥 pour laquelle la fonction est définie. Par conséquent, 𝐹(𝑥)=12|2𝑥1|+=12(2𝑥1)+2𝑥1>0𝑥>12,12(12𝑥)+2𝑥1<0𝑥<12.lnClnCpourlnCpour

La condition aux limites 𝐹(0)=1 ne peut être appliquée qu’à la seconde partie, pour laquelle 𝑥<12, car on est dans le cas 𝑥=0. On peut alors déterminer C:𝐹(0)=12(12(0))+=1=12(1)+=;lnClnCC donc, C=1.

De même, la condition aux limites 𝐹(1)=1 ne peut être appliquée qu’à la première partie, pour laquelle 𝑥>12, car on est dans le cas 𝑥=1. On peut alors déterminer C:𝐹(1)=12(2(1)1)+=1=12(1)+=;lnClnCC donc, C=1.

Par conséquent, la primitive 𝐹 de 𝑓(𝑥) qui vérifie les conditions aux limites données dans l’énoncé est 𝐹(𝑥)=12(12𝑥)+1𝑥<1212(2𝑥1)1𝑥>12.lnpourlnpour

Dans le prochain exemple, nous verrons comment intégrer une fonction comportant une racine et des exposants négatifs en utilisant la formule pour intégrer les fonctions inverses.

Exemple 6: Intégrer une fonction en développant un carré et en utilisant la formule pour intégrer les puissances

Déterminez 3𝑥+79𝑥𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver l’intégrale indéfinie du carré d’une somme comportant 𝑥.

On commence par développer l’intégrande en utilisant la première identité remarquable:3𝑥+79𝑥=9𝑥+143+4981𝑥.

On peut maintenant séparer notre intégrale en deux:la première intégrale contient un terme linéaire, que l’on peut intégrer en utilisant la formule pour intégrer les puissances;la seconde intégrale contient un terme inverse, que l’on peut intégrer en utilisant la formule pour les inverses:𝑎𝑥𝑥=𝑎|𝑥|+,𝑎.dlnC

On a donc 3𝑥+79𝑥𝑥=9𝑥+143+4981𝑥𝑥=9𝑥+143𝑥+49811𝑥𝑥=9𝑥2+14𝑥3+4981|𝑥|+.ddddlnC

Dans le dernier exemple, nous déterminerons une fonction à partir de sa dérivée seconde en intégrant une exponentielle à deux reprises.

Exemple 7: Trouver l’expression d’une fonction à partir de sa dérivée seconde en utilisant l’intégration indéfinie

Soit la dérivée seconde 𝑓(𝑥)=5𝑒+2𝑥;trouvez 𝑓(𝑥).

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver la fonction 𝑓(𝑥) à partir de l’expression de sa dérivée seconde donnée dans l’énoncé. L’intégration étant le processus inverse de la dérivation, on peut déterminer 𝑓(𝑥) en réalisant deux intégrations successives.

On commence par trouver 𝑓(𝑥) en utilisant le premier théorème fondamental de l’analyse. Pour intégrer l’expression de la dérivée seconde, on utilise la formule pour intégrer les puissance ainsi que la formule pour intégrer les exponentielles, 𝑒𝑥=1𝑎𝑒+,𝑎{0},dC et on obtient 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥=5𝑒+2𝑥𝑥=5𝑒𝑥+2𝑥𝑥=514𝑒+13𝑥+=54𝑒+13𝑥+.ddddCC

Enfin, on utilise à nouveau le théorème fondamental de l’analyse pour déterminer 𝑓(𝑥) en intégrant l’expression de la dérivée première:𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥=54𝑒+13𝑥+𝑥=54𝑒𝑥+13𝑥+𝑥=5414𝑒+𝑥21+𝑥+=516𝑒+𝑥21+𝑥+.dCddCdCDCD

Points clés

  • On peut évaluer les intégrales indéfinies comprenant des exponentielles ou des inverses en utilisant les formules suivantes:𝑒𝑥=1𝑎𝑒+.dC et 𝑎𝑥𝑥=𝑎|𝑥|+.dlnC
  • Pour intégrer un terme exponentiel de base a, on peut appliquer la substitution 𝑎=𝑒ln pour déduire la formule générale suivante:𝑎𝑥=1𝑏𝑎𝑎+dlnC𝑎𝑥𝑥=𝑎|𝑥|+.dlnC

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.