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Intégrales indéfinies : fonctions exponentielles et inverses
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer des intégrales indéfinies de fonctions exponentielles et de fonctions inverses. Pour cela, nous aurons besoin de deux dérivées usuelles impliquant la fonction exponentielle et la fonction inverse. Ces deux formules nous permettront de déterminer des primitives de fonctions exponentielles et inverses. En particulier, nous verrons comment déterminer l’intégrale indéfinie de fonctions exponentielles de la forme 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 et des fonctions inverses de la forme 𝑎 sur 𝑥. Rappelons que pour déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction, il faut déterminer une primitive de cette fonction. Pour cela, une méthode consiste à appliquer nos formules de dérivation dans le sens inverse. Par exemple, si 𝑓 de 𝑥 est la fonction exponentielle 𝑒 puissance 𝑥, alors on sait que 𝑓 prime de 𝑥 est elle aussi égale 𝑒 puissance 𝑥.
Cela nous apprend deux choses. Tout d’abord, on a ce résultat explicitement donné. La dérivée de 𝑒 puissance 𝑥 est égale à 𝑒 puissance 𝑥. Ensuite, on peut en déduire que 𝑒 puissance 𝑥 est une primitive de 𝑒 puissance 𝑥. Par conséquent, 𝑒 puissance 𝑥 plus 𝐶 est l’expression générale des primitives de cette fonction exponentielle. Autrement dit, l’intégrale indéfinie de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑒 puissance 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Nous passerons dans un instant aux fonctions inverses. Mais avant cela, examinons deux autres formes de fonctions exponentielles.
On considère à présent les fonctions exponentielles de la forme 𝑒 à la puissance 𝑎 fois 𝑥, où 𝑎 est une constante réelle. Dériver les fonctions de cette forme ne nous pose pas de problème. On sait qu’ici, la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 sera égale à 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥. On a simplement multiplié l’expression par le coefficient de 𝑥. Ce résultat peut lui aussi être transformé en une formule d’intégration. L’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 plus 𝐶. Mais on rencontre plus souvent des fonctions de la forme 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥. Donc, on va essayer d’éliminer cette valeur de 𝑎. Il suffit en fait de multiplier notre fonction d’origine par un sur 𝑎, en supposant que notre valeur 𝑎 est non nulle. Notre fonction 𝑓 prime de 𝑥 devient un sur 𝑎 fois 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥, ce qui est égal à 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥.
On a montré que un sur 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 est une primitive de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥, à condition que la constante 𝑎 ne soit pas nulle; par conséquent, on a aussi montré que l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥, par rapport à 𝑥, est égale à un sur 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 plus 𝐶, à condition que 𝑎 soit non nulle.
Il nous reste encore un type de fonction exponentielle à traiter avant de passer aux fonctions inverses. Les fonctions exponentielles vues jusqu’ici étaient de base 𝑒, mais on peut aussi regarder ce qu’il se passe dans le cas général. Considérons la fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 puissance 𝑥, où notre base 𝑎 doit être strictement positive et différente de un. Alors, 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑎 puissance 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑎. Comme précédemment, on peut transformer ce résultat en une formule d’intégration. On a montré que 𝑎 puissance 𝑥 est une primitive de 𝑎 puissance 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑎.
Par conséquent, l’intégrale par rapport à 𝑥 de 𝑎 puissance 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑎 est égale à 𝑎 puissance 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶, à condition que la constante 𝑎 soit strictement positive et différente de un. Et puisque 𝑎 n’est pas égale à un, on peut diviser par le logarithme népérien de 𝑎. On trouve donc que l’intégrale indéfinie de 𝑎 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale 𝑎 puissance 𝑥 sur le logarithme népérien de 𝑎 plus la constante d’intégration 𝐶. Notons qu’on peut écrire 𝐶 dans les deux cas, car 𝐶 désigne simplement une constante. Et puisque la division de la première constante par le logarithme népérien de 𝑎 donne simplement une autre constante, on peut écrire 𝐶 dans les deux cas. Passons maintenant aux fonctions inverses.
Pour déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction inverse, on doit trouver une fonction dont la dérivée est la fonction inverse. On sait que si 𝑓 de 𝑥 est le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, alors 𝑓 prime de 𝑥 est égale à un sur 𝑥. Par conséquent, le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 est une primitive de un sur 𝑥, donc l’intégrale indéfinie de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶. Pour généraliser légèrement ce résultat, on peut multiplier la fonction d’origine par 𝑎.
Si 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, alors 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑎 sur 𝑥, donc, pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶. Passons maintenant à des exemples dans lesquels nous utiliserons ces résultats pour évaluer des intégrales plus compliquées.
Déterminez l’intégrale indéfinie par rapport à 𝑥 de huit fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins 𝑒 à la puissance deux 𝑥 plus neuf divisé par sept 𝑒 puissance 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer l’intégrale indéfinie d’une expression exponentielle. À première vue, évaluer cette intégrale peut nous sembler difficile. On se dit peut-être qu’un changement de variable est nécessaire. Mais n’oublions pas qu’il faut toujours vérifier si l’expression dans l’intégrale peut être simplifiée. Ici, on peut diviser chaque terme du numérateur par le dénominateur; pour cela, il suffit de soustraire l’exposant de 𝑒 du dénominateur à celui de chacun des termes du numérateur. Cela nous donne l’intégrale par rapport à 𝑥 de huit sur sept fois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 moins un sur sept fois 𝑒 puissance 𝑥 plus neuf sur sept fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥.
On peut voir que l’on sait comment intégrer séparément chacun des termes de l’expression obtenue. On va donc séparer notre intégrale en trois intégrales distinctes. On rappelle en effet que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme de leurs intégrales. Cela nous donne l’expression suivante. On peut ensuite simplifier chaque terme séparément. On sort les facteurs constants de chacune de nos intégrales. Cela nous donne alors huit sur sept fois l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance deux 𝑥 par rapport à 𝑥 moins un sur sept fois l’intégrale indéfinie de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 plus neuf sur sept fois l’intégrale de 𝑒 à la puissance moins 𝑥 par rapport à 𝑥.
On peut maintenant évaluer chacune de ces intégrales indéfinies séparément. Pour cela, on rappelle que pour toute constante réelle 𝑎 non nulle, l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Nous utiliserons cette formule pour évaluer chaque intégrale séparément. Commençons par la première intégrale, l’intégrale de 𝑒 à la puissance deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Notre constante 𝑎 est ici égale à deux. Donc, on remplace 𝑎 par deux dans notre formule. Cela nous donne un demi fois 𝑒 à la puissance deux 𝑥. Puis on doit multiplier ce résultat par huit sur sept. N’oublions pas que puisqu’on évalue la somme de plusieurs intégrales indéfinies, on obtiendra une constante d’intégration pour chaque intégrale. On peut combiner toutes ces constantes en une seule constante que l’on additionne à la fin de l’expression. Ainsi, on n’a besoin de se soucier de la constante 𝐶 qu’à la fin du calcul.
Passons maintenant à notre deuxième intégrale. On sait que 𝑒 puissance 𝑥 est équivalent à 𝑒 à la puissance un fois 𝑥. Donc notre constante 𝑎 est ici égale à un. Déterminer la valeur de 𝑎 n’était pas vraiment nécessaire, car on sait que l’intégrale de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑒 puissance 𝑥. Si l’on souhaite toute de même utiliser notre formule, on remplace 𝑎 par un et on obtient un sur un fois 𝑒 à la puissance un 𝑥, ce qui fait 𝑒 puissance 𝑥. Ainsi, en évaluant notre deuxième intégrale et en multipliant par moins un sur sept, on obtient moins un sur sept fois 𝑒 puissance 𝑥.
Évaluons pour finir la troisième intégrale. Notre constante 𝑎 est égale à moins un. En remplaçant 𝑎 par moins un dans notre formule, on obtient un sur moins un fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Il faut ensuite multiplier ce résultat par neuf sur sept. Et n’oublions pas d’ajouter une constante d’intégration à la fin de notre expression. On peut maintenant faire quelques simplifications. Un sur moins un est simplement égal à moins un. Ainsi, au lieu d’additionner ce terme, on peut soustraire celui-ci. On remarque aussi que le premier terme a un facteur commun, égal à deux, au numérateur et au dénominateur. On peut l’annuler pour obtenir un facteur de quatre sur sept.
On obtient alors notre réponse finale. L’intégrale par rapport à 𝑥 de huit 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins 𝑒 à la puissance deux 𝑥 plus neuf sur sept 𝑒 à puissance 𝑥 est égale à quatre sur sept fois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 moins 𝑒 puissance 𝑥 sur sept moins neuf sur sept 𝑒 à la puissance moins 𝑥, plus la constante d’intégration 𝐶.
Dans l’exemple précédent, nous avons pu réécrire notre intégrale de manière à pouvoir intégrer chaque terme en utilisant nos formules pour intégrer les exponentielles. On a aussi remarqué qu’on aurait pu tenter une intégration par changement de variable, mais que cela aurait été plus difficile. Le prochain exemple sera similaire en cela. On pourra choisir d’intégrer par changement de variable ou bien de réécrire l’expression dans l’intégrale.
Déterminez l’intégrale indéfinie de deux puissance neuf 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer l’intégrale d’une fonction exponentielle. On remarque qu’elle ressemble à l’une de nos formules d’intégration. En effet, on sait que pour toute constante 𝑎 strictement positive et différente de un, l’intégrale de 𝑎 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 puissance 𝑥 sur le logarithme népérien de 𝑎, plus la constante d’intégration 𝐶. Ici cependant, la puissance n’est pas simplement égale à 𝑥, mais à neuf 𝑥. Donc, on ne peut pas directement appliquer notre formule. Il existe deux manières différentes de résoudre ce problème. On pourrait essayer d’intégrer par changement de variable. Pour cela, on poserait 𝑢 égale neuf 𝑥. On pourrait alors réécrire notre intégrale sous cette forme. Mais il existe en fait une méthode plus simple.
On peut simplement utiliser les propriétés des puissances. En effet, on sait que deux puissance neuf 𝑥 est égal à deux à la puissance neuf, le tout à la puissance 𝑥. Ainsi, on peut réécrire notre intégrale comme l’intégrale par rapport à 𝑥 de deux à la puissance neuf, le tout à la puissance 𝑥. Notre constante 𝑎 est alors égale à deux puissance neuf. Ici, on pourrait remplacer deux puissance neuf par 512. Mais on va plutôt remplacer 𝑎 par deux puissance neuf dans notre formule. Cela nous donne deux à la puissance neuf, le tout à la puissance 𝑥, sur le logarithme népérien de deux puissance neuf, plus la constante d’intégration 𝐶. On comprend alors pourquoi il était plus judicieux de ne pas remplacer deux puissance neuf par 512.
On peut simplifier le numérateur à l’aide des propriétés des puissances et le dénominateur à l’aide de la propriété du logarithme d’une puissance. Au numérateur, deux à la puissance neuf, le tout à la puissance 𝑥, est égal à deux puissance neuf 𝑥. Au dénominateur, d’après la propriété du logarithme d’une puissance, on a que le logarithme népérien de deux puissance neuf est égal à neuf fois le logarithme népérien de deux ; ce qui nous donne notre réponse finale. L’intégrale de deux puissance neuf 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à deux puissance neuf 𝑥 sur neuf fois le logarithme népérien de deux, plus la constante d’intégration 𝐶.
La méthode utilisée dans cet exemple permet également d’établir une formule générale pour intégrer les exponentielles de base 𝑎. Appliquons-la à l’intégrale indéfinie de 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥 par rapport à 𝑥. On réécrit notre expression dans l’intégrale sous la forme 𝑎 puissance 𝑏, le tout à la puissance 𝑥, puis on utilise notre formule d’intégration. Puis, on réécrit le numérateur à l’aide des propriétés des puissances et le dénominateur à l’aide de la propriété du logarithme d’une puissance. On obtient 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥 sur 𝑏 fois le logarithme népérien de 𝑎, plus la constante d’intégration 𝐶.
Voyons maintenant un exemple dans lequel nous intégrerons une fonction inverse.
Déterminez l’intégrale indéfinie de moins deux sur sept 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer l’intégrale indéfinie d’une fonction inverse. On peut faire cela directement à l’aide de l’une de nos formules d’intégration. Pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale indéfinie de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Ici, on peut remarquer que la valeur de notre constante 𝑎 est de moins deux sur sept. La valeur de 𝑎 est parfois difficile à identifier, donc on va plutôt sortir le facteur constant moins deux sur sept de l’intégrale. On obtient alors moins deux sur sept fois l’intégrale par rapport à 𝑥 de la fonction inverse, un sur 𝑥.
On sait que l’intégrale de la fonction inverse est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. On peut utiliser cette formule ou bien remplacer 𝑎 par un dans notre formule pour intégrer les fonctions inverses. Que l’on utilise l’une ou l’autre de ces méthodes, on trouve que l’intégrale indéfinie de moins deux sur sept 𝑥 est égale à moins deux sur sept fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶. Notons qu’on peut toujours vérifier notre résultat en le dérivant. En effet, calculer l’intégrale indéfinie d’une fonction revient à déterminer l’expression générale de ses primitives. Ce qui signifie que lorsqu’on dérive notre fonction finale par rapport à 𝑥, on doit obtenir notre expression dans l’intégrale.
On vérifie notre réponse en calculant la dérivée par rapport à 𝑥 de moins deux sur sept fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶. Rappelons tout d’abord que la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 est égale à un sur 𝑥. Ainsi, lorsqu’on dérive le premier terme de la somme par rapport à 𝑥, on obtient moins deux sur sept fois un sur 𝑥. Le second terme est une constante, donc son taux de variation par rapport à 𝑥 est nul. On obtient donc moins deux sur sept fois un sur 𝑥, qu’on peut simplifier en moins deux sur sept 𝑥. On retrouve bien notre expression, donc cela confirme que notre réponse est correcte. Ainsi, l’intégrale indéfinie de moins deux sur sept 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins deux sur sept fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶.
Dans le prochain exemple, nous utiliserons des conditions aux limites pour déterminer une primitive spécifique d’une fonction inverse donnée.
Trouvez, si possible, une primitive 𝐹 majuscule de la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 égale à un sur deux 𝑥 moins un, vérifiant les conditions 𝐹 majuscule de zéro égale un et 𝐹 majuscule de un égale moins un.
Dans cet exemple, on nous donne une fonction inverse et on doit déterminer la primitive qui vérifie deux conditions appelées conditions aux limites. Pour cela, rappelons qu’on peut déterminer une primitive d’une fonction par intégration indéfinie. En particulier, l’intégrale indéfinie de un sur deux 𝑥 moins un par rapport à 𝑥 nous donnera l’expression générale des primitives de cette fonction. On sait comment intégrer la fonction inverse. Mais on observe que le dénominateur est ici une fonction affine. Donc, nous allons opter pour une intégration par changement de variable.
On pose que la variable 𝑢 est égale au dénominateur, deux 𝑥 moins un. On rappelle que pour intégrer par changement de variable, on doit trouver une équation impliquant les différentielles. Pour la trouver, on peut dériver par rapport à 𝑥 les deux membres de notre changement de variable. Puisque deux 𝑥 moins un est une fonction affine, sa dérivée par rapport à 𝑥 est égale au coefficient de 𝑥, qui est ici de deux. Même si d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction, on peut, dans une certaine mesure, traiter cela comme une fraction lorsqu’on intègre par changement de variable. Cela nous permettra de trouver une équation impliquant les différentielles. Cela nous donne un demi d𝑢 égale d𝑥.
On peut maintenant faire notre intégration par changement de variable. Cela nous permet de réécrire notre intégrale différemment. Le dénominateur de l’expression dans l’intégrale devient 𝑢 et on remplace d𝑥 par un demi d𝑢. On obtient l’intégrale par rapport à 𝑢 de un sur 𝑢 fois un sur deux. On peut légèrement simplifier cette intégrale en sortant le facteur constant un demi de l’intégrale. Cela nous donne un demi fois l’intégrale indéfinie de un sur 𝑢 par rapport à 𝑢. On peut maintenant évaluer cette intégrale en utilisant le fait que l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶. Dans notre cas, la variable est 𝑢. Donc, on a un demi fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑢 plus la constante d’intégration 𝐶.
Notons qu’il n’est pas nécessaire de multiplier notre constante par un demi, car un demi fois une constante est égal à une autre constante, que l’on peut aussi noter 𝐶. Mais n’oublions pas que notre expression d’origine et notre fonction d’origine, 𝑓 minuscule de 𝑥, dépendent de 𝑥. Il nous faut donc exprimer notre réponse en fonction de la variable 𝑥. Pour cela, on fait le changement de variable dans le sens inverse. On obtient un demi fois le logarithme népérien de la valeur absolue de deux 𝑥 moins un plus 𝐶. À ce stade, on pourrait être tenté d’appeler cette fonction 𝐹 majuscule, puis de remplacer 𝑥 par zéro et par un pour déterminer la valeur de 𝐶. Il est vrai qu’en règle générale, cette méthode fonctionne ; mais elle ne fonctionnera pas ici, car nous utilisons une notation abrégée.
En effet, on prend le logarithme népérien de la valeur absolue de deux 𝑥 moins un. Par conséquent, il s’agit d’une fonction définie par morceaux. Ceci est cohérent avec le fait que le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 se dérive en deux parties. Quand 𝑥 est supérieur à zéro, la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est égale à un sur 𝑥 ; quand 𝑥 est inférieur à zéro, la dérivée du logarithme népérien de moins 𝑥 est égale à un sur 𝑥. De même, le résultat de notre intégration est une fonction définie par morceaux dont la valeur dépend du signe de l’argument du logarithme.
Donc, il faut le réécrire sous la forme d’une fonction définie par morceaux. Pour cela, on remarque que lorsque 𝑥 est supérieur à un demi, deux 𝑥 moins un est strictement positif et que lorsque 𝑥 est inférieur à un demi, deux 𝑥 moins un est strictement négatif. Ainsi, si 𝑥 est supérieur à un demi, alors la valeur absolue de deux 𝑥 moins un est simplement égale à deux 𝑥 moins un. Si 𝑥 est inférieur à un demi, alors deux 𝑥 moins un est négatif. Dans ce cas, la valeur absolue de deux 𝑥 moins un est égale à moins un fois deux 𝑥 moins un, c’est-à-dire un moins deux 𝑥.
On peut maintenant écrire notre fonction définie par morceaux, 𝐹 majuscule de 𝑥. Elle est égale à un demi fois le logarithme népérien de deux 𝑥 moins un plus la constante d’intégration, notée 𝐶 un, si 𝑥 est supérieur à un demi. De plus, elle est égale à un demi fois le logarithme népérien de un moins deux 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶 deux, si 𝑥 est inférieur à un demi. Ici, il est important de noter que nos deux constantes d’intégration sont différentes. En effet, n’oublions pas que lorsqu’on dérive cette fonction, on doit dériver chaque sous-fonction séparément sur l’ensemble de définition correspondant. Peu importe la valeur de ces constantes, leurs dérivées sont toujours égales à zéro.
Enfin, notons que 𝑥 est égale un demi n’appartient à aucun des ensembles de définition de nos deux sous-fonctions. Donc on n’a pas à s’occuper de cette valeur si on veut dériver 𝐹 majuscule de 𝑥. Ceci est dû au fait que un demi n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction d’origine, 𝑓 minuscule de 𝑥. On peut maintenant déterminer les valeurs de 𝐶 un et 𝐶 deux à partir des valeurs données dans l’énoncé. On commence par remplacer 𝑥 par zéro dans notre fonction définie par morceaux. Pour cela, on remarque que zéro est inférieur à un demi et on en déduit qu’il nous faut utiliser la seconde sous-fonction. On obtient que 𝐹 majuscule de zéro est égale à un demi fois le logarithme népérien de un moins deux fois zéro, plus 𝐶 deux. On nous dit dans la question que 𝐹 majuscule de zéro est égale à un.
On doit évaluer le logarithme de un moins deux fois zéro, ou autrement dit, le logarithme de un. On sait que le logarithme népérien de un vaut zéro ; donc, ce terme est égal à zéro. On a donc montré que un est égal à 𝐶 deux. On peut maintenant remplacer 𝑥 par un dans notre fonction 𝐹 majuscule pour déterminer la valeur de 𝐶 un. Puisque un est supérieur à un demi, on est cette fois-ci dans l’ensemble de définition de la première sous-fonction. Ainsi, on a 𝐹 majuscule de un égale un demi fois le logarithme népérien de deux fois un moins un plus 𝐶 un. D’après l’énoncé, 𝐹 majuscule de un est égale à moins un, donc on peut écrire que deux fois un moins un est égal à un. On sait que logarithme népérien de un est égal à zéro. Ainsi, on obtient, en simplifiant, que 𝐶 un est égal à moins un.
Il ne nous reste plus qu’à remplacer ces valeurs de 𝐶 un et 𝐶 deux dans notre fonction 𝐹 de 𝑥. On obtient alors la fonction suivante. Techniquement, on peut écrire nos deux sous-fonctions dans n’importe quel ordre, mais on choisit généralement de commencer par celle dont l’ensemble de définition est le plus à gauche. La condition 𝑥 est inférieur à un demi renvoie au côté gauche de la droite réelle, donc on l’écrit en premier dans notre fonction. Et on obtient ainsi notre réponse finale. La fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 est égale à un demi fois le logarithme népérien de un moins deux 𝑥 plus un, si 𝑥 est inférieur à un demi. La fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 est égale à un demi fois le logarithme népérien de deux 𝑥 moins un moins un, si 𝑥 est supérieur à un demi.
Récapitulons à présent les points clés de cette vidéo. Premièrement, inverser les formules pour dériver les fonctions exponentielles nous a permis d’établir des formules équivalentes pour les intégrales indéfinies. Par exemple, nous avons montré que l’intégrale indéfinie de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑒 puissance 𝑥 plus 𝐶. Et pour toute constante réelle 𝑎 non nulle, l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 plus 𝐶.
Enfin, pour une constante réelle 𝑎 strictement positive et différente de un, l’intégrale indéfinie de 𝑎 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 puissance 𝑥 sur le logarithme népérien de 𝑎, plus 𝐶. Deuxièmement, nous avons utilisé une autre dérivée usuelle pour montrer que pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale indéfinie de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶.
