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Sachant que l’angle 𝐴 a comme bissectrice 𝐷𝐴, que 𝐴𝐵 égale 38, 𝐴𝐶 égale 18, et 𝐵𝐶 égale 28, déterminez les longueurs de 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶.
On peut d'abord noter sur notre figure les informations qui nous sont données. 𝐴𝐵 égale 38. 𝐴𝐶 égale 18. Il faut faire attention puisque nous avons la distance 𝐵𝐶 et 𝐵𝐶 égale 28. On pourrait croire qu'il n'y a pas grand-chose à dire. Mais puisque nous savons que le segment 𝐷𝐴 est la bissectrice issue de l'angle 𝐴, on peut utiliser le théorème de la bissectrice, qui nous dit que la bissectrice d'un triangle divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côtés adjacents.
Les côtés opposés sont 𝐷𝐶 et 𝐷𝐵 et les côtés adjacents 𝐴𝐵 et 𝐴C. Comme ces longueurs de côtés sont proportionnelles les unes aux autres, cela signifie que le rapport entre les côtés opposés et adjacents sera égal. 𝐴𝐶 sur 𝐷𝐶 doit être égal à 𝐴𝐵 sur 𝐷𝐵. On sait que 𝐴𝐶 égale 18 et 𝐴𝐵 égale 38. Mais cette seule équation ne suffit pas pour trouver 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶. Il faut donc écrire une deuxième équation. Nous savons que 𝐵𝐶 égale 28 et que 𝐵𝐶 est composée de deux segments : 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶. On peut donc dire que la somme de 𝐷𝐵 et 𝐷𝐶 égale 28. On a maintenant deux équations qu'on peut utiliser pour déterminer les longueurs manquantes des côtés.
En regardant la deuxième équation, on peut essayer de déterminer 𝐷𝐵. Cela signifie trouver 𝐷𝐵. Pour cela, on soustrait 𝐷𝐶 des deux membres de l'équation. Ensuite, nous pourrions dire que 𝐷𝐵 égale 28 moins 𝐷𝐶. Puisque nous savons à quoi 𝐷𝐵 est égale, on peut reprendre cette information et la réintégrer dans notre première équation. Si 18 sur 𝐷𝐶 égale 38 sur 𝐷𝐵 et 𝐷𝐵 égale 28 moins 𝐷𝐶, alors on met 28 moins 𝐷𝐶 au dénominateur. On a maintenant deux variables 𝐷𝐶 au dénominateur. Et on voudrait les avoir au numérateur. Pour cela, on fait une multiplication en croix des numérateurs et des dénominateurs. 18 fois 28 moins 𝐷𝐶 égale 38 fois 𝐷𝐶. À gauche, on devra développer cela fois 18. 18 fois 28 égale 504 et 18 fois moins 𝐷𝐶 égale moins 18 𝐷𝐶.
Nous avons donc 504 moins 18 𝐷𝐶 égale 38 𝐷𝐶. On veut avoir 𝐷𝐶 au même membre de l'équation. Donc, on ajoute 18 𝐷𝐶 aux deux membres. 38 plus 18 font 56. Donc 504 égale 56 𝐷𝐶. On divise les deux membres de l'équation par 56, 504 sur 56 égale neuf et 56 𝐷𝐶 sur 56 égale 𝐷𝐶. Et cela signifie que 𝐷𝐶 égale neuf. On peut ajouter ça à notre schéma. 𝐷𝐶 égale neuf. Ça revient au même que 𝐶𝐷 égale neuf. L'ordre des extrémités n'a pas d'importance. Comme nous savons que 𝐷𝐶 égale neuf, on peut dire que 𝐷𝐵 égale 28 moins neuf. 28 moins neuf égale 19. On peut donc dire que 𝐷𝐵 égale 19.
Vérifions quelques points ici. D'abord, est-ce que neuf plus 19 égale 28 ? Oui, c'est le cas. Et ensuite, vérifions ces relations proportionnelles. Est-ce que 18 sur neuf égale 38 sur 19 ? Si on divise 18 par neuf, on obtient deux. Et si nous divisons 38 par 19, on obtient aussi deux. Deux est égal à deux. Ces relations sont donc proportionnelles les unes aux autres. Et nous pouvons dire que 𝐷𝐵 égale 19 et 𝐷𝐶 égale neuf.
