Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser le théorème de la bissectrice dans un triangle et sa réciproque pour déterminer une longueur inconnue dans un triangle
Dans un triangle, une bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments de plus petites longueurs. Que peut-on dire du rapport des longueurs de ces segments?La réponse à cette question nous est donnée par le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle.
Théorème: Théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle
Dans un triangle, la bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côtés adjacents.
C’est-à-dire,
Démontrons ce théorème. Nous commençons par tracer, la droite qui passe par le sommet et qui est parallèle à . Puis nous prolongeons au-delà du point , jusqu’à ce que coupe au point .
Puisque est la bissectrice de l’angle , nous savons que cet angle est divisé en deux angles égaux de sommet , comme indiqué sur la figure. Et puisque :
Les angles et sont des angles correspondants, donc ils ont la même mesure.
Les angles et sont des angles alternes-internes, donc ils ont la même mesure.
Nous avons donc montré que les quatre angles indiqués sur la figure ont tous la même mesure. Nous remarquons dans le triangle que nous avons deux droites parallèles, et , coupées par deux sécantes, et , donc nous avons
Enfin, nous notons que le triangle est isocèle, car , ce qui signifie que . Nous avons donc
Si nous réécrivons cette égalité en utilisant le fait que et , nous obtenons l’énoncé du théorème.
Dans notre premier exemple, nous appliquerons le théorème de la bissectrice intérieure pour déterminer deux longueurs inconnues dans un triangle.
Exemple 1: Déterminer les longueurs de deux des côtés d’un triangle en utilisant le théorème de la bissectrice intérieure
Sur la figure ci-dessous, est la bissectrice de , , et le triangle a un périmètre de 57. Déterminez les longueurs de et .
Réponse
D’après l’énoncé, nous savons que est la bissectrice intérieure de l’angle dans le triangle . Rappelons le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle. Dans un triangle, la bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côtés adjacents. Dans notre figure, cela implique que
Et puisque et , nous avons
Nous savons également que le triangle a un périmètre de 57. Nous rappelons que le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs des côtés de ce polygone. Par conséquent,
Le point divise en deux segments plus petits, et , donc nous avons et nous pouvons réécrire l’expression ci-dessus sous la forme
En utilisant le fait que et , nous avons
Nous revenons à notre équation précédente, que nous réécrivons sous la forme
En utilisant ce résultat dans l’équation (1) et en simplifiant, nous obtenons
En remplaçant cette valeur dans l’équation (2), nous obtenons
Par conséquent,
Passons à l’exemple suivant, dans lequel nous identifierons un terme inconnu en utilisant le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle.
Exemple 2: Utiliser le théorème de la bissectrice intérieure d’un triangle pour résoudre une équation algébrique
Sachant que , , et , déterminez la valeur numérique de .
Réponse
Nous pouvons voir sur la figure que est la bissectrice intérieure issue du sommet dans le triangle . Nous pouvons utiliser le théorème de la bissectrice, qui met en relation deux rapports de segments liés à une bissectrice. Pour la figure donnée, ce théorème nous permet d’écrire que
En remplaçant les valeurs et les expressions données dans l’énoncé, nous avons
Nous pouvons ensuite faire un produit en croix et simplifier pour obtenir
Dans les deux exemples précédents, le théorème de la bissectrice nous a permis de déterminer les longueurs de segments liés à une bissectrice intérieure dans un triangle. Nous allons voir que la réciproque du théorème est également vraie. Soit un triangle et un point situé sur le côté du triangle.
Si les longueurs des segments vérifient alors nous savons que le point se trouve sur la bissectrice intérieure issue du sommet dans le triangle .
Intéressons-nous maintenant à un théorème analogue, le théorème de la bissectrice extérieure d’un triangle.
Théorème: Théorème de la bissectrice extérieure d’un triangle
Nous considérons , un angle extérieur du triangle au sommet , dont la bissectrice coupe le prolongement du côté opposé à (la demi-droite ) au point , tel qu’illustré sur la figure ci-dessous.
Nous avons l’égalité suivante:
Bien que similaire, la démonstration du théorème de la bissectrice extérieure est un peu plus complexe que celle du théorème de la bissectrice intérieure. Faisons cette démonstration. Nous commençons par tracer la droite , qui passe par le sommet et est parallèle à . Cette droite coupe le prolongement du côté au point , comme illustré sur la figure ci-dessous.
Nous observons que les deux droites parallèles forment deux angles alterne-internes, et , qui sont par conséquent égaux. Nous en déduisons que le triangle est isocèle. Puisque les droites et sont parallèles, les triangles et sont semblables. En effet, ils ont un angle en commun, celui du sommet , et deux paires d’angles correspondants dus aux droites parallèles.
Il existe donc une constante strictement positive telle que
Prenons l’équation et réécrivons-la sous la forme
Puisque nous savons que le triangle est isocèle, nous avons . Il en découle que
Prenons maintenant l’équation et réécrivons-la sous la forme . En remplaçant ce résultat dans le membre de droite de l’équation (3), nous obtenons
Par conséquent,
Nous pouvons maintenant utiliser le fait que pour réécrire l’équation (4) sous la forme
En multipliant par des deux côtés et en réarrangeant, nous obtenons
Ceci est équivalent à l’égalité que nous recherchons, donc nous avons prouvé le théorème.
Passons à un exemple dans lequel nous appliquerons le théorème de la bissectrice extérieure pour trouver une longueur inconnue dans un triangle.
Exemple 3: Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle en utilisant le théorème de la bissectrice extérieure
Sachant que , et , quelle est la valeur de ?
Réponse
Nous pouvons voir sur la figure ci-dessus que est la bissectrice d’un angle extérieur du sommet dans le triangle . Nous rappelons que d’après le théorème de la bissectrice extérieure, nous avons l’égalité
Puisque , nous pouvons écrire que
Nous pouvons ensuite remplacer les longueurs qui nous sont données, , et , dans l’équation ci-dessus pour obtenir
L’équation comporte une longueur inconnue, , qui est la même que la longueur que nous recherchons, . En faisant un produit en croix et simplifiant l’équation résultante, nous obtenons
Ainsi, .
Dans le prochain exemple, nous appliquerons les deux théorèmes, celui de la bissectrice intérieure et celui de la bissectrice extérieure, pour déterminer le rapport des aires de deux triangles.
Exemple 4: Déterminez le rapport entre les aires de deux triangles en utilisant le théorème de la bissectrice
Sachant que , et , déterminez le rapport entre les aires des triangles et .
Réponse
Nous considérons les aires des triangles et . Nous savons que la formule de l’aire d’un triangle est
La hauteur de ces deux triangles est donnée par la longueur du segment dont l’une des extrémités est le point et l’autre extrémité est le projeté orthogonal de ce point sur le segment . Traçons cette hauteur et notons-la , comme illustré sur la figure ci-dessous.
Dans le triangle , la longueur de la base est et dans le triangle , la longueur de la base est . Par conséquent,
Nous un avons un facteur commun dans les deux aires, donc leur rapport peut s’écrire
Nous ne connaissons aucune de ces deux longueurs, alors revenons à notre figure. Nous pouvons voir que est la bissectrice intérieure du sommet du triangle et que est une bissectrice d’un angle extérieur du sommet dans le triangle . Rappelons nos deux théorèmes relatifs aux rapports de segments liés aux bissectrices intérieures ou extérieures d’un triangle. Ces deux théorèmes nous donnent les égalités suivantes:
En remplaçant les longueurs connues, , et , dans ces deux égalités, nous obtenons
Puisque nous savons que , nous pouvons réécrire l’équation (6) sous la forme
Puis nous faisons un produit en croix et utilisons le fait que pour obtenir
Nous savons également que , ce qui implique que . Nous remplaçons ce résultat dans l’équation (5),
Puis nous simplifions pour obtenir
Enfin, nous avons
Nous pouvons maintenant calculer les deux longueurs recherchées,
Nous en déduisons que le rapport peut s’écrire . En divisant par 24 des deux côtés, nous obtenons un rapport équivalent de .
Par conséquent, le rapport entre les aires des triangles et est de .
Jusqu’ici, nous nous sommes intéressés aux rapports de certains segments en lien avec la bissectrice intérieure ou extérieure d’un triangle. Nous allons maintenant considérer un théorème qui concerne la longueur de la bissectrice intérieure d’un triangle.
Théorème: Longueur de la bissectrice dans un triangle
Dans tout triangle , si est la bissectrice du sommet , alors nous avons
Démontrons ce théorème. Nous commençons par tracer le cercle circonscrit au triangle et nous ajoutons le point d’intersection entre la droite et le cercle.
Les deux angles de sommet , en noir sur la figure ci-dessus, sont égaux puisque est la bissectrice de . Nous observons également que les angles inscrits de sommets et interceptent le même arc, . Nous rappelons que deux angles interceptant le même arc ont la même mesure, ce qui implique que les deux angles indiqués en rouge sur la figure sont égaux. Donc les triangles et partagent deux paires d’angles de même mesure et sont par conséquent des triangles semblables. Par conséquent, nous avons
En utilisant le fait que , nous pouvons réécrire cette équation sous la forme
En faisant un produit en croix et en simplifiant, nous obtenons
Nous pouvons voir que prendre la racine carrée positive des deux côtés de l’équation ne nous permettra pas d’obtenir la formule que nous recherchons. Pour l’obtenir, il faudrait pouvoir remplacer le terme , dans le membre de droite, par . Pour justifier cette substitution, nous devons nous intéresser à une autre paire de triangles semblables.
Sur la figure ci-dessus, nous pouvons voir que les angles inscrits et interceptent le même arc, ce qui signifie qu’ils ont la même mesure. Donc les triangles et partagent deux paires d’angles de même mesure et sont par conséquent des triangles semblables. Nous avons donc que nous pouvons réécrire sous la forme
Nous pouvons maintenant remplacer ce résultat dans le membre de droite de l’équation (7) pour obtenir
En prenant la racine carrée positive des deux côtés, nous obtenons et nous démontrons ainsi le théorème.
Dans le prochain exemple, nous appliquerons ce théorème pour déterminer la longueur d’une bissectrice intérieure dans un triangle.
Exemple 5: Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle en utilisant les théorèmes de la bissectrice
Dans le triangle représenté ci-dessous, , et . Sachant que est la bissectrice de l’angle et qu’elle coupe en , déterminez la longueur de .
Réponse
Nous rappelons que si est la bissectrice de dans le triangle , alors nous avons
Les longueurs de , et sont données dans l’énoncé. Par conséquent, pour déterminer , nous devons commencer par déterminer . Pour trouver cette longueur, on va utiliser un autre théorème lié à la bissectrice:dans un triangle, la bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côté. Dans notre cas, cela signifie que
En remplaçant par les valeurs connues dans cette équation, nous obtenons
Nous pouvons maintenant remplacer cette longueur et les autres longueurs connues dans la formule de la longueur de la bissectrice:
Ainsi, la longueur du segment est de 48 cm.
Considérons maintenant une extension de ce théorème de la longueur de la bissectrice, dans lequel nous nous intéressons cette fois-ci à la longueur de la bissectrice d’un angle extérieur.
Théorème: Longueur de la bissectrice extérieure d’un triangle
Dans tout triangle , si est la bissectrice du sommet , alors nous avons [NOTE:il n’y a pas mention du fait que la bissectrice est extérieure dans cet énoncé, qui est exactement le même que pour le précédent théorème de la longueur de la bissectrice (intérieure).]
Il est possible de démontrer ce théorème en combinant le théorème précédent aux autres théorèmes de la bissectrice dans un triangle, mais nous n’inclurons par cette démonstration dans cette fiche explicative.
Voyons maintenant un problème dans lequel nous devrons utiliser les théorèmes de la bissectrice extérieure d’un triangle pour déterminer des longueurs inconnues dans un triangle.
Exemple 6: Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle en utilisant le théorème de la bissectrice extérieure
Sachant que est un triangle dans lequel , déterminez les valeurs de et .
Réponse
Nous rappelons que si est la bissectrice d’un angle extérieur en dans le triangle , alors nous avons
Nous pouvons voir sur la figure que est égal à . Nous savons déjà que et , mais pour calculer les longueurs et , nous devons d’abord déterminer .
Pour déterminer , nous pouvons utiliser le théorème de la bissectrice extérieure d’un triangle, qui établit une autre relation entre les longueurs des côtés d’un triangle dont on considère une bissectrice extérieure. Cette relation est la suivante:
En remplaçant les longueurs connues dans cette formule, nous avons
Nous pouvons maintenant déterminer en faisant un produit en croix et en réarrangeant,
Maintenant que nous avons déterminé la valeur de , nous revenons à notre équation d’origine. En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et le fait que , nous obtenons
Ainsi, et .
Pour finir, récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
Dans un triangle, la bissectrice issue d’un angle intérieur divise le côté opposé en deux segments dont le rapport des longueurs est égal au rapport des longueurs des côtés adjacents. C’est-à-dire,
La réciproque de ce théorème est également vraie. Considérons un triangle et un point situé sur le côté du triangle.
Si les longueurs des segments vérifient alors le point se trouve sur la bissectrice intérieure issue du sommet dans le triangle .
Considérons , un angle extérieur du triangle au sommet , dont la bissectrice coupe le prolongement du côté opposé à (la demi-droite ) au point , comme illustré sur la figure ci-dessous.
Nous avons alors l’égalité suivante:
Dans tout triangle , si est la bissectrice de l’angle , alors nous avons
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