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Vidéo de la leçon: Théorème de la bissectrice et sa réciproque Mathématiques

Dans cette vidéo, on va apprendre comment utiliser le théorème de la bissectrice et sa réciproque pour déterminer une longueur inconnue d’un côté dans triangle.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, on va apprendre comment utiliser le théorème de la bissectrice et sa réciproque pour déterminer une longueur inconnue d’un côté dans triangle. Une bissectrice d’un angle intérieur d’un triangle coupe le côté opposé à l’angle. Le côté opposé est divisé en deux segments. Un théorème utile concernant le ratio des longueurs de ces segments est le théorème de la bissectrice intérieure. On va considérer cela avec quelques exemples ainsi que le théorème de la bissectrice extérieure. Et on va voir comment calculer la longueur de la bissectrice dans un triangle.

Le théorème de la bissectrice intérieure dit que si l’angle intérieur d’un triangle est divisé en deux, cela signifie que l’angle se coupe en deux angles égaux, alors la bissectrice coupe le côté opposé en deux segments dont les longueurs ont le même ratio que les longueurs des côtés adjacents non communs de l’angle en question. Ce que cela signifie en ce qui concerne notre triangle, c’est que la longueur 𝐷𝐵 divisée par la longueur 𝐷𝐴 est égale à la longueur 𝐶𝐵 sur la longueur 𝐶𝐴.

Pour prouver cela, on retrace le triangle dans un espace plus large. On commence par ajouter une nouvelle droite du sommet 𝐴 parallèle à la droite (𝐶𝐷). On étend ensuite le segment [𝐵𝐶] jusqu’à ce qu’il rencontre cette nouvelle droite. Et les deux droites se coupent au point 𝐸. Puisque la demi-droite [𝐶𝐷) est la bissectrice de l’angle au point 𝐶, on sait que les deux angles au sommet 𝐶 sont superposables. C’est-à-dire qu’ils sont égaux. Maintenant, puisque les droites (𝐴𝐸) et (𝐶𝐷) sont parallèles, les angles 𝐵C𝐷 et 𝐵𝐸𝐴 sont superposables. Et lorsque les angles 𝐵𝐶𝐷 et 𝐵𝐸𝐴 sont des angles correspondants, les angles 𝐷𝐶𝐴 et 𝐶𝐴𝐸 sont des angles alternés et donc également superposables. Et cela signifie que les quatre angles marqués sur la figure sont superposables.

Et puisque les triangles 𝐵𝐶𝐷 et 𝐵𝐸𝐴 ont deux angles superposables, ce sont des triangles semblables, il s’ensuit que le ratio 𝐵𝐷 sur 𝐵𝐴 est égal au ratio 𝐵𝐶 sur 𝐵𝐸. Et on peut réécrire ceci comme indiqué puisque 𝐵𝐴 est égal à 𝐵𝐷 plus 𝐷𝐴 et 𝐵𝐸 est égal à 𝐵𝐶 plus 𝐶𝐸. Si on utilise la règle de trois et on distribue les parenthèses, on obtient 𝐵𝐷 multiplié par 𝐵𝐶 plus 𝐵𝐷 multiplié par 𝐶𝐸 est égal à 𝐵𝐶 multiplié par 𝐵𝐷 plus 𝐵𝐶 multiplié par 𝐷𝐴. Lorsqu’on soustrait 𝐵𝐷 multiplié par 𝐵𝐶 des deux côtés, on obtient 𝐵𝐷 multiplié par 𝐶𝐸 est égal à 𝐵𝐶 multiplié par 𝐷𝐴. Et maintenant, en divisant les deux côtés par 𝐷𝐴 multiplié par 𝐶𝐸, on peut diviser le numérateur et le dénominateur à gauche par 𝐶𝐸 et le numérateur et le dénominateur à droite par 𝐷𝐴. Et si on crée un peu d’espace, on a 𝐵𝐷 divisé par 𝐷𝐴 est égal à 𝐵𝐶 divisé par 𝐶𝐸.

Enfin, on remarque que le triangle 𝐴𝐶𝐸 est un triangle isocèle. Et cela signifie que 𝐶𝐸 est égal à 𝐶𝐴. Et on peut remplacer cela dans notre équation. On a donc 𝐵𝐷 sur 𝐷𝐴 est égal à 𝐵𝐶 sur 𝐶𝐴. Et si on réécrit 𝐵𝐷 comme 𝐷𝐵 et 𝐵𝐶 comme 𝐶𝐵, on obtient une formule 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐴 est égal à 𝐶𝐵 sur 𝐶𝐴. Voyons un exemple dans lequel on utilise ce théorème pour trouver des longueurs inconnues d’un triangle.

Sur la figure, la demi-droite [𝐴𝐷) est une bissectrice de l’angle 𝐵𝐴𝐶, 𝐵𝐷 est égal à huit, 𝐷𝐶 est égal à 11 et le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 est de 57. Déterminez les longueurs des segments [𝐴𝐵] et [𝐴𝐶].

On sait que la demi-droite [𝐴𝐷) divise l’angle à 𝐴. Et pour répondre à cette question, on va utiliser le théorème de la bissectrice intérieure. Cela signifie que si l’angle intérieur d’un triangle est coupé en deux, la bissectrice coupe les côtés opposés en segments. Et les longueurs de ces segments ont le même ratio que les longueurs des côtés non communs adjacents à l’angle en question. Ce qui signifie que la longueur 𝐷𝐶 divisée par la longueur 𝐵𝐷 est égale à la longueur 𝐴𝐶 divisée par la longueur 𝐴𝐵.

On sait que 𝐵𝐷 est égal à huit et 𝐷𝐶 est égal à 11. Et cela signifie que 11 sur huit est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐵. On sait aussi que le périmètre du triangle est égal à 57. Et puisque le périmètre est la somme des longueurs des côtés, on a 𝐴𝐵 plus 𝐵𝐶 plus 𝐴𝐶 est égal à 57. Et puisqu’on sait que 𝐵𝐶 est égal à 𝐶𝐷 plus 𝐷𝐵, et que cela fait 11 plus huit, on peut remplacer 𝐵𝐶 par 19. Maintenant, si on soustrait 19 des deux côtés, on a 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶 est égal à 38. Maintenant, si on rappelle l’équation obtenue plus tôt, soit 11 sur huit est égal à 11 sur 𝐴𝐵, on peut trouver 𝐴𝐶 en termes de 𝐴𝐵 en multipliant les deux côtés par 𝐴𝐵. Cela donne 11 sur huit 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐶.

Et maintenant, si on remplace cela dans notre deuxième équation, on a 𝐴𝐵 plus 11 sur huit 𝐴𝐵 est égal à 38. Maintenant, si on rassemble nos termes sur la gauche, on a 19 sur huit 𝐴𝐵 est égal à 38. Et lorsqu’on multiplie les deux côtés par huit et on divise par 19, on a 𝐴𝐵 est égal à 38 multiplié par huit sur 19 et donc 𝐴𝐵 est égal à 16. On peut maintenant utiliser cela dans notre équation de 𝐴𝐶 et obtenir 11 sur huit multiplié par 16 est égal à 𝐴𝐶. 11 sur huit multiplié par 16 est égal à 22. Par conséquent, 𝐴𝐶 est égal à 22. Ainsi, la longueur du segment [𝐴𝐶] est 22 et celle de 𝐴𝐵 est 16.

Dans cet exemple, on a appliqué le théorème pour le ratio des segments liés à la bissectrice d’un angle intérieur d’un triangle. La réciproque de ce théorème est également vraie.

On considère le triangle 𝐴𝐵𝐶 sur lequel on a un point 𝐷 sur le côté [𝐵𝐶]. Si on sait aussi que les longueurs des segments satisfont l’équation 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐶 est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐶, alors on sait que le point 𝐷 est situé sur la bissectrice de l’angle intérieur 𝐵𝐴𝐶. Maintenant, regardons un théorème similaire de la bissectrice pour un angle extérieur d’un triangle.

On considère la bissectrice d’un angle extérieur au sommet 𝐶 d’un triangle 𝐴𝐵𝐶 qui coupe une extension du côté du triangle opposé à l’angle en un point 𝐷. On a alors le rapport 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐴 est égal à 𝐶𝐵 sur 𝐶𝐴. C’est-à-dire que le ratio entre la longueur 𝐷𝐵 et la longueur 𝐷𝐴 est égal au ratio entre la longueur 𝐶𝐵 et la longueur 𝐶𝐴. Et c’est ça le théorème de la bissectrice extérieure. Bien que nous n’allons pas prouver cela ici, on sait que les notions sont similaires, bien que plus complexes, à celles utilisées pour prouver le théorème de la bissectrice intérieure. Voyons un exemple d’application du théorème de la bissectrice extérieure pour déterminer une longueur inconnue d’un triangle.

Sachant que 𝐴𝐵 est égal à 60, 𝐴𝐶 est égal à 40 et 𝐵𝐶 est égal à 31, quelle est la valeur de 𝐶𝐷 ?

La figure montre que les deux angles indiqués sont superposables. C’est-à-dire qu’ils ont le même nombre de degrés ou radians. Le segment [𝐴𝐷] est alors la bissectrice de l’angle extérieur à 𝐴 du triangle 𝐴𝐵𝐶. On rappelle que le théorème de la bissectrice extérieure nous donne le rapport 𝐷𝐶 sur 𝐷𝐵 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐵, cela implique que le ratio entre la longueur 𝐷𝐶 et la longueur 𝐷𝐵 est le même que le ratio entre la longueur 𝐴𝐶 et la longueur 𝐴𝐵. Maintenant, on sait que la longueur 𝐷𝐵 est égale à 𝐷𝐶 plus 𝐶𝐵. On peut donc remplacer cela dans la formule. Et on a 𝐷𝐶 sur 𝐷𝐶 plus 𝐶𝐵 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐵.

On sait que la longueur 𝐴𝐵 est égale à 60, 𝐵𝐶 est égale à 31 et 𝐴𝐶 est égale à 40. Dans notre équation, l’équation n’a qu’une seule inconnue; 𝐷𝐶. Et donc notre équation est 𝐷𝐶 divisé par 𝐷𝐶 plus 31 est égal à 40 sur 60. Et notons que puisque la longueur 𝐷𝐶 est égale à 𝐶𝐷, c’est ce qu’on cherche. Alors maintenant, résolvons notre équation pour déterminer 𝐷𝐶. Lorsqu’on multiplie les deux côtés par 60 et 𝐷𝐶 plus 31, on obtient 60𝐷𝐶 est égal à 40 multiplié par 𝐷𝐶 plus 31. Lorsqu’on développe la parenthèse à droite, on a 40𝐷𝐶 plus 1240. Et maintenant, si on soustrait 40𝐷𝐶 des deux côtés, on obtient 20𝐷𝐶 est égal à 1240. Lorsqu’on divise les deux côtés par 20, on obtient 𝐷𝐶 est égal à 62. Et puisque 𝐷𝐶 est égal à 𝐶𝐷, on a 𝐶𝐷 est égal à 62 unités.

Jusqu’ici, on a juste parlé de la relation entre le ratio des longueurs de segments lié à la bissectrice d’un angle intérieur ou extérieur d’un triangle. On considère à présent un théorème qui implique la longueur du segment de la bissectrice.

Pour un triangle 𝐴𝐵𝐶, si la demi-droite [𝐶𝐷) est la bissectrice de l’angle 𝐶, alors la longueur 𝐶𝐷 est égale à la racine carrée de 𝐶𝐵 multiplié par 𝐶𝐴 moins 𝐷𝐵 multiplié par 𝐷𝐴. On utilise ce théorème pour calculer la longueur de la bissectrice dans un triangle. Pour prouver ce théorème, on commence par ajouter un cercle circonscrit au triangle et on ajoute également le point 𝐸, l’intersection de la droite (CD) et le cercle.

Sur la figure, on sait que les deux angles verts au somment 𝐶 sont superposables puisque la demi-droite [𝐶𝐷) est la bissectrice de l’angle 𝐴𝐶𝐵. On note également que les angles aux sommets 𝐵 et 𝐸 sont des angles inscrits interceptant le même arc𝐴𝐶. Et on rappelle que tous les angles interceptant le même arc ont des mesures égales. Cela signifie que les angles de sommet 𝐵 et 𝐸 sont égaux. On a ensuite le triangle 𝐶𝐵𝐷 et le triangle 𝐶𝐸𝐴 qui ont deux paires d’angles superposables en commun. Avoir deux paires d’angles superposables en commun signifie que les triangles sont semblables. Et cela signifie que le ratio 𝐶𝐷 sur 𝐶𝐴 est égal à 𝐶𝐵 sur 𝐶𝐸.

Maintenant, on sait que 𝐶𝐸 est égal à 𝐶𝐷 plus 𝐷𝐸. Et on peut insérer cela dans le dénominateur dans le membre de droite. Puis si on multiplie les deux côtés par 𝐶𝐴 et 𝐶𝐷 plus 𝐷𝐸 et on développe les parenthèses, on peut ensuite soustraire 𝐶𝐷 multiplié par 𝐷𝐸 des deux côtés. Si on prend la racine carrée des deux côtés, on n’a pas encore notre formule. On doit remplacer le terme 𝐶𝐷 multiplié par 𝐷𝐸 par 𝐷𝐵 multiplié par 𝐷𝐴. Et pour justifier cette substitution, on doit observer une autre paire de triangles semblables.

Sur notre diagramme, on peut voir que l’angle 𝐵𝐶𝐸 et l’angle 𝐵𝐴𝐸 sont des angles inscrits interceptant le même arc. Et cela signifie qu’ils sont superposables. Maintenant, cela signifie que le triangle 𝐶𝐵𝐷 et le triangle 𝐴𝐸𝐷 ont deux paires d’angles superposables en commun. Et cela signifie que ce sont des triangles semblables. On a donc que le ratio 𝐶𝐷 sur 𝐷𝐴 est égal à 𝐷𝐵 à 𝐷𝐸. Et maintenant, si on multiplie les deux côtés par 𝐷𝐴 et 𝐷𝐸, on obtient 𝐷𝐸 multiplié par 𝐶𝐷 est égal à 𝐷𝐵 multiplié par 𝐷𝐴. Et on peut à présent remplacer 𝐶𝐷 multiplié par 𝐷𝐸 par 𝐷𝐵 multiplié par 𝐷𝐴. Et maintenant, si on prend la racine carrée positive des deux côtés, on a 𝐶𝐷 est égal à la racine carrée de 𝐶𝐵 multiplié par 𝐶𝐴 moins 𝐷𝐵 multiplié par 𝐷𝐴, ce qui était requis et prouve ainsi le théorème.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on utilise ce théorème pour trouver la longueur de la bissectrice d’un angle intérieur d’un triangle.

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵 est égal à 76 centimètres, 𝐴𝐶 est égal à 57 centimètres et 𝐵𝐷 est égal à 52 centimètres. Sachant que le segment [𝐴𝐷] divise l’angle de sommet 𝐴 et coupe le segment [𝐵𝐶] en 𝐷, déterminez la longueur du segment [𝐴𝐷].

Nous rappelons que si le segment [𝐴𝐷] divise l’angle 𝐴 dans un triangle, alors nous avons d’après le théorème que 𝐴𝐷 est égal à la racine carrée de 𝐴𝐶 multiplié par 𝐴𝐵 moins 𝐷𝐶 multiplié par 𝐷𝐵. Maintenant, nous savons par hypothèse que 𝐴𝐶 est égal à 57, 𝐵𝐷, qui est 𝐷𝐵, est égal à 52, et que 𝐴𝐵 a une longueur de 76. Et donc pour trouver la longueur 𝐴𝐷, il faut d’abord trouver la longueur 𝐷𝐶. Pour ce faire, on va utiliser le théorème de la bissectrice intérieure. Cela signifie que la bissectrice d’un angle intérieur d’un triangle coupe le côté opposé en deux segments dont les longueurs ont le même ratio que les longueurs des côtés adjacents non communs de l’angle divisé.

Ce que cela signifie dans notre triangle, c’est que 𝐷𝐶 sur 𝐵𝐷 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐵. Maintenant, nous savons que 𝐵𝐷 est égal à 52, 𝐴𝐶 est égal à 57 et 𝐴𝐵 est égal à 76. Nous avons donc 𝐷𝐶 sur 52 est égal à 57 sur 76. Maintenant, lorsqu’on multiplie les deux côtés par 52, il ne reste que 𝐷𝐶 sur le côté gauche. Et 57 divisé par 76 multiplié par 52 est égal à 39. Donc 𝐷𝐶 est de 39 centimètres. On a maintenant toutes les informations requises pour calculer 𝐴𝐷. Si on substitue nos valeurs, on a 𝐴𝐷 est égal à la racine carrée de 57 fois 76 moins 39 fois 52, c’est-à-dire la racine carrée de 4332 moins 2028, qui est la racine carrée de 2304, soit 48. La longueur du segment [𝐴𝐷] est donc de 48 centimètres.

Terminons en récapitulant certains des concepts importants qu’on a évoqués. On sait que si on divise un angle intérieur d’un triangle en deux, la bissectrice coupe le côté opposé en deux segments dont les longueurs ont le même ratio que les longueurs des côtés adjacents non communs de l’angle en question. Autrement dit, d’après le diagramme, le ratio 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐴 est égal à 𝐶𝐵 sur 𝐶𝐴. La réciproque est également vraie où lorsqu’on a un point 𝐷 sur le côté 𝐵𝐶 et sachant que 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐶 est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐶, alors le point 𝐷 est situé sur la bissectrice de l’angle intérieur 𝐴.

Ensuite, si on considère une bissectrice d’un angle extérieur au sommet 𝐶 d’un triangle 𝐴𝐵𝐶, qui intersecte une extension du côté du triangle opposé à l’angle au point 𝐷, alors le ratio de la longueur 𝐷𝐵 sur 𝐷𝐴 est égal au ratio de la longueur 𝐶𝐵 sur 𝐶𝐴. Et enfin, pour un triangle 𝐴𝐵𝐶, si le segment [𝐶𝐷] est la bissectrice de l’angle 𝐶, alors on a 𝐶𝐷 est égal à la racine carrée de 𝐶𝐵 multiplié par 𝐶𝐴 moins 𝐷𝐵 multiplié par 𝐷𝐴.

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