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La variation de vecteur vitesse de deux objets avec le temps est illustrée par le graphique. Cette question comporte deux parties. Les deux objets ont-ils la même vitesse ? Et, les deux objets se sont-ils déplacés à égale distance de leurs positions initiales ?
Donc, nous pouvons voir dans cette question, on nous a donné un graphique avec le temps sur l’axe horizontal et le vecteur vitesse sur l’axe vertical. Donc, nous avons deux droites tracées sur notre graphique. La droite bleue nous montre comment le vecteur vitesse d’un objet - imaginons que ce soit un objet bleu - varie au fil du temps. Et la droite rouge nous montre comment le vecteur vitesse d’un autre objet - disons donc qu’il s’agit d’un objet rouge - varie également dans le temps. Donc, la première question ici nous demande si les deux objets ont la même vitesse. Eh bien, puisque notre graphique nous montre comment le vecteur vitesse varie au fil du temps, commençons par rappeler les similitudes et les différences entre le vecteur vitesse et la vitesse.
Conceptuellement, le vecteur vitesse et la vitesse sont très similaires. Ils décrivent tous les deux à quelle vitesse quelque chose bouge. On pourrait donc dire que ce sont deux mesures de rapidité. Cependant, une différence importante dans les définitions du vecteur vitesse et de la vitesse est que, dans certaines situations, elles ont en fait des significations très différentes. La différence entre le vecteur vitesse et la vitesse est que le vecteur vitesse est un exemple de ce qu’on appelle une grandeur vectorielle, alors que la vitesse est un exemple de grandeur scalaire. Les grandeurs scalaires sont entièrement définies par leur amplitude ou leur taille, tandis que les vecteurs sont décrits par une amplitude et un sens. Ainsi, la vitesse d’un objet nous indique simplement la vitesse à laquelle un objet se déplace, alors que le vecteur vitesse d’un objet nous indique à quelle vitesse et dans quel sens il se déplace.
Pour illustrer la différence entre le vecteur vitesse et la vitesse, imaginons deux objets qui s’éloignent l’un de l’autre. Disons que l’objet de gauche se déplace vers la gauche à cinq mètres par seconde, et l’objet de droite se déplace vers la droite à une vitesse de cinq mètres par seconde également. Parce que les deux objets se déplacent à cinq mètres par seconde, nous savons qu’ils se déplacent à la même vitesse. Cependant, ils ont des vecteurs vitesse différents. En effet, le vecteur vitesse a à la fois une amplitude et un sens. Ainsi, même si les amplitudes de leurs vecteurs vitesse sont les mêmes, les sens de leurs vecteurs vitesse sont différente, ce qui signifie que leurs vecteurs vitesse sont différente.
Lorsque nous utilisons des vecteurs vitesse, l’un des moyens de communiquer le sens dans lequel un objet se déplace consiste à utiliser des nombres positifs et négatifs. Par exemple, nous pourrions dire que l’objet de gauche a un vecteur vitesse négatif de cinq mètres par seconde, tandis que l’objet de droite a un vecteur vitesse positif de cinq mètres par seconde. Et cela signifie que les deux objets se déplacent dans des sens opposés. Notez que, dans cet exemple, nous disons que tout ce qui se déplace vers la droite est positif et tout ce qui se déplace vers la gauche est négatif. Mais nous pourrions tout aussi bien définir l’inverse. Donc, si nous disions que notre sens positif était vers la gauche, cela signifie que tous les objets se déplaçant vers la gauche ont un vecteur vitesse positif, et tous les objets se déplaçant vers la droite ont un vecteur vitesse négatif.
Cela met en évidence une autre différence importante dans la façon dont nous représentons le vecteur vitesse et la vitesse, à savoir que les vecteurs vitesse peuvent être positifs ou négatifs, alors que les vitesses ne peuvent être que positives. En effet, la vitesse n’a qu’une amplitude, donc tout ce qui bouge aura une vitesse positive. Si nous regardons notre graphique sous un autre angle, nous pouvons voir comment les valeurs positives et négatives du vecteur vitesse ont été utilisées. Regardons le côté gauche de notre graphique au tout premier instant. Les hauteurs des droites bleue et rouge à cet instant nous donnent les vecteurs vitesse initiaux des objets bleu et rouge. Nous pouvons voir que le vecteur vitesse de l’objet bleu est positif, alors que le vecteur vitesse de l’objet rouge est négatif. Cela nous indique que, initialement, les deux objets se déplacent dans des sens opposés.
Mais la question nous demande de déterminer si ces deux objets ont la même vitesse l’un l’autre. Eh bien, nous savons que la vitesse est essentiellement la même que le vecteur vitesse mais sans les informations sur le sens. En d’autres termes, la vitesse n’est que l’amplitude du vecteur vitesse. Donc, dans cette question, la vitesse de chaque objet est simplement donnée par son vecteur vitesse mais sans aucun signe négatif. Bien sûr, dans le graphique qui nous a été donné, nous n’avons aucune mesure sur l’axe des vecteurs vitesse, donc nous ne pouvons pas dire exactement quels sont les vitesses des objets. Cependant, la vitesse de chaque objet est représentée par la distance verticale de son graphique par rapport à l’axe des temps.
Ainsi, en regardant le côté gauche du graphique, la vitesse initiale de l’objet bleu est donnée par cette distance, alors que la vitesse initiale de l’objet rouge est donnée par cette distance. Pour clarifier cela, prenons quelques valeurs pour les vecteurs vitesse. Disons que le vecteur vitesse initial de l’objet bleu est de deux mètres par seconde, et le vecteur vitesse initial de l’objet rouge est de moins huit mètres par seconde.
La vitesse initiale de ces deux objets est donnée par la valeur de leurs vecteurs vitesse initiaux, que nous pouvons considérer comme étant simplement les vecteurs vitesse initiaux mais sans aucun signe négatif. Ainsi, l’objet bleu, dans ce cas, aurait une vitesse initiale de deux mètres par seconde, tandis que l’objet rouge aurait une vitesse initiale de huit mètres par seconde. Encore une fois, cela est donné par la distance verticale mesurée sur l’axe du vecteur vitesse entre zéro mètre par seconde et le vecteur vitesse à cet instant-là.
Alors maintenant, revenons à notre graphique d’origine sans les valeurs inventées. Et nous pouvons penser à la vitesse de chaque objet à tout moment comme étant donnée par la distance verticale entre l’axe des temps et la droite qui représente son vecteur vitesse. Si nous regardons à nouveau le plus tôt possible à l’extrême gauche du graphique, nous pouvons voir que cette distance verticale représentant la vitesse initiale de l’objet bleu est beaucoup plus petite que cette distance qui représente la vitesse initiale de l’objet rouge. Par conséquent, à ce stade, l’objet rouge a une vitesse beaucoup plus élevée que l’objet bleu. Si nous regardons le reste du graphique, nous voyons en fait que les deux objets ont des vitesses différentes presque tout le temps.
Ainsi, par exemple, à cet instant, nous pouvons voir que la vitesse de l’objet rouge, qui est représentée par cette distance, est beaucoup plus petite que la vitesse de l’objet bleu, qui est représentée par cette distance. Par conséquent, à cet instant, la vitesse de l’objet bleu est beaucoup plus grande que la vitesse de l’objet rouge. Ou, par exemple, si nous regardons à cet instant, nous pouvons voir que la vitesse de l’objet bleu est donnée par cette distance. Mais la vitesse de l’objet rouge est en fait nulle car la droite touche l’axe du temps.
Si nous regardons à cet instant, nous constatons en fait que la vitesse de l’objet bleu, représentée par cette hauteur, est la même que la vitesse de l’objet rouge, représentée par cette hauteur. Donc, en fait, à cet instant, les deux objets voyagent avec la même vitesse. Cependant, à tout moment avant et après cet instant, les vitesses des deux objets sont complètement différentes. Donc, la réponse à cette première partie de la question est non.
Maintenant, regardons la deuxième partie de la question. Cette fois, nous voulons savoir si les deux objets sont déplacés d’égale distance de leurs positions initiales. Donc, pour répondre à cette question, nous avons besoin d’un moyen de déterminer la distance parcourue depuis un graphique vecteur vitesse-temps. On peut rappeler que la distance parcourue est donnée par l’aire sous un graphique vecteur vitesse-temps. Maintenant, il y a certaines choses très importantes dont nous devons être conscients lorsque nous utilisons cette règle. Tout d’abord, lorsque nous parlons de l’aire sous un graphique, nous voulons dire l’aire entre le graphique et l’axe horizontal - donc, dans ce cas, l’axe des temps. Ainsi, par exemple, si nous regardons notre graphique, la distance totale parcourue par l’objet bleu est donnée par cette aire totale.
Notez que, dans ce cas, la zone ombrée nous donne la distance parcourue par l’objet bleu entre l’instant initial et l’instant final indiqués sur le graphique. Mais nous pourrions également déterminer facilement la distance parcourue par l’objet bleu pendant une période donnée en regardant simplement l’aire du graphique entre le début et la fin de la période qui nous intéresse. Ainsi, par exemple, la distance parcourue par l’objet bleu entre cet instant et cet instant est donnée par cette zone ombrée.
L’autre chose vraiment importante à retenir ici est que si cette aire est au-dessus de l’axe des temps comme cette aire, alors elle nous dit que l’objet a parcouru une certaine distance dans le sens positif. Cependant, si cette aire est en dessous de l’axe des temps, elle nous indique que l’objet a parcouru une certaine distance dans le sens négatif. Par exemple, la distance parcourue par l’objet rouge entre cet instant et cet instant est donnée par cette zone ombrée. Cependant, comme cette aire est en dessous de l’axe des temps, nous savons que cela représente un mouvement dans le sens négatif.
Pour répondre à cette question et savoir si les deux objets sont déplacés à égale distance depuis leur position initiale. Nous devons considérer la distance totale à laquelle chacun d’entre eux est déplacé sur toute la durée indiquée dans le graphique - en d’autres termes, entre cet instant fois et cet instant. Cette zone ombrée en bleu représente alors la distance totale parcourue par l’objet bleu. Nous n’avons aucune mesure indiquée sur notre graphique, nous ne pouvons donc pas calculer la taille de cette aire, ce qui signifie que nous ne connaissons pas vraiment la distance réelle à laquelle l’objet bleu s’est déplacé. Cependant, pour cette question, nous devons simplement pouvoir comparer les distances parcourues par les deux objets et décider si elles sont égales ou non, ce qui signifie que nous n’avons pas besoin de valeurs numériques.
Ces zones colorées en rouge représentent la distance à laquelle se déplace l’objet rouge. Cependant, comme cette aire est en dessous de l’axe des temps, cela signifie qu’elle représente un mouvement dans le sens négatif. Et parce que cette aire est au-dessus de l’axe des temps, elle représente la distance parcourue dans le sens positif. Parce que ces deux zones semblent être à peu près la même, cela signifie que l’objet rouge doit avoir parcouru une certaine distance dans le sens négatif, puis à peu près la même distance dans le sens positif. Ce qui signifie qu’il doit avoir fini approximativement à la même position où il a démarré.
En revanche, cette zone bleue relativement grande se situe entièrement au-dessus de l’axe des temps, ce qui nous indique que l’objet bleu s’est déplacé d’une distance relativement grande dans le sens positif. Ainsi, nous pouvons voir que l’objet rouge s’est éloigné puis est revenu plus ou moins à sa position initiale. Alors que l’objet bleu a continué à se déplacer dans le sens positif pendant tout ce temps, ce qui signifie qu’il se retrouve à une certaine distance dans le sens positif par rapport à sa position initiale. Donc, la réponse à cette partie de la question est non. Les deux objets ne sont pas déplacés de la même distance par rapport à leur position initiale.
