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Parmi les réponses suivantes, laquelle représente une variation directe entre les deux variables 𝑥 et 𝑦 ? Est-ce que c’est (A) 𝑦 égal 𝑥 plus deux ? (B) 𝑥 sur cinq égal 𝑦 sur quatre. (C) 𝑥 sur six égal trois sur 𝑦. Ou est-ce (D) 𝑥𝑦 égal six ?
Pour répondre à cette question, nous allons devoir nous rappeler ce que cela signifie si nous avons une variation directe entre deux variables. Deux variables sont dites en variation directe ou en proportion directe entre elles si le rapport entre 𝑦 et 𝑥 est égal à une constante 𝑘, c’est-à-dire si 𝑦 divisé par 𝑥 est égal à 𝑘. Nous appelons 𝑘 le coefficient de proportionnalité ou la constante de proportionnalité. Et nous voyons plus généralement cela écrit sous la forme 𝑦 égal 𝑘 fois 𝑥.
Notre travail consiste donc à identifier laquelle des équations (A), (B), (C) ou (D) peut être écrite sous l’une ou l’autre de ces formes. Bon, en fait, nous allons assez rapidement ignorer l’option (A). Lorsque 𝑥 et 𝑦 sont en variation directe, nous ne l’écrivons pas sous la forme 𝑦 égal 𝑘𝑥 plus 𝑐, où 𝑐 est une deuxième constante. Et c’est parce que si 𝑥 et 𝑦 sont directement proportionnels l’une à l’autre, lorsque 𝑥 vaut zéro, 𝑦 vaut zéro. Dans notre première équation, lorsque 𝑥 est nul, 𝑦 vaut zéro plus deux, ce qui donne deux. Donc, l’équation (A) ne peut pas traduire une variation directe entre nos deux variables.
Alors, qu’en est-il de l’équation (B) ? Voyons ce qui se passe si l’on exprime en fonction de 𝑦. Pour ce faire, nous multiplierons les deux membres de l’équation par quatre. En faisant cela, nous obtenons quatre 𝑥 sur cinq égal 𝑦. Et cela peut aussi s’écrire 𝑦 égal quatre cinquièmes de 𝑥. C’est de la forme 𝑦 égale 𝑘𝑥, où 𝑘 est égal à quatre cinquièmes. Donc, l’équation (B) traduit bien une variation directe entre 𝑥 et 𝑦.
Nous allons simplement vérifier que (C) ne traduit pas une variation directe. En fait, si nous réorganisons l’équation (C) en isolant 𝑦, nous obtenons 𝑦 égal un sur deux 𝑥. Ceci est un exemple de deux variables inversement proportionnelles. De même, lorsque nous réarrangeons l’équation (D), nous obtenons 𝑦 égal six sur 𝑥. Encore une fois, cela représente une variation inverse entre les variables 𝑥 et 𝑦. Nous avons donc prouvé que la réponse était (B). (B) représente une variation directe entre les deux variables 𝑥 et 𝑦.
