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Fiche explicative de la leçon : Proportionnalité directe Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment décrire une proportionnalité directe entre deux variables, et comment l’utiliser pour résoudre des problèmes.

Commençons par définir ce que l’on entend par proportionnalité directe.

Définition : Proportionnalité directe

On dit de deux variables qu’elles sont directement proportionnelles si leur rapport est constant.

Ce type de relation est souvent noté 𝑦𝑥, qui se lit « 𝑦 est directement proportionnel à 𝑥 ». Étant donné que le rapport de ces deux variables est constant, on a 𝑦𝑥=𝑚 avec 𝑚0 une constante et 𝑥0, 𝑚 est appelé coefficient de proportionnalité ou constante de proportionnalité.

En multipliant les deux membres de l’équation précédente par 𝑥, on voit que 𝑦=𝑚𝑥.

La valeur 𝑥=0 est alors permise, car elle donne 𝑦=0.

De nombreux phénomènes réels suivent une relation de proportionnalité directe. Par exemple, si un corps se déplace à une vitesse constante de 5 m/s, alors la distance parcourue en 𝑡 secondes est donnée par 𝑑=5𝑡.

Par conséquent, la distance parcourue par un corps se déplaçant à une vitesse constante est directement proportionnelle au temps écoulé. On peut remplacer l’une des variables 𝑑 ou 𝑡 par une valeur, puis résoudre l’équation pour trouver l’autre variable. Par exemple, quand 𝑑=10m, on a 10=5𝑡𝑡=105=2.s

Dans notre premier exemple, nous déterminerons le coefficient de proportionnalité de deux variables directement proportionnelles à partir de leurs valeurs.

Exemple 1: Trouver le coefficient de proportionnalité

Sachant que 𝑦𝑥 et que 𝑦=14 quand 𝑥=6, déterminez le coefficient de proportionnalité.

Réponse

On rappelle que 𝑦𝑥 signifie que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 reste constant, et donc que l’on a 𝑦𝑥=𝑚, 𝑚 étant le coefficient de proportionnalité. On peut remplacer 𝑦=14 et 𝑥=6 dans l’équation pour obtenir 𝑚=1416=73.

Par conséquent, le coefficient de proportionnalité est 73.

Passons à présent à un exemple dans lequel nous utiliserons cette définition pour résoudre une équation impliquant une relation de proportionnalité directe.

Exemple 2: Résoudre des équations impliquant une proportionnalité directe

Sachant que 𝑦𝑥 et que 𝑥=75 quand 𝑦=25, trouvez la valeur de 𝑦 quand 𝑥=30.

Réponse

On rappelle que 𝑦𝑥 signifie que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 reste constant, et donc que l’on a 𝑦𝑥=𝑚, quand 𝑥0. On peut aussi réarranger cette équation pour avoir 𝑦=𝑚𝑥 et ainsi permettre la valeur 𝑥=0.

On peut remplacer 𝑦=25 et 𝑥=75 dans la première équation pour obtenir 𝑚=2575=13.

En remplaçant 𝑚 par cette valeur dans la deuxième équation, on obtient 𝑦=13𝑥.

On peut ensuite remplacer 𝑥=30 dans cette équation pour trouver la valeur correspondante de 𝑦:𝑦=13×30=10.

Par conséquent, la valeur de 𝑦 quand 𝑥=30 est 10.

Dans l’exemple précédent, les couples de valeurs correspondantes de 𝑥 et 𝑦 étaient proportionnels, puisque 1030=2575=13. On peut utiliser la définition de la proportionnalité directe pour montrer que cela se vérifie pour tout couple de variables directement proportionnelles.

Si 𝑦𝑥 et si la variable 𝑥 prend les valeurs 𝑥 et 𝑥 et que les valeurs de 𝑦 correspondantes sont 𝑦 et 𝑦, alors 𝑦=𝑚𝑥,𝑦=𝑚𝑥, et si l’on divise la première équation par la seconde, on obtient 𝑦𝑦=𝑥𝑥.

On trouve donc que les valeurs 𝑦, 𝑦, 𝑥 et 𝑥 sont proportionnelles.

On peut également rappeler qu’une fonction affine est une fonction de la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑏, où la pente de la droite représentative de la fonction est 𝑚 et son ordonnée à l’origine (sur l’axe des 𝑦) est 𝑏. Si 𝑦𝑥, alors 𝑥 est une fonction linéaire de 𝑦 (et vice-versa), qui est un cas particulier de fonction affine dont la représentation graphique passe par l’origine du repère. Notons que la réciproque est également vraie:si 𝑦=𝑚𝑥, alors 𝑦𝑥. Cela nous amène à la définition suivante.

Définition : Relation de proportionnalité directe et fonction linéaire

Si 𝑦𝑥, alors 𝑦 est une fonction linéaire de 𝑥 et sa courbe représentative est une droite passant par l’origine.

Voyons dans un exemple comment utiliser cette propriété pour identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité directe.

Exemple 3: Identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité directe

Laquelle des figures ci-dessous représente une relation de proportionnalité directe entre 𝑥 et 𝑦?

Réponse

On rappelle que 𝑦𝑥 signifie que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑥 et 𝑦 reste constant, et donc que l’on a 𝑦𝑥=𝑚, quand 𝑥0. On peut aussi réarranger cette équation pour obtenir 𝑦=𝑚𝑥 et ainsi autoriser la valeur 𝑥=0.

On rappelle ensuite que 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 est l’équation d’une droite de pente 𝑚 dont l’ordonnée à l’origine (sur l’axe des 𝑦) est 𝑏. Par conséquent, la courbe représentative de toute relation de proportionnalité directe est une droite dont l’ordonnée 𝑦 à l’origine est nulle, ce qui signifie qu’elle passe par l’origine du repère.

Seule la figure de la proposition b représente une droite passant par l’origine du repère, donc c’est la seule représentant une relation de proportionnalité directe.

Comme une droite passant par l’origine représente une relation de proportionnalité directe entre deux variables, de pente égale au coefficient de proportionnalité, on peut obtenir des informations sur la relation à partir de la courbe représentative. Voyons un exemple.

Utilisez la courbe représentative ci-dessous pour trouver le coefficient de proportionnalité entre 𝑦 et 𝑥, et déterminez la valeur de 𝑦 quand 𝑥=4.

On sait que le coefficient de proportionnalité est la pente de la droite, donc commençons par déterminer la pente à l’aide des coordonnées de deux points de la droite, (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦):𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥.

On sait que la droite passe par l’origine (0;0) et on peut voir sur la figure qu’elle passe aussi par (2;1). En remplaçant les coordonnées de ces deux points dans la formule, on obtient 𝑚=1020=12.

Par conséquent, 𝑦=12𝑥.

Puis, pour trouver la valeur de 𝑦 quand 𝑥=4, on peut procéder de deux façons différentes:

  • On peut remplacer 𝑥=4 dans l’équation pour obtenir 𝑦=12×4=2.
  • On peut lire sur la représentation graphique l’ordonnée 𝑦 du point dont l’abscisse 𝑥 est 4. On voit que cette ordonnée est égale à 2.

Rappelons également que les représentations graphiques et les équations ne sont pas les seules façons de représenter des relations linéaires. On peut par exemple utiliser des couples ordonnés ou des tableaux de valeurs. Voyons dans un exemple comment identifier une relation de proportionnalité directe à partir d’un tableau.

Exemple 4: Reconnaître une relation de proportionnalité directe à partir d’un tableau

Lequel des tableaux ci-dessous ne montre pas une relation de proportionnalité directe entre les variables 𝑥 et 𝑦?

  1. 𝑥123
    𝑦122436
  2. 𝑥102030
    𝑦246
  3. 𝑥202
    𝑦808
  4. 𝑥531
    𝑦61030
  5. 𝑥246
    𝑦1,534,5

Réponse

On rappelle que dire que la variable 𝑥 est proportionnelle à la variable 𝑦 revient à dire que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑥 et 𝑦 reste constant, et donc que l’on a 𝑦𝑥=𝑚 pour une certaine constante 𝑚0, quand 𝑥0. Pour permettre la valeur 𝑥=0, on peut réécrire l’équation sous la forme 𝑦=𝑚𝑥 et l’on a dans ce cas, quand 𝑥=0:𝑦=0.

On cherche donc le tableau dans lequel les rapports de valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 ne sont pas constants. On peut calculer les rapports entre les deux variables pour chaque tableau séparément. Pour cela, on va ajouter une ligne supplémentaire à chaque tableau et y écrire le rapport des termes de chaque colonne.

Dans le tableau A, on voit que 121=12, 242=12 et 363=12, ce qui nous amène à:

𝑥123
𝑦122436
𝑦𝑥121212

Étant donné que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 reste constant, ce tableau représente bien une proportionnalité directe, de coefficient 12.

Dans le tableau B, on voit que 210=0,2, 420=0,2 et 630=0,2, ce qui nous amène à:

𝑥102030
𝑦246
𝑦𝑥0,20,20,2

Étant donné que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 reste constant, ce tableau représente également une proportionnalité directe, cette fois de coefficient 0,2.

Dans le tableau C, on voit que 82=4 et 82=4, mais on ne peut pas évaluer 00, car on ne peut pas diviser par 0. Rappelons cependant que l’on peut exprimer une relation de proportionnalité entre 𝑥 et 𝑦 par l’équation 𝑦=𝑚𝑥, donc quand 𝑥=0, on a bien 𝑦=0. Par conséquent, ce tableau représente également une relation de proportionnalité directe, cette fois de coefficient 4.

Dans le tableau D, on voit que 65=1,2, 103=3,333 et 301=30.

𝑥531
𝑦61030
𝑦𝑥1,23,3330

Ces rapports diffèrent, donc ce tableau ne représente pas une relation de proportionnalité directe.

Vérifions tout de même ce qu’il en est du tableau E. On a 1,52=0,75, 34=0,75 et 4,56=0,75, ce qui nous donne:

𝑥246
𝑦1,534,5
𝑦𝑥0,750,750,75

Étant donné que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 reste constant, ce tableau représente une proportionnalité directe de coefficient 0,75.

Par conséquent, c’est le tableau D qui ne représente pas une relation de proportionnalité entre 𝑥 et 𝑦.

Dans le prochain exemple, nous aurons une liste d’équations et devrons déterminer laquelle représente une relation de proportionnalité directe entre les deux variables.

Exemple 5: Identifier une équation exprimant une relation de proportionnalité directe

Laquelle des relations suivantes représente une relation de proportionnalité directe entre les variables 𝑥 et 𝑦?

  1. 𝑥6=3𝑦
  2. 𝑦=𝑥+2
  3. 𝑥𝑦=6
  4. 𝑥5=𝑦4

Réponse

On rappelle que dire que la variable 𝑦 est directement proportionnelle à la variable 𝑥 revient à dire que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑦 et 𝑥 reste constant, et donc que l’on a 𝑦𝑥=𝑚 avec 𝑚0 une constante, quand 𝑥0. On peut aussi écrire cette équation sous la forme 𝑦=𝑚𝑥 pour autoriser la valeur 𝑥=0, et l’on note alors que tout couple de variables directement proportionnelles doit vérifier une équation de cette forme. On doit donc déterminer laquelle des équations peut s’écrire sous cette forme.

Dans la relation A, on peut multiplier les deux membres de l’équation par 6𝑦 pour obtenir 𝑥𝑦=18.

Puis, en divisant de chaque côté par 𝑥, on obtient l’équation 𝑦=18𝑥, qui n’est pas de la forme 𝑦=𝑚𝑥 avec 𝑚 constante;par conséquent, cette équation ne représente pas une relation de proportionnalité directe.

Dans la relation B, on a une fonction affine de la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 et l’on note qu’une fonction affine ne représente une relation de proportionnalité directe que si 𝑏=0. Comme 𝑏=2, cette équation ne représente pas une relation de proportionnalité directe.

Dans la relation C, on peut diviser les deux membres de l’équation par 𝑥 pour obtenir 𝑦=6𝑥.

Cette équation n’est pas de la forme 𝑦=𝑚𝑥 avec 𝑚 constante, donc elle ne représente pas une relation de proportionnalité directe.

Dans la relation D, on multiplie les deux membres de l’équation par 4 pour obtenir 𝑦=45𝑥.

L’équation est maintenant de la forme 𝑦=𝑚𝑥, avec pour coefficient de proportionnalité 45.

Par conséquent, seule la proposition D représente une relation de proportionnalité directe.

Étudions à présent quelques exemples concrets de relations de proportionnalité directe et voyons comment utiliser ces relations pour résoudre des équations.

Exemple 6: Trouver le coefficient de proportionnalité à partir d’une équation

La quantité de viande nécessaire pour nourrir un lion en captivité est donnée par l'équation 𝑝=9𝑑, 𝑝 est la masse de viande en kilogrammes nécessaire pour nourrir un lion pendant 𝑑 jours. Quel est le taux unitaire de cette relation de proportionnalité?

Réponse

On rappelle que dire que la variable 𝑝 est proportionnelle à la variable 𝑑 revient à dire que le rapport des valeurs correspondantes de 𝑝 et 𝑑 reste constant, et donc que l’on a 𝑝𝑑=𝑚 avec 𝑚0 une constante, quand 𝑑0 , 𝑚 est appelée coefficient de proportionnalité.

On nous dit dans l’énoncé que 𝑝=9𝑑 et on en déduit que la division de 𝑝 par 𝑑 reste constante et égale à 9. Par conséquent, il s’agit de deux variables directement proportionnelles dont le coefficient de proportionnalité est 9.

On nous demande de trouver le taux unitaire de cette relation;on rappelle que le taux unitaire est le rapport de deux quantités lorsque la seconde quantité est égale à 1. Donc, on peut trouver le taux unitaire en remplaçant 𝑑=1 dans l’équation 𝑝𝑑=9 pour obtenir 𝑝1=9/.kgjourkgjour

La quantité 𝑝 étant mesurée en kilogrammes et la quantité 𝑑 en jours, le taux unitaire est en 9 kgjour.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu un résultat intéressant:le taux unitaire d’une relation de proportionnalité est égal au coefficient de proportionnalité car c’est le rapport de n’importe quel couple de valeurs correspondantes.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons la proportionnalité directe pour déterminer le poids d’un objet sur la Lune.

Exemple 7: Résoudre des équations impliquant une proportionnalité directe

Un objet pèse 120 N sur Terre et 20 N sur la Lune. Les poids d’un objet sur Terre et sur la Lune sont directement proportionnels;calculez le poids d’un objet sur la Lune sachant que cet objet pèse 126 N sur Terre.

Réponse

On nous dit dans l’énoncé que le poids d’un corps sur Terre est directement proportionnel à son poids sur la Lune. On rappelle que cela signifie que pour tout corps, le rapport des poids sur la Lune et sur Terre est constant. On peut exprimer ceci mathématiquement par 𝑃𝑃=𝑚,LuneTerre avec 𝑚0 une constante et un poids sur Terre non nul.

On peut trouver la valeur de 𝑚 à l’aide de la première paire de valeurs donnée dans l’énoncé, 𝑃=20LuneN et 𝑃=120TerreN. En remplaçant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on trouve 𝑚=20120=16.

Par conséquent, on a 𝑃𝑃=16,LuneTerre qui peut aussi s’écrire 𝑃=16×𝑃.LuneTerre

On a trouvé que le poids du corps sur la Lune est égal à un sixième de son poids sur Terre. Par conséquent, le poids sur la Lune d’un objet pesant 126 N sur Terre est 𝑃=16×126=21.LuneN

Dans notre dernier exemple, nous déterminerons la relation entre deux variables 𝑥 et 𝑦, sachant que 𝑦 est directement proportionnelle à une fonction affine de 𝑥.

Exemple 8: Écrire une équation entre deux quantités proportionnelles

Soit 𝑦(𝑥+7), avec 𝑥=13 quand 𝑦=34, trouvez la relation entre 𝑥 et 𝑦.

Réponse

On rappelle que 𝑦(𝑥+7) signifie qu’il existe une constante 𝑚 non nulle telle que 𝑦=𝑚(𝑥+7).

On peut déterminer la valeur de 𝑚 en remplaçant 𝑥=13 et 𝑦=34 dans cette équation:34=𝑚(13+7)34=20𝑚.

On divise les deux membres de l’équation par 20 pour obtenir 𝑚=3420=1710.

En remplaçant cette valeur dans l’équation linéaire, on obtient 𝑦=1710(𝑥+7).

Pour finir, récapitulons quelques points importants abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • On dit de deux variables qu’elles sont directement proportionnelles si leur rapport est constant.
  • Pour indiquer que deux variables 𝑦 et 𝑥 sont directement proportionnelles, on écrit 𝑦𝑥. On peut exprimer mathématiquement cette relation de proportionnalité par une équation de la forme 𝑦=𝑚𝑥, 𝑚 est appelé le coefficient de proportionnalité ou la constante de proportionnalité.
  • Puisque dans une relation de proportionnalité directe, on a 𝑦𝑥=𝑚, il en découle que 𝑚 est aussi le taux unitaire.
  • Une relation affine entre deux variables 𝑦 et 𝑥 est de la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑏;parmi ces relations, seules les relations linéaires, qui sont de la forme 𝑏=0, correspondent à une relation de proportionnalité directe.
  • La courbe représentative d’une relation de proportionnalité directe est une droite passant par l’origine.

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