Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment décrire une proportionnalité directe entre deux variables, et comment l’utiliser pour résoudre des problèmes.
Commençons par définir ce que l’on entend par proportionnalité directe.
Définition : Proportionnalité directe
On dit de deux variables qu’elles sont directement proportionnelles si leur rapport est constant.
Ce type de relation est souvent noté , qui se lit « est directement proportionnel à ». Étant donné que le rapport de ces deux variables est constant, on a avec une constante et , est appelé coefficient de proportionnalité ou constante de proportionnalité.
En multipliant les deux membres de l’équation précédente par , on voit que
La valeur est alors permise, car elle donne .
De nombreux phénomènes réels suivent une relation de proportionnalité directe. Par exemple, si un corps se déplace à une vitesse constante de 5 m/s, alors la distance parcourue en secondes est donnée par
Par conséquent, la distance parcourue par un corps se déplaçant à une vitesse constante est directement proportionnelle au temps écoulé. On peut remplacer l’une des variables ou par une valeur, puis résoudre l’équation pour trouver l’autre variable. Par exemple, quand , on a
Dans notre premier exemple, nous déterminerons le coefficient de proportionnalité de deux variables directement proportionnelles à partir de leurs valeurs.
Exemple 1: Trouver le coefficient de proportionnalité
Sachant que et que quand , déterminez le coefficient de proportionnalité.
Réponse
On rappelle que signifie que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, et donc que l’on a , étant le coefficient de proportionnalité. On peut remplacer et dans l’équation pour obtenir
Par conséquent, le coefficient de proportionnalité est .
Passons à présent à un exemple dans lequel nous utiliserons cette définition pour résoudre une équation impliquant une relation de proportionnalité directe.
Exemple 2: Résoudre des équations impliquant une proportionnalité directe
Sachant que et que quand , trouvez la valeur de quand .
Réponse
On rappelle que signifie que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, et donc que l’on a , quand . On peut aussi réarranger cette équation pour avoir et ainsi permettre la valeur .
On peut remplacer et dans la première équation pour obtenir
En remplaçant par cette valeur dans la deuxième équation, on obtient
On peut ensuite remplacer dans cette équation pour trouver la valeur correspondante de :
Par conséquent, la valeur de quand est 10.
Dans l’exemple précédent, les couples de valeurs correspondantes de et étaient proportionnels, puisque . On peut utiliser la définition de la proportionnalité directe pour montrer que cela se vérifie pour tout couple de variables directement proportionnelles.
Si et si la variable prend les valeurs et et que les valeurs de correspondantes sont et , alors et si l’on divise la première équation par la seconde, on obtient
On trouve donc que les valeurs , , et sont proportionnelles.
On peut également rappeler qu’une fonction affine est une fonction de la forme , où la pente de la droite représentative de la fonction est et son ordonnée à l’origine (sur l’axe des ) est . Si , alors est une fonction linéaire de (et vice-versa), qui est un cas particulier de fonction affine dont la représentation graphique passe par l’origine du repère. Notons que la réciproque est également vraie : si , alors . Cela nous amène à la définition suivante.
Définition : Relation de proportionnalité directe et fonction linéaire
Si , alors est une fonction linéaire de et sa courbe représentative est une droite passant par l’origine.
Voyons dans un exemple comment utiliser cette propriété pour identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité directe.
Exemple 3: Identifier la courbe représentative d’une relation de proportionnalité directe
Laquelle des figures ci-dessous représente une relation de proportionnalité directe entre et ?
Réponse
On rappelle que signifie que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, et donc que l’on a , quand . On peut aussi réarranger cette équation pour obtenir et ainsi autoriser la valeur .
On rappelle ensuite que est l’équation d’une droite de pente dont l’ordonnée à l’origine (sur l’axe des ) est . Par conséquent, la courbe représentative de toute relation de proportionnalité directe est une droite dont l’ordonnée à l’origine est nulle, ce qui signifie qu’elle passe par l’origine du repère.
Seule la figure de la proposition b représente une droite passant par l’origine du repère, donc c’est la seule représentant une relation de proportionnalité directe.
Comme une droite passant par l’origine représente une relation de proportionnalité directe entre deux variables, de pente égale au coefficient de proportionnalité, on peut obtenir des informations sur la relation à partir de la courbe représentative. Voyons un exemple.
Utilisez la courbe représentative ci-dessous pour trouver le coefficient de proportionnalité entre et , et déterminez la valeur de quand .
On sait que le coefficient de proportionnalité est la pente de la droite, donc commençons par déterminer la pente à l’aide des coordonnées de deux points de la droite, et :
On sait que la droite passe par l’origine et on peut voir sur la figure qu’elle passe aussi par . En remplaçant les coordonnées de ces deux points dans la formule, on obtient
Par conséquent,
Puis, pour trouver la valeur de quand , on peut procéder de deux façons différentes :
- On peut remplacer dans l’équation pour obtenir .
- On peut lire sur la représentation graphique l’ordonnée du point dont l’abscisse est 4. On voit que cette ordonnée est égale à 2.
Rappelons également que les représentations graphiques et les équations ne sont pas les seules façons de représenter des relations linéaires. On peut par exemple utiliser des couples ordonnés ou des tableaux de valeurs. Voyons dans un exemple comment identifier une relation de proportionnalité directe à partir d’un tableau.
Exemple 4: Reconnaître une relation de proportionnalité directe à partir d’un tableau
Lequel des tableaux ci-dessous ne montre pas une relation de proportionnalité directe entre les variables et ?
1 2 3 12 24 36 10 20 30 2 4 6 2 0 8 0 5 3 1 6 10 30 2 4 6 1,5 3 4,5
Réponse
On rappelle que dire que la variable est proportionnelle à la variable revient à dire que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, et donc que l’on a pour une certaine constante , quand . Pour permettre la valeur , on peut réécrire l’équation sous la forme et l’on a dans ce cas, quand : .
On cherche donc le tableau dans lequel les rapports de valeurs correspondantes de et ne sont pas constants. On peut calculer les rapports entre les deux variables pour chaque tableau séparément. Pour cela, on va ajouter une ligne supplémentaire à chaque tableau et y écrire le rapport des termes de chaque colonne.
Dans le tableau A, on voit que , et , ce qui nous amène à :
1 | 2 | 3 | |
12 | 24 | 36 | |
12 | 12 | 12 |
Étant donné que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, ce tableau représente bien une proportionnalité directe, de coefficient 12.
Dans le tableau B, on voit que , et , ce qui nous amène à :
10 | 20 | 30 | |
2 | 4 | 6 | |
0,2 | 0,2 | 0,2 |
Étant donné que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, ce tableau représente également une proportionnalité directe, cette fois de coefficient 0,2.
Dans le tableau C, on voit que et , mais on ne peut pas évaluer , car on ne peut pas diviser par 0. Rappelons cependant que l’on peut exprimer une relation de proportionnalité entre et par l’équation , donc quand , on a bien . Par conséquent, ce tableau représente également une relation de proportionnalité directe, cette fois de coefficient 4.
Dans le tableau D, on voit que , et .
5 | 3 | 1 | |
6 | 10 | 30 | |
1,2 | 30 |
Ces rapports diffèrent, donc ce tableau ne représente pas une relation de proportionnalité directe.
Vérifions tout de même ce qu’il en est du tableau E. On a , et , ce qui nous donne :
2 | 4 | 6 | |
1,5 | 3 | 4,5 | |
0,75 | 0,75 | 0,75 |
Étant donné que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, ce tableau représente une proportionnalité directe de coefficient 0,75.
Par conséquent, c’est le tableau D qui ne représente pas une relation de proportionnalité entre et .
Dans le prochain exemple, nous aurons une liste d’équations et devrons déterminer laquelle représente une relation de proportionnalité directe entre les deux variables.
Exemple 5: Identifier une équation exprimant une relation de proportionnalité directe
Laquelle des relations suivantes représente une relation de proportionnalité directe entre les variables et ?
Réponse
On rappelle que dire que la variable est directement proportionnelle à la variable revient à dire que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, et donc que l’on a avec une constante, quand . On peut aussi écrire cette équation sous la forme pour autoriser la valeur , et l’on note alors que tout couple de variables directement proportionnelles doit vérifier une équation de cette forme. On doit donc déterminer laquelle des équations peut s’écrire sous cette forme.
Dans la relation A, on peut multiplier les deux membres de l’équation par pour obtenir
Puis, en divisant de chaque côté par , on obtient l’équation qui n’est pas de la forme avec constante ; par conséquent, cette équation ne représente pas une relation de proportionnalité directe.
Dans la relation B, on a une fonction affine de la forme et l’on note qu’une fonction affine ne représente une relation de proportionnalité directe que si . Comme , cette équation ne représente pas une relation de proportionnalité directe.
Dans la relation C, on peut diviser les deux membres de l’équation par pour obtenir
Cette équation n’est pas de la forme avec constante, donc elle ne représente pas une relation de proportionnalité directe.
Dans la relation D, on multiplie les deux membres de l’équation par 4 pour obtenir
L’équation est maintenant de la forme , avec pour coefficient de proportionnalité .
Par conséquent, seule la proposition D représente une relation de proportionnalité directe.
Étudions à présent quelques exemples concrets de relations de proportionnalité directe et voyons comment utiliser ces relations pour résoudre des équations.
Exemple 6: Trouver le coefficient de proportionnalité à partir d’une équation
La quantité de viande nécessaire pour nourrir un lion en captivité est donnée par l'équation , où est la masse de viande en kilogrammes nécessaire pour nourrir un lion pendant jours. Quel est le taux unitaire de cette relation de proportionnalité ?
Réponse
On rappelle que dire que la variable est proportionnelle à la variable revient à dire que le rapport des valeurs correspondantes de et reste constant, et donc que l’on a avec une constante, quand , est appelée coefficient de proportionnalité.
On nous dit dans l’énoncé que et on en déduit que la division de par reste constante et égale à 9. Par conséquent, il s’agit de deux variables directement proportionnelles dont le coefficient de proportionnalité est 9.
On nous demande de trouver le taux unitaire de cette relation ; on rappelle que le taux unitaire est le rapport de deux quantités lorsque la seconde quantité est égale à 1. Donc, on peut trouver le taux unitaire en remplaçant dans l’équation pour obtenir
La quantité étant mesurée en kilogrammes et la quantité en jours, le taux unitaire est en 9 kgjour.
Dans l’exemple précédent, nous avons vu un résultat intéressant : le taux unitaire d’une relation de proportionnalité est égal au coefficient de proportionnalité car c’est le rapport de n’importe quel couple de valeurs correspondantes.
Dans le prochain exemple, nous utiliserons la proportionnalité directe pour déterminer le poids d’un objet sur la Lune.
Exemple 7: Résoudre des équations impliquant une proportionnalité directe
Un objet pèse 120 N sur Terre et 20 N sur la Lune. Les poids d’un objet sur Terre et sur la Lune sont directement proportionnels ; calculez le poids d’un objet sur la Lune sachant que cet objet pèse 126 N sur Terre.
Réponse
On nous dit dans l’énoncé que le poids d’un corps sur Terre est directement proportionnel à son poids sur la Lune. On rappelle que cela signifie que pour tout corps, le rapport des poids sur la Lune et sur Terre est constant. On peut exprimer ceci mathématiquement par avec une constante et un poids sur Terre non nul.
On peut trouver la valeur de à l’aide de la première paire de valeurs donnée dans l’énoncé, et . En remplaçant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on trouve
Par conséquent, on a qui peut aussi s’écrire
On a trouvé que le poids du corps sur la Lune est égal à un sixième de son poids sur Terre. Par conséquent, le poids sur la Lune d’un objet pesant 126 N sur Terre est
Dans notre dernier exemple, nous déterminerons la relation entre deux variables et , sachant que est directement proportionnelle à une fonction affine de .
Exemple 8: Écrire une équation entre deux quantités proportionnelles
Soit , avec quand , trouvez la relation entre et .
Réponse
On rappelle que signifie qu’il existe une constante non nulle telle que
On peut déterminer la valeur de en remplaçant et dans cette équation :
On divise les deux membres de l’équation par 20 pour obtenir
En remplaçant cette valeur dans l’équation linéaire, on obtient
Pour finir, récapitulons quelques points importants abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- On dit de deux variables qu’elles sont directement proportionnelles si leur rapport est constant.
- Pour indiquer que deux variables et sont directement proportionnelles, on écrit . On peut exprimer mathématiquement cette relation de proportionnalité par une équation de la forme , où est appelé le coefficient de proportionnalité ou la constante de proportionnalité.
- Puisque dans une relation de proportionnalité directe, on a , il en découle que est aussi le taux unitaire.
- Une relation affine entre deux variables et est de la forme ; parmi ces relations, seules les relations linéaires, qui sont de la forme , correspondent à une relation de proportionnalité directe.
- La courbe représentative d’une relation de proportionnalité directe est une droite passant par l’origine.