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Vidéo de la leçon : Proportionalité directe Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment décrire une proportionnalité directe entre deux variables, et comment l’utiliser pour résoudre des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment décrire une proportionnalité directe entre deux variables, et comment l’utiliser pour résoudre des problèmes.

Deux variables sont dites en proportionnalité directe si leur rapport est constant. Cela signifie que si les deux variables 𝑥 et 𝑦 sont en proportionnalité directe, on peut dire que 𝑦 sur 𝑥 est égale à une constante non nulle 𝑚, à condition que 𝑥 soit également non nulle. La multiplication des deux membres de cette équation par 𝑥 donne 𝑦 est égal à 𝑚𝑥. Nous pouvons maintenant inclure 𝑥 égal à zéro car il s’ensuit que 𝑦 est également égal à zéro. La constante 𝑚 est appelée la constante de proportionnalité ou le coefficient de proportionnalité.

Lorsque deux variables sont en proportionnalité directe, nous représentons cela en utilisant la notation indiquée, ce qui signifie simplement que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥. Une représentation graphique de deux variables directement proportionnelles est une droite passant par l’origine, avec un coefficient directeur égale au coefficient de proportionnalité 𝑚. Nous verrons plus de détails à ce sujet plus tard dans la vidéo.

Il existe de nombreux exemples réels de variables qui suivent une relation de proportionnalité directe. Par exemple, si un objet tel qu’une voiture se déplace à une vitesse constante, alors la distance parcourue est directement proportionnelle au temps pendant lequel l’objet a voyagé. Dans notre premier exemple, nous verrons comment déterminer le coefficient de proportionnalité dans une relation de proportionnalité directe.

Si 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 et 𝑦 est égale à 14 lorsque 𝑥 est égale à six, déterminez le coefficient de proportionnalité.

Rappelons d’abord que cette notation signifie que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 ou 𝑦 et 𝑥 sont en proportionnalité directe. Cela signifie que le rapport entre 𝑦 et 𝑥 est constant, que nous pouvons exprimer comme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 pour une constante non nulle 𝑚. 𝑚 est le coefficient de proportionnalité, qu’on nous a demandé de trouver.

On nous dit que 𝑦 est égal à 14 lorsque 𝑥 est égal à six, ce qui signifie que nous avons une paire de valeurs de 𝑥 et 𝑦 que nous pouvons substituer dans cette équation pour déterminer la valeur de 𝑚. Cela donne l’équation 14 égale six 𝑚. Nous résolvons ensuite pour trouver 𝑚 en divisant les deux membres de l’équation par six. Cette fraction peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Et nous trouvons donc que le coefficient de proportionnalité 𝑚 est égale à sept sur trois.

Prenons maintenant un autre exemple, dans lequel nous utiliserons la définition de proportionnalité directe pour déterminer la valeur d’une inconnue dans une relation de proportionnalité directe.

Si 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 et 𝑥 est égal à 75 lorsque 𝑦 est égal à 25, trouvez la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 30.

On nous dit que 𝑦 est directement proportionnelle à 𝑥 ou 𝑦 et 𝑥 sont en proportionnalité directe, ce qui signifie que la relation entre 𝑥 et 𝑦 peut être exprimée comme 𝑦 égale 𝑚𝑥 pour une constante non nulle 𝑚. On nous donne également que 𝑥 est égal à 75 lorsque 𝑦 est égal à 25. Et donc nous avons une paire de valeurs de 𝑥 et 𝑦 que nous pouvons utiliser pour déterminer le coefficient de proportionnalité 𝑚.

La substitution de ces valeurs donne 25 est égale à 𝑚 multiplié par 75, ou simplement 25 est égal à 75𝑚. Pour trouver la valeur de 𝑚, nous devons diviser les deux membres de cette équation par 75, ce qui donne 𝑚 est égal à 25 sur 75. Nous pouvons simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 25. Et nous constatons que le coefficient de proportionnalité 𝑚 est égale à un tiers.

Nous savons maintenant que la relation entre 𝑥 et 𝑦 est 𝑦 égale un tiers 𝑥, ou 𝑦 égale 𝑥 sur trois. Pour trouver la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 30, il suffit de substituer cette valeur de 𝑥 et d’évaluer. Cela donne 𝑦 est égal à 30 sur trois, soit 10. Ainsi, en déterminant d’abord le coefficient de proportionnalité, nous avons constaté que dans cette relation de proportionnalité directe, la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est 30 est 10.

Voyons maintenant à quoi pourrait ressembler la représentation graphique représentant une relation de proportionnalité directe.

Nous savons que lorsque deux variables 𝑥 et 𝑦 sont en proportionnalité directe, cela peut être exprimé comme 𝑦 égal à 𝑚𝑥 pour une constante non nulle 𝑚. De notre connaissance des représentations graphiques linéaires, nous savons que 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏 est l’équation d’une droite avec un coefficient directeur 𝑚 et une ordonnée à l’origine 𝑏. Ici, la valeur de 𝑏 est zéro, nous avons donc une droite passant par l’origine. La représentation graphique d’une relation de proportionnalité directe pourrait donc ressembler à ceci.

Cependant, il est également possible que le coefficient de proportionnalité 𝑚 soit négatif, auquel cas le coefficient de proportionnalité de la droite serait négatif et la relation ressemblerait à la droite dessinée en rose. L’important est que la ligne soit une droite et passe par l’origine.

Nous pouvons utiliser ces connaissances pour déterminer des informations sur une telle relation à partir d’une représentation graphique. Par exemple, supposons qu’on nous dise que 𝑦 est en proportionnalité directe avec 𝑥 et que l’on donne une représentation graphique des valeurs de 𝑥 en fonction des valeurs de 𝑦. Nous savons que 𝑦 sera égal à 𝑚𝑥 pour une constante non nulle 𝑚. Et nous pouvons utiliser la représentation graphique pour déterminer la valeur de 𝑚. Elle est donnée par le coefficient directeur de la représentation graphique, qui dans ce cas est deux. Nous pouvons donc en déduire que le coefficient de proportionnalité est deux et 𝑦 égale deux 𝑥. La valeur de 𝑚 est également appelée le taux unitaire car elle représente la variation de 𝑦 correspondant à une variation d’une unité dans 𝑥.

Considérons maintenant un exemple dans lequel nous déterminons lesquelles des valeurs de 𝑥 et 𝑦 sont en proportionnalité directe.

Quel tableau ne montre pas 𝑥 en proportionnalité directe avec 𝑦 ?

Nous rappelons d’abord que si 𝑥 est en proportionnalité directe avec 𝑦, cela signifie que le rapport entre les valeurs de 𝑥 et 𝑦 reste constant. On peut donc dire que lorsque 𝑥 est différent de zéro, 𝑦 sur 𝑥 égale à une constante non nulle 𝑚. Nous pouvons vérifier si cela est vrai pour chacun des tableaux donnés en calculant le rapport entre chaque paire de valeurs 𝑥 et 𝑦 et en vérifiant s’il reste constant.

Dans le tableau (A), les valeurs de 𝑦 sur 𝑥 sont 12 sur un, 24 sur deux et 36 sur trois. Chacun de ces rapports se simplifie à 12. Et donc pour le tableau (A), la valeur de 𝑦 sur 𝑥 est constante, et donc 𝑥 est en proportionnalité directe avec 𝑦.

Dans le tableau (B), les rapports sont deux sur 10, quatre sur 20 et six sur 30. Chacun de ceux-ci se simplifie à un cinquième, ou 0,2. Ainsi, les valeurs du tableau (B) montrent une proportionnalité directe.

Dans le tableau (C), les rapports sont huit sur deux, zéro sur zéro et moins huit sur moins deux. Les premier et dernier rapports se simplifient chacun à quatre, mais zéro sur zéro est indéfini. Nous devons donc rappeler que la proportionnalité directe entre 𝑥 et 𝑦 peut également être exprimée comme 𝑦 égale 𝑚𝑥. Et il s’ensuit que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est également égal à zéro.

La paire de valeurs zéro, zéro satisfait toute relation de proportionnalité directe, ce qui correspond à la représentation graphique de toute relation directement proportionnelle passant par l’origine, où 𝑥 et 𝑦 sont nuls. En particulier, elles satisfont la même proportionnalité directe que les autres valeurs du tableau (C), avec 𝑚 égal à quatre. Et donc le tableau (C) montre que 𝑥 varie directement avec 𝑦.

Dans le tableau (D), les valeurs de 𝑦 sur 𝑥 sont six sur cinq, 10 sur trois et 30 sur un. L’évaluation de ces nombres décimaux donne 1,2, 3,3 récurrents et 30. Comme ces valeurs ne sont pas constantes, cela signifie que les valeurs du tableau (D) ne sont pas en proportionnalité directe.

Enfin, nous calculons les rapports dans le tableau (E). Chacun de ceux-ci se simplifie à 0,75. Cela confirme donc que les valeurs du tableau (E) sont en proportionnalité directe.

Nous pouvons donc conclure que le seul tableau qui ne montre pas 𝑥 en proportionnalité directe avec 𝑦 est le tableau (D), car le rapport de 𝑦 sur 𝑥 n’est pas constant.

Considérons maintenant une application de la vie courante de la proportionnalité directe.

Un objet qui pèse 120 newtons sur la Terre pèse 20 newtons sur la Lune. Étant donné que le poids d’un objet sur la Terre est directement proportionnel à son poids sur la Lune, trouvez le poids d’un objet sur la Lune étant donné que son poids sur la Terre est de 126 newtons.

On nous dit que le poids d’un objet sur la Terre est directement proportionnel à son poids sur la Lune. Nous pouvons l’exprimer comme le poids sur la Terre est égal à 𝑚 fois le poids sur la Lune, où 𝑚 représente le coefficient de proportionnalité. Nous voulons trouver le poids d’un objet sur la Lune étant donné que son poids sur la Terre est de 126 newtons. Et pour ce faire, nous devons d’abord déterminer la valeur de 𝑚.

On nous dit qu’un objet qui pèse 120 newtons sur la Terre pèse 20 newtons sur la Lune. Nous pouvons donc substituer cette paire de valeurs dans la relation de proportionnalité directe. Cela donne 120 est égal à 20𝑚. Pour trouver 𝑚, nous divisons les deux membres de cette équation par 20, ce qui donne 𝑚 est égal à six.

Nous savons maintenant que le poids d’un objet sur la Terre est six fois son poids sur la Lune. Nous substituons ensuite 126 au poids de cet objet particulier sur la Terre pour donner l’équation 126 égale six fois son poids sur la Lune. Pour trouver le poids du même objet sur la Lune, nous divisons les deux membres de l’équation par six. Nous avons donc constaté que le poids d’un objet sur la Lune, qui pèse 126 newtons sur Terre, est de 21 newtons.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Deux variables sont dites en proportionnalité directe, si leur rapport est constant. Nous pouvons l’exprimer en utilisant le symbole de proportionnalité. La relation entre 𝑥 et 𝑦 peut également être écrite comme 𝑦 égale 𝑚𝑥, où 𝑚 est une constante de proportionnalité non nulle. La représentation graphique d’une relation de proportionnalité directe est une droite qui passe par l’origine. Le coefficient directeur de cette représentation graphique donne la constante de proportionnalité 𝑚, également appelée le taux unitaire. Le coefficient directeur de la courbe représentative peut également être négatif si la valeur de 𝑚 est négative.

Enfin, nous avons vu que la proportionnalité directe peut être utilisée pour modéliser un certain nombre de phénomènes de la vie réelle, tels que la relation entre la distance et le temps pour les objets se déplaçant à une vitesse constante et le poids des objets sur la Terre et sur la Lune.

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