Transcription de la vidéo
Trois forces, 𝐅 un est à moins cinq 𝐢 plus 10𝐣 newtons, 𝐅 deux égal à 𝑎𝐢 moins cinq 𝐣 newtons, et 𝐅 trois égal à moins quatre 𝐢 plus 𝑏𝐣 newtons agissent en un point. Leur résultante vaut six racine deux newtons dirigée vers le nord-ouest. Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Rappelez-vous, la résultante est la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un objet.
Dans cette question, nous avons affaire à trois forces : 𝐅 une, 𝐅 deux et 𝐅 trois. Alors, on doit faire un peu attention. Parce que non seulement on nous a donné leur résultante, mais on nous a donné la norme de la résultante ainsi que le sens dans lequel elle pointe. Nous allons donc devoir commencer par trouver la somme vectorielle de nos trois forces ; c’est 𝐅 un plus 𝐅 deux plus 𝐅 trois. Cela équivaut à moins cinq 𝐢 plus 10𝐣 plus 𝑎𝐢 moins cinq 𝐣 plus moins quatre 𝐢 plus 𝑏𝐣. Il est logique que nous additionnions les composantes en 𝐢 et, séparément, les composantes en 𝐣. Cela nous donne moins cinq plus 𝑎 moins quatre 𝐢 plus 10 moins cinq plus 𝑏 𝐣. Cela se simplifie en 𝑎 moins neuf 𝐢 plus 𝑏 plus cinq 𝐣.
Ensuite, nous savons que la norme de cette résultante est de six fois racine de deux newtons. Et nous savons que cela agit dans le sens nord-ouest. Alors faisons un schéma pour cela. Nous pouvons dessiner cela comme un triangle rectangle comme indiqué. En fait, comme cela agit strictement dans le sens nord-ouest, nous savons que nous avons un triangle isocèle avec deux angles de 45 degrés. Nous savons que la composante horizontale de la force est 𝑎 moins neuf et la composante verticale est 𝑏 plus cinq. Mais puisque notre triangle de forces est un triangle isocèle, nous savons que 𝑏 plus cinq et 𝑎 moins neuf doivent être égaux. Nous allons donc les appeler 𝑥 pour l’instant et utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la valeur de 𝑥.
Le théorème de Pythagore nous dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle. Donc, 𝑥 carré plus 𝑥 carré doit être égal à six fois racine de deux au carré. À gauche, nous obtenons deux 𝑥 au carré. Et à droite, nous obtenons 36 fois deux. Ensuite, plutôt que de calculer 36 fois deux, divisons simplement par deux. Et nous obtenons que 𝑥 au carré est égal à 36. Nous prenons la racine carrée des deux membres de notre équation, en se rappelant de prendre à la fois plus racine carrée et moins racine carrée de de 36. Nous obtenons donc 𝑥 égal à plus ou moins six.
Nous devons prendre en compte maintenant que 𝑥 pourrait être une valeur positive ou une valeur négative. Et c’est parce que si l’on met de côté le fait que cela est un triangle, nous réalisons que 𝑥 représente la composante des forces. Et ceux-ci peuvent agir à la fois dans un sens positif ou négatif. Nous allons commencer par considérer la direction horizontale. Nous savons que cela est représenté par 𝑎 moins neuf. 𝑥 vaut six. Mais puisque cela agit dans le sens des 𝑥 négatives, l’on peut dire que 𝑎 moins neuf est égal à moins six. Ensuite, nous résolvons simplement cette équation pour trouver 𝑎 en ajoutant neuf des deux côtés. Et nous trouvons que 𝑎 est égal à trois.
Nous allons répéter ce processus suivant la direction verticale. Cette fois, nous regardons la direction des 𝑦 positifs. Nous allons donc dire que 𝑏 plus cinq est égal à plus six. Ensuite, nous calculons 𝑏 en soustrayant cinq des deux côtés. Et nous trouvons que 𝑏 est égal à un. Et donc, nous avons déterminé les valeurs de 𝑎 et 𝑏 en fonction des informations dans notre question. 𝑎 est égal à trois et 𝑏 est égal à un.
