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Déterminez l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥 définie par la relation suivante.
Dans cette question, on nous donne un diagramme. Il s’agit du diagramme sagittal de la fonction 𝑓 de 𝑥. La fonction associe aux éléments de l’ensemble 𝑥 des éléments de l’ensemble 𝑦. Par exemple, la flèche colorée en vert sur le diagramme sagittal nous indique que la valeur de 𝑓 de moins huit est moins 20.
Dans cette question, on doit déterminer l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥. Alors commençons par rappeler la définition d’un ensemble image et de quelques termes liés. L’ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie est l’ensemble de définition de cette fonction. On peut voir qu’ici, les valeurs pour lesquelles notre fonction est définie sont moins huit, 14 et moins deux. Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble constitué des valeurs huit, 14 et moins deux, c’est-à-dire l’ensemble noté 𝑥.
L’ensemble de toutes les valeurs prises par une fonction est l’ensemble image de cette fonction. Et c’est ce qu’on nous demande de déterminer dans cette question. On pourrait peut-être penser qu’il s’agit de l’ensemble 𝑦. Mais examinons de plus près l’élément 18 de l’ensemble 𝑦. La valeur 18 appartient bien à l’ensemble 𝑦. Mais notre fonction n’est jamais égale à cette valeur. Il n’existe aucun élément 𝑥 tel que 𝑓 de 𝑥 est égal 18. Il n’y a en fait que deux valeurs que notre fonction peut prendre, moins 20 et moins quatre. Ce sont les seuls éléments de l’ensemble 𝑦 sur lesquels pointent des flèches.
Notre ensemble image est l’ensemble constitué de ces deux valeurs, c’est-à-dire l’ensemble moins 20, moins quatre. Il s’agit d’un sous-ensemble de l’ensemble 𝑦, mais pas de l’ensemble 𝑦 entier. Et il existe un nom pour les ensembles tels que l’ensemble 𝑦. On l’appelle l’ensemble d’arrivée de la fonction. L’ensemble image est toujours un sous-ensemble de l’ensemble d’arrivée. Mais comme on l’a vu, l’ensemble image n’est pas nécessairement égal à l’ensemble d’arrivée.
Pour conclure, l’ensemble image de notre fonction, qu’on nous demandait de déterminer dans cette question, est l’ensemble constitué des éléments moins 20 et moins quatre. Sur le diagramme sagittal, ce sont les valeurs sur lesquelles des flèches pointent. L’ensemble de définition de notre fonction est l’ensemble constitué des éléments moins huit, 14 et moins deux. On peut bien sûr écrire ces valeurs dans n’importe quel ordre. Ce sont les valeurs pour lesquelles la fonction est définie et d’où les flèches partent sur le diagramme sagittal. L’ensemble 𝑦, qui est constitué des valeurs 18, 15, moins 20, moins quatre et 16, n’est pas l’ensemble image de notre fonction. Il s’agit en fait de son ensemble d’arrivée.
