Video Transcript
Le diagramme illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacune des cases de la grille du diagramme a une longueur latérale de 1 Calculez 𝐀 scalaire 𝐁.
Dans cette question, on nous donne deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sous la forme de flèches dessinées sur un diagramme. On nous demande de calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs, 𝐀 scalaire 𝐁. Commençons donc par rappeler la définition du produit scalaire de deux vecteurs. Considérons deux vecteurs généraux, que l’on appelle 𝐂 et 𝐃. Supposons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦, alors on peut les écrire sous forme de composante comme une composante 𝑥 annotée avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 circonflexe plus une composante 𝑦 annotée avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 circonflexe. Rappelons que 𝐢 circonflexe est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 circonflexe est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦.
Le produit scalaire 𝐂 scalaire 𝐃 est alors défini comme la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃 plus la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃. En d’autres termes, le produit scalaire de deux vecteurs est donné par le produit des composantes 𝑥 des vecteurs plus le produit de leurs composantes 𝑦. En regardant cette expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, on voit que si on souhaite calculer le produit scalaire 𝐀 point 𝐁, alors on doit calculer les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁.
Ici, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous sont donnés sous forme de flèches dessinées sur un diagramme, et la question nous dit que chacune des cases de ce diagramme a une longueur de côté égale à un. Si on ajoute un ensemble d’axes à notre diagramme avec l’origine située à la queue des deux vecteurs, on peut facilement lire le nombre de cases que chaque vecteur couvre dans la direction 𝑥 et dans la direction 𝑦. Puisque l’on sait que chacune de ces cases a une longueur de côté de un, alors le nombre de cases donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs.
Commençons par compter les cases du vecteur 𝐀. On voit que 𝐀 couvre deux cases dans la direction 𝑥 positive et trois cases dans la direction 𝑦 positive. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐀 est deux et la composante 𝑦 est trois. Et on peut écrire le vecteur 𝐀 sous forme de composante comme deux 𝐢 circonflexe plus trois 𝐣 circonflexe. Maintenant, on fait la même chose avec le vecteur 𝐁. On trouve que 𝐁 couvre quatre cases dans la direction 𝑥 positive et quatre cases dans la direction 𝑦 négative. Ainsi, le vecteur 𝐁 a une composante 𝑥 de quatre et une composante 𝑦 de moins quatre. Donc, on peut écrire 𝐁 sous forme de composante comme quatre 𝐢 circonflexe moins quatre 𝐣 circonflexe.
On a donc maintenant des expressions pour les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sous forme de composantes, ce qui signifie que l’on est ainsi prêts à calculer le produit scalaire 𝐀 point 𝐁. De notre expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, on voit que le premier terme est le produit des composantes 𝑥 des vecteurs. Donc, pour notre produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁, il s’agite de la composante 𝑥 de 𝐀, qui est deux, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui est quatre. Ensuite, on ajoute à cela un deuxième terme donné par le produit des composantes 𝑦 des vecteurs. Ici, il s’agit de la composante 𝑦 de 𝐀, qui est trois, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui est moins quatre.
La dernière étape qui reste à faire est de calculer cette expression ici. Le premier terme est deux multiplié par quatre, ce qui nous donne huit. Et le deuxième terme est trois multiplié par moins quatre, ce qui nous donne moins 12. Ensuite, on a huit plus moins 12, ce qui nous donne moins quatre. Et donc notre réponse à la question est que le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à moins quatre.
