Vidéo de la leçon: Le produit scalaire de deux vecteurs Physique

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous parlons du produit scalaire de deux vecteurs. Nous allons apprendre une technique pour combiner deux vecteurs de telle sorte que le résultat soit une grandeur qui a une intensité mais aucun sens associé, c’est-à-dire une quantité scalaire.

De prime abord, nous pourrions nous demander pourquoi nous voudrions faire cela. Pourquoi voudrions-nous prendre deux vecteurs, nous pourrions les appeler 𝐀 et 𝐁, qui ont tous deux une intensité et un sens, et les combiner de manière à perdre des informations ? Autrement dit, nous perdons les informations sur le sens. En fait, il y a véritablement des situations physiques où cela est utile. Prenons cet exemple de boîte reposant sur une surface plane. Admettons qu’en poussant la boîte avec le vecteur de force montré ici, notre objectif est de pousser la boîte le long de la surface pour qu’elle soit déplacée. Maintenant, si nous sommes en mesure de le faire, si en appliquant cette force 𝐅, nous pouvons déplacer la boîte de ce déplacement 𝐝. Cela signifie alors que nous avons exercé du travail. Nous pouvons représenter cela en utilisant W majuscule sur la boîte.

Mais alors combien de travail avons-nous fourni ? Eh bien, il s’avère que cette méthode que nous apprenons, consistant à prendre le produit scalaire de deux vecteurs, peut nous le dire. Notez que dans cette situation, nous avons deux vecteurs : la force que nous appliquons à la boîte et le déplacement de la boîte. Et tandis que le travail que nous voulons calculer dépend de ces vecteurs, le travail lui-même n’est pas une grandeur vectorielle, mais bien une grandeur scalaire. Nous voulons donc combiner les vecteurs de force et de déplacement de manière à obtenir une grandeur scalaire. Nous le ferons en utilisant l’opération connue sous le nom de produit scalaire. Symboliquement, cette opération est représentée comme nous l’avons fait ici, en utilisant un point entre les deux vecteurs que nous combinons.

Pour cette raison, le produit scalaire de deux vecteurs est également connu sous le nom de « dot product » en anglais. Donc, ces deux termes, produit scalaire et « dot product », ont le même sens. Maintenant, il existe différentes façons de calculer un produit scalaire. Une façon de le faire est d’utiliser ce que nous pourrions appeler une approche géométrique. Dans cette perspective, imaginons ces deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 que nous avons nommés ici. Et admettons que celui-ci est le vecteur 𝐀 et que celui-là, c’est le vecteur 𝐁. Si nous devions calculer le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁, nous pourrions illustrer cela en déplaçant ces vecteurs de sorte que leurs extrémités se chevauchent. Nous pouvons le faire, disons, en déplaçant le vecteur 𝐀.

Une fois que nous avons fait cela, nous considérons le plus court de nos deux vecteurs, dans ce cas, il s’agit du vecteur 𝐀. Ensuite, nous nous demandons quelle proportion du vecteur 𝐀 se trouve le long de ou par-dessus le vecteur 𝐁. Nous pouvons commencer à élucider cela en esquissant une droite qui va de la pointe de notre vecteur plus court, puis descend au vecteur plus long croisant ce vecteur plus long avec un angle de 90 degrés. On trouve la proportion de notre vecteur plus court, le vecteur 𝐀, qui recouvre notre vecteur plus long en calculant cette distance-ci. On pourrait dire que c’est le chevauchement entre nos deux vecteurs.

Alors, quelle est cette distance que nous avons tracée ? Si nous donnons un nom à l’angle entre le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁, disons que nous l’appelons 𝜃. Alors cette distance que nous avons marquée en orange est égale à la norme de 𝐀 fois le cosinus de cet angle. On pourrait dire que c’est la proportion du vecteur 𝐀 qui se trouve le long du vecteur 𝐁. Et une fois que nous avons calculé cela, nous sommes assez proches de calculer le produit scalaire de nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à ce chevauchement entre les vecteurs 𝐀 et 𝐁, la norme du vecteur le plus court multipliée par le cosinus de l’angle entre eux, multipliée par la norme du vecteur le plus long, dans ce cas le vecteur 𝐁. Et nous pouvons réorganiser cette expression et l’écrire de cette façon. La norme d’un vecteur fois la norme de l’autre fois le cosinus de l’angle entre eux.

Donc, revenons à notre exemple de cette boîte que l’on pousse et où l’on veut calculer le travail que nous exerçons sur la boîte, nous pouvons dire que si l’angle entre le vecteur de force que nous exerçons sur la boîte et le déplacement de la boîte est 𝜃. Alors, le travail que nous exerçons est égal à la norme de 𝐅 fois la norme de 𝐝 fois le cosinus de cet angle 𝜃. Ceci est égal au produit scalaire de 𝐅 et 𝐝. Et notez que ce produit est en effet une grandeur scalaire. Elle n’a pas de sens, mais elle a une norme.

Dans cette explication géométrique du produit scalaire, nous avons supposé que l’un des deux vecteurs que nous combinons est plus court que l’autre. Mais en réalité, cela n’est pas nécessaire pour calculer le produit scalaire des deux vecteurs. Même si, par exemple, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 avaient la même norme, nous pourrions toujours calculer leur chevauchement de cette façon. Et puis en multipliant ce chevauchement par la norme de l’autre vecteur, dans ce cas, le vecteur 𝐁, nous calculerions leur produit scalaire. Donc, pas besoin de trop se concentrer sur le vecteur le plus court ou le plus long. C’est juste une façon de nous aider à visualiser le produit scalaire.

Maintenant, nous avons mentionné plus tôt que l’approche géométrique n’est pas la seule façon de calculer un produit scalaire. Il y a aussi ce que nous pourrions appeler une façon algébrique de le faire. Pour voir comment cela fonctionne, imaginons que ces deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 ne soient pas dessinés graphiquement. Plutôt, ils sont définis à l’écrit par leurs composantes comme ceci. Ainsi, le vecteur 𝐀 est défini par ses composantes 𝑥 et 𝑦. Et de même le vecteur 𝐁 a une certaine intensité selon 𝐢 et une certaine intensité selon 𝐣. Lorsque 𝐀 et 𝐁 sont définis de cette façon, nous pouvons calculer leur produit scalaire comme ceci. Nous multiplions les composantes 𝑥 de chaque vecteur, et nous ajoutons ce produit au produit de leurs composantes 𝑦.

Or, quelle que soit l’approche que nous utilisons, nous obtiendrons toujours la même réponse. Nous allons toujours calculer 𝐀 scalaire 𝐁. Et notez, en passant, que lorsque nous calculons un produit scalaire, l’ordre dans lequel les deux vecteurs apparaissent, 𝐀 scalaire 𝐁 ou 𝐁 scalaire 𝐀, ne fait aucune différence dans notre réponse. Par exemple, dans notre équation du dessus, si nous calculons 𝐁 scalaire 𝐀, alors tout ce qui changerait, c’est l’ordre dans lequel la norme de ces deux vecteurs apparaît dans ce produit. Et nous savons que quelle que soit l’ordre, le produit serait le même. De même, dans notre équation du dessous, 𝐁 scalaire 𝐀 impliquerait simplement de changer l’ordre dans lequel ces composantes sont multipliées. Mais ce changement ne changerait pas la réponse finale que nous calculons. C’est la même chose dans les deux cas. On peut donc dire dans les deux cas que 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à 𝐁 scalaire 𝐀.

Lorsque nous calculons un produit scalaire, nous rencontrons parfois des cas particuliers de la manière dont les deux vecteurs que nous combinons sont orientés. L’un de ces cas implique que les deux vecteurs que nous envisageons, nous pouvons les appeler 𝐀 et 𝐁, pointent dans le même sens. Lorsque c’est le cas, l’angle entre eux, nous l’avons appelé 𝜃, est égal à zéro degré. Cela indique que les deux vecteurs sont parallèles entre eux. Et nous pouvons rappeler que le cosinus de zéro degré est égal à un. C’est la valeur maximale atteinte par la fonction cosinus. Ainsi, nous pouvons dire que lorsque nos deux vecteurs sont parallèles et que l’angle entre eux est de zéro degré, leur produit scalaire est une valeur maximale positive. Et cela revient au fait que le cosinus de zéro degré est la valeur maximale positive de la fonction cosinus.

Un autre cas particulier est celui où nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont à 90 degrés l’un par rapport à l’autre. Cela signifie que 𝜃 est de 90 degrés. Et nous pouvons rappeler que le cosinus de 90 degrés est nul. Cela nous indique que pour deux vecteurs perpendiculaires, leur produit scalaire est nul. Et cela est cohérent avec notre compréhension géométrique du produit scalaire. Lorsque deux vecteurs sont perpendiculaires, ils ne se chevauchent pas du tout. Cela est cohérent avec un produit scalaire de zéro.

Et puis il y a un dernier cas particulier à considérer. Ici, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 pointent dans des sens opposés. Ils ne sont pas parallèles, mais plutôt antiparallèles. Dans ce cas, l’angle entre eux est de 180 degrés, et le cosinus de cet angle est de moins un. C’est la plus grande valeur négative que la fonction cosinus peut atteindre. Donc, on peut dire que lorsque deux vecteurs sont antiparallèles, lorsque l’angle entre eux est de 180 degrés. Alors leur produit scalaire est une valeur maximale négative.

Maintenant, il peut être surprenant qu’un produit scalaire puisse être négatif. Après tout, nous ne calculons pas un vecteur, alors notre produit scalaire ne devrait-il pas toujours être non négatif ? Ne devrait-il pas toujours être positif ou nul ? Mais en fait, il est possible d’avoir une grandeur scalaire négative. Et si nous changeons un peu notre scénario de poussée de boîte, nous pouvons voir un exemple de cela. Admettons que, au lieu de pousser la boîte comme nous le faisons maintenant, nous tirons dessus. Le vecteur de force pointe donc vers nous et s’oppose au vecteur de déplacement. Maintenant, si une force plus grande agit sur la boîte et la pousse vers la droite, que nous n’avons pas illustré ici. Alors, il est tout à fait possible que même si nous tirons la boîte vers la gauche, la boîte soit déplacée vers la droite.

Et nous pouvons voir que c’est un exemple de l’un de nos cas particuliers d’angles entre nos deux vecteurs. Ici, 𝜃 est égal à 180 degrés, ce qui signifie que le cosinus de cet angle est négatif. Et donc, lorsque nous multiplions ce nombre négatif par la norme positive de 𝐅 et la norme positive de 𝐝, nous obtenons un résultat globalement négatif pour le travail que nous effectuons sur la boîte. Ainsi, les grandeurs scalaires peuvent être négatives, et nous voyons que cela se produit ici. Maintenant que nous connaissons ces relations pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, entraînons-nous à les utiliser à travers un exemple.

Considérons les deux vecteurs 𝐩 égal deux 𝐢 plus trois 𝐣 et 𝐪 égal six 𝐢 plus quatre 𝐣. Calculez 𝐩 scalaire 𝐪.

Cette représentation-ci de ces deux vecteurs nous indique que nous devons calculer leur produit scalaire. Et nous voyons que nous avons les deux vecteurs 𝐩 et 𝐪 exprimés avec leurs composantes. Nous pouvons donc commencer par rappeler que le produit scalaire de deux vecteurs en fonction de leurs composantes est égal à la composante 𝑥 du premier vecteur fois la composante 𝑥 du second vecteur. Ajoutée à la composante 𝑦 du premier vecteur fois la composante 𝑦 du second vecteur. Dans cette équation, nous avons appelé nos vecteurs 𝐀 et 𝐁, mais ce ne sont que des noms généraux pour tous les vecteurs situés dans le plan 𝑥𝑦.

Dans cet exemple, ce que nous voulons calculer est 𝐩 scalaire 𝐪. Et pour ce faire, nous pouvons suivre cette recette pour combiner les composantes de ces vecteurs. Tout d’abord, nous prenons la composante 𝑥 de notre premier vecteur, c’est 𝐩, et la composante 𝑥 de ce vecteur est deux. Et nous multiplions cela par la composante 𝑥 de notre deuxième vecteur. Ce deuxième vecteur est 𝐪 et cette composante 𝑥 est six. Donc, nous avons deux fois six. Et à cela, nous ajoutons la composante 𝑦 de notre premier vecteur. Ce premier vecteur est 𝐩 et cette composante 𝑦 est trois multipliée par la composante 𝑦 de notre deuxième vecteur. Ce deuxième vecteur est 𝐪 et cette composante 𝑦 vaut quatre.

Donc, ce que nous avons alors est 𝐩 scalaire 𝐪 est égal à deux fois six plus trois fois quatre. Deux fois six font douze, ainsi que trois fois quatre. Donc, notre réponse finale est 24. Et remarquez que, en effet, cette réponse est une grandeur scalaire. Il a une grandeur mais aucune sens.

Voyons maintenant un deuxième exemple d’exercice.

Le schéma montre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carrés de la grille du schéma a une longueur de côté égale à un. Calculez 𝐀 scalaire 𝐁.

Nous voyons sur notre schéma nos deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, et qu’ils sont disposés sur un quadrillage. On nous dit que chaque carré de la grille a une longueur de côté de un. On ne nous donne pas les unités de ces longueurs, mais simplement que les longueurs des côtés peuvent être représentées par une unité arbitraire, quelle que soit notre unité. Sachant cela, nous voulons calculer le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁.

Maintenant, nous pouvons rappeler qu’un produit scalaire implique la combinaison de deux vecteurs. Nous sommes donc bien partis car 𝐀 et 𝐁 sont des vecteurs. Et nous pouvons rappeler en outre que, mathématiquement, le produit scalaire de deux vecteurs généraux, 𝐀 et 𝐁, est égal au produit de leurs composantes 𝑥 plus le produit de leurs composantes 𝑦. Maintenant, pour nos deux vecteurs donnés, également appelés 𝐀 et 𝐁, nous ne connaissons pas encore leurs composantes 𝑥 et 𝑦, mais nous pouvons utiliser cette grille pour les trouver.

Nous pouvons commencer par définir des axes de coordonnées sur cette grille. Admettons que pour notre origine, nous choisissons l’endroit où les extrémités des vecteurs 𝐀 et 𝐁 se chevauchent. Donc, nous dirons que celui-ci est notre axe 𝑥, et celui-là est notre 𝑦. Par rapport à ces axes, nous pouvons définir les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos deux vecteurs. D’ailleurs, nous aurions pu choisir n’importe quelle orientation pour nos axes 𝑥 et 𝑦 tant qu’ils étaient perpendiculaires entre eux et mesurer les vecteurs 𝐀 et 𝐁 de cette façon. Et notre réponse serait la même.

En utilisant ces axes 𝑥 et 𝑦 spécifiques, écrivons les composantes du vecteur 𝐀. Nous pouvons voir que le long de l’axe des 𝑥, le vecteur 𝐀 s’étend sur une, deux, trois unités. Donc, cela signifie que le vecteur 𝐀 est égal à trois 𝐢, trois unités suivant 𝑥, plus une certaine norme suivant 𝑦. En recommençant à l’origine, nous comptons une, deux, trois unités et voyons que c’est l’étendue verticale du vecteur 𝐀. Par conséquent, nous pouvons écrire le vecteur 𝐀 comme étant égal à trois 𝐢 plus trois 𝐣. Et maintenant, nous ferons la même chose pour le vecteur 𝐁. La composante 𝑥 du vecteur 𝐁 est égale à une, deux, trois, quatre, cinq, six unités et sa composante 𝑦 est égale à une unité. Et nous pouvons écrire cela comme un 𝐣 ou simplement 𝐣 pour que le vecteur 𝐁 en somme soit égal à six 𝐢 plus 𝐣.

Maintenant que nous connaissons les composantes de nos deux vecteurs, nous pouvons utiliser cette relation pour résoudre leur produit scalaire. 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à la composante 𝑥 du vecteur 𝐀, nous voyons que la composante 𝑥 vaut trois, multipliée par la composante 𝑥 du vecteur 𝐁. Et nous voyons que cette composante 𝑥 vaut six. Donc, nous avons trois fois six. Et à cela, nous ajoutons la composante 𝑦 du vecteur 𝐀. Cette composante 𝑦 vaut trois multipliée par la composante 𝑦 du vecteur 𝐁. Et cette composante 𝑦 comme nous l’avons vu vaut un. Donc, 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à trois fois six plus trois fois un, et c’est égal à dix-huit plus trois soit vingt-et-un. Voilà 𝐀 scalaire 𝐁, aussi appelé le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁.

Prenons un instant pour résumer ce que nous avons appris sur le produit scalaire de deux vecteurs. Dans cette leçon, nous avons vu que le produit scalaire de deux vecteurs donne une grandeur scalaire. Nous avons vu qu’une façon de calculer un produit scalaire, représenté symboliquement comme ceci, est de multiplier ensemble les grandeurs des deux vecteurs impliqués fois le cosinus de l’angle entre les vecteurs. Et une seconde façon, ce que nous avons appelé la façon algébrique de calculer un produit scalaire, est de combiner des vecteurs par le biais de leurs composantes. Le produit des composantes 𝑥 plus le produit des composantes 𝑦.

Et enfin, nous avons examiné ce que nous avons appelé quelques cas particuliers de l’orientation des deux vecteurs impliqués. Lorsque 𝐀 est parallèle à 𝐁, l’angle entre eux est de zéro degré et leur produit scalaire est une valeur maximale positive. Lorsque 𝐀 est perpendiculaire à 𝐁, l’angle entre eux est de 90 degrés, il n’y a pas de chevauchement entre les deux vecteurs et leur produit scalaire est nul. Et, enfin, lorsque 𝐀 est antiparallèle à 𝐁, c’est-à-dire que l’angle entre eux est de 180 degrés, alors le produit scalaire de ces deux vecteurs prend une valeur maximale négative. Ceci est un résumé du produit scalaire de deux vecteurs.