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Fiche explicative de la leçon : Produit scalaire de deux vecteurs Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant à la fois les composantes des vecteurs, l’intensité des deux vecteurs et l’angle entre eux.

Le produit scalaire est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs pour produire un scalaire.

Rappelons que si un vecteur a à la fois une intensité et une direction, un scalaire a lui seulement une intensité.

Le produit scalaire est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Un calcul qui peut être utile est le travail effectué par une force sur un objet pendant que cet objet bouge selon un certain déplacement.

Considérons une personne poussant une boîte sur le sol, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

La force appliquée à la boîte est 𝐹, et le déplacement 𝑑. La force agit dans la même direction que le déplacement. Dans ce scénario, le travail effectué par la force, 𝑊, est tout simplement égale à l’intensité de la force, 𝐹, multiplié par l’intensité du déplacement, 𝑑:𝑊=𝐹𝑑.

Mais que se passe-t-il si la force n’agit pas dans la même direction que le déplacement (peut-être parce que la personne qui pousse la boîte pousse également légèrement vers le bas), comme indiqué sur le schéma ci-dessous?

Dans ce scénario, on ne peut pas utiliser 𝑊=𝐹𝑑 pour calculer le travail effectué par la force. Au lieu de cela, on doit calculer le produit scalaire de 𝐹 et 𝑑.

Le produit scalaire est noté avec un point entre les deux vecteurs:𝐹𝑑.

Il peut avoir d'autres noms. On l’appelle aussi parfois le produit intérieur.

Il y a deux façons de définir le produit scalaire de deux vecteurs. La première est l’approche géométrique.

Définition : Produit scalaire de deux vecteurs

Considérons deux vecteurs, 𝐴 et 𝐵. L’angle entre les deux vecteurs est 𝜃. Ceci est illustré par le schéma ci-dessous.

Le produit scalaire de 𝐴 et 𝐵 est égale à l’intensité de 𝐴 multiplié par l’intensité de 𝐵 multiplié par le cosinus de l’angle entre eux, 𝜃, on peut l’écrire 𝐴𝐵=𝐴𝐵(𝜃).cos

Utiliser deux traits de chaque côté d’un symbole vectoriel, comme par exemple, 𝐴, signifie prendre l’intensité du vecteur. On peut écrire cette définition de manière plus simple si on dit que 𝐴 est l’intensité de 𝐴 et 𝐵 l’intensité de 𝐵:𝐴𝐵=𝐴𝐵(𝜃).cos

On peut considérer cela comme une mesure à la fois de la grandeur des deux vecteurs et à quel point ils pointent dans la même direction. Si 𝐴 ou 𝐵 est plus grand, le produit scalaire sera plus grand, et on peut voir comment le produit scalaire varie avec 𝜃, l’angle entre les vecteurs, en regardant le graphique de cos(𝜃), qui est illustré ci-dessous.

Quand 𝜃 est 0, cos(𝜃) est égal à 1, qui est la plus grande valeur de la fonction cosinus. Ainsi, lorsque les deux vecteurs pointent dans la même direction, comme indiqué sur le diagramme ci-dessous, leur produit scalaire est à sa valeur maximale.

Quand 𝜃 est 90 , cos(𝜃) est égal à 0. Ainsi, lorsque les deux vecteurs forment un angle droit l’un par rapport à l’autre, comme indiqué ci-dessous, leur produit scalaire est nul.

Quand 𝜃 est 180 , cos(𝜃) est égal à 1 , qui est la plus petite valeur de la fonction cosinus. Ainsi, lorsque les deux vecteurs pointent dans des directions opposées, comme indiqué ci-dessous, le produit scalaire a une valeur qui est de la même grandeur que lorsque 𝜃 est égal à 0, mais avec un signe négatif.

Ainsi, plus l’angle entre les vecteurs est petit, plus la valeur du produit scalaire est grande, et plus l’angle entre les vecteurs est grand, plus la valeur du produit scalaire est petite.

On remarque aussi que puisque 𝐴𝐵=𝐵𝐴, 𝐴𝐵(𝜃)=𝐵𝐴(𝜃)coscos, cela signifie que 𝐴𝐵=𝐵𝐴. En d’autres termes, peu importe la manière dont on effectue le produit scalaire;𝐴𝐵 et 𝐵𝐴 ont la même valeur.

Regardons un exemple de question.

Exemple 1: Calculer le produit scalaire de deux vecteurs à partir de leurs intensités et de l’angle entre eux

Considérons deux vecteurs:𝑟 avec une intensité de 12 et 𝑠 avec une intensité de 26. L’angle entre eux, 𝜃, est de 68. Quel est le produit scalaire de 𝑟 et 𝑠?Donne ta réponse à l’entier près.

Réponse

Comme on nous donne les intensités des deux vecteurs, ainsi que l’angle entre eux, on peut utiliser la formule 𝑟𝑠=𝑟𝑠(𝜃)cos pour trouver le produit scalaire.

En remplaçant les valeurs, on obtient 𝑟𝑠=12×26×(68)𝑟𝑠=116,87725,cos, ce qui donne 117 à l’entier près.

Cette approche géométrique est utile si on connaît les intensités des deux vecteurs et l’angle entre eux, mais on peut aussi connaître les composantes horizontale et verticale des deux vecteurs. Dans ce cas, on peut utiliser la deuxième façon de définir le produit scalaire, qui est l’approche algébrique.

Définition : Produit scalaire de deux vecteurs

Disons que 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗,𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗, avec 𝐴 et 𝐴 les composantes horizontale et verticale de 𝐴, et 𝐵 et 𝐵 les composantes horizontale et verticale de 𝐵. Le produit scalaire de 𝐴 et 𝐵 est alors donné par 𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵.

En d’autres termes, on multiplie les composantes 𝑥 des vecteurs puis les composantes 𝑦 des vecteurs, et ensuite on additionne les deux nombres.

On remarque à nouveau que le sens dans lequel on calcule le produit scalaire n’a pas d’importance. Puisque 𝐴𝐵=𝐵𝐴 et 𝐴𝐵=𝐵𝐴, 𝐴𝐵+𝐴𝐵=𝐵𝐴+𝐵𝐴.

Alors 𝐴𝐵=𝐵𝐴.

Regardons quelques exemples de questions où on doit utiliser cette approche.

Exemple 2: Calculer le produit scalaire de deux vecteurs donnés sous forme de composantes

Considérons deux vecteurs 𝑝=2𝑖+3𝑗 et 𝑞=6𝑖+4𝑗. Calcule 𝑝𝑞.

Réponse

Étant donné que les deux vecteurs sont donnés sous forme de composantes, on peut utiliser 𝑝𝑞=𝑝𝑞+𝑝𝑞 pour trouver le produit scalaire. On remplace par les valeurs:𝑝𝑞=2×6+3×4𝑝𝑞=24.

Le produit scalaire de 𝑝 et 𝑞 est égal à 24.

Exemple 3: Calculer le produit scalaire de deux vecteurs donnés sous forme de composantes

Une force constante de 𝐹=1𝑖+4𝑗N agit sur un objet et le déplace. Après un certain temps, le déplacement de l’objet de sa position initiale est 𝑑=5𝑖+2𝑗m. Calcule 𝐹𝑑.

Réponse

Étant donné que les deux vecteurs sont donnés sous forme de composantes, on peut utiliser 𝐹𝑑=𝐹𝑑+𝐹𝑑 pour trouver le produit scalaire. On remplace par les valeurs:𝐹𝑑=1×5+4×2𝐹𝑑=5+8𝐹𝑑=13.NmNmNmNmNm

Le produit scalaire de 𝐹 et 𝑑 est 13 N⋅m. Ceci est en fait égal au travail effectué par la force sur l’objet, et les unités de newtons-mètres sont équivalentes au joules, donc la réponse est aussi 13 J.

Exemple 4: Calcul du produit scalaire de deux vecteurs représentés sur une grille

La figure montre deux vecteurs, 𝐴 et 𝐵. Chacun des carrés de la grille sur la figure a un côté de 1. Calcule 𝐴𝐵.

Réponse

Comme les deux vecteurs ont été tracés sur une grille, on peut déterminer quelles sont leurs composantes. Le vecteur 𝐴 a une longueur horizontale de 3 carrés et une longueur verticale de 3 carrés, on peut donc l’écrire 𝐴=3𝑖+3𝑗. Le vecteur 𝐵 a une longueur horizontale de 6 carrés, et une longueur verticale de 1 carré, on peut donc l’écrire 𝐵=6𝑖+1𝑗.

On peut maintenant utiliser 𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵 pour trouver le produit scalaire. On remplace par les valeurs:𝐴𝐵=3×6+3×1𝐴𝐵=21.

Le produit scalaire de 𝐴 et 𝐵 est égal à 21.

Exemple 5: Calculer le produit scalaire de deux vecteurs représentés sur une grille

La figure montre deux vecteurs, 𝐴 et 𝐵. Chacun des carrés de la grille sur la figure a un côté de 1. Calcule 𝐴𝐵.

Réponse

Il y a deux façons de trouver la réponse à cette question. La première consiste à calculer le produit scalaire à partir des composantes des vecteurs.

Comme les deux vecteurs ont été tracés sur une grille, on peut déterminer quelles sont leurs composantes. Le vecteur 𝐴 a une longueur horizontale de 5 carrés et une longueur verticale de 0 carré, on peut donc l’écrire comme 𝐴=5𝑖+0𝑗. Le vecteur 𝐵 a une longueur horizontale de 0 carré et une longueur verticale de 4 carrés, on peut donc l’écrire 𝐵=0𝑖+4𝑗.

On peut maintenant utiliser 𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵 pour trouver le produit scalaire. On remplace par les valeurs:𝐴𝐵=5×0+0×4𝐴𝐵=0.

Le produit scalaire de 𝐴 et 𝐵 est égal à 0.

Mais un moyen plus rapide de trouver la la réponse serait de rappeler que, le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est toujours nul. On peut voir sur la figure que ces deux vecteurs sont perpendiculaires:le vecteur 𝐴 est dans la direction de l’axe 𝑥 et le vecteur 𝐵 est dans la direction de l’axe 𝑦, leur produit scalaire est donc nul.

À première vue, il ne semble pas que ces deux méthodes de calcul du produit scalaire produisent le même résultat, mais c’est bien le cas. Appliquons les deux méthodes au même exemple pour montrer qu’elles produisent le même résultat.

La figure ci-dessous montre deux vecteurs.

Avec les composantes, on peut écrire 𝐴 comme 15𝑖+8𝑗 et 𝐵 comme 5𝑖+12𝑗. On peut maintenant utiliser la méthode algébrique pour calculer le produit scalaire:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵𝐴𝐵=15×5+8×12𝐴𝐵=171.

On peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer les longueurs des deux vecteurs. En faisant cela, on constate que la longueur de 𝐴 est exactement de 17 et que la longueur de 𝐵 est exactement de 13. L'angle entre les vecteurs est 39,30764. Arrondissons à 39,3 pour l'instant. On peut maintenant utiliser la méthode géométrique pour calculer le produit scalaire:𝐴𝐵=𝐴𝐵(𝜃)𝐴𝐵=17×13×(39,3)𝐴𝐵=171,01868.coscos

On remarque que ce n’est pas exactement 171, c’est parce que l’on a choisi d’arrondir la valeur que l’on avait pour 𝜃. Cela rend le nombre plus facile à utiliser sur une calculatrice, mais cela réduit la précision du résultat. Si l'on utilise la valeur exacte de l’angle dans notre calcul, la réponse est exactement de 171. On peut aussi arrondir la réponse obtenue en utilisant 𝜃=39,3, que l’on arrondit à 171.

Points clés

  • Le produit scalaire est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs pour produire un scalaire.
  • Le produit scalaire est aussi appelé le produit interne.
  • Si l’on connaît la longueur de chaque vecteur et l’angle entre eux, on peut utiliser 𝐴𝐵=𝐴𝐵(𝜃)cos pour trouver le produit scalaire.
  • Si on connaît les composantes de chaque vecteur, on peut utiliser 𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵 pour trouver le produit scalaire.

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