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Dans une classe, il y a 18 garçons et sept filles. Déterminez le nombre de façons dont une équipe de trois membres peut être sélectionnée.
On cherche dans cette question à sélectionner une équipe de trois personnes dans notre classe. Dans notre classe, il y a 18 garçons et sept filles. Cependant, on ne nous dit pas que notre équipe doit être composée d'un certain nombre de garçons et de filles. Ainsi, il nous suffit d’additionne 18 et sept. Et on voit que le but est de trouver le nombre de façons de sélectionner trois élèves sur un total de 25. Et en fait, rien ne nous indique que l'ordre est important ici. En mathématiques, cela a un nom particulier. Cela s'appelle une combinaison. Une combinaison est une façon de calculer le nombre total des issues d'un événement où l'ordre des issues n'a pas d'importance.
Le nombre de combinaisons de 𝑟 éléments choisis dans un ensemble à 𝑛 éléments, où l’ordre des éléments n’a pas d’importance, est noté 𝑛 C 𝑟. 𝑛 C 𝑟 égale factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑟 fois factorielle de 𝑛 moins 𝑟. Dans ce cas, nous cherchons à former une équipe de trois étudiants, sur un total de 25. Donc, on va prendre 𝑛 égale 25 et 𝑟 égale trois. On voit donc que le nombre de façons de choisir cette équipe de trois membres est : 25 C trois. Et cela est égal à factorielle de 25 sur factorielle de trois fois factorielle de 25 moins trois.
Or, 25 moins trois est 22. On simplifie donc un peu pour obtenir factorielle de 25 sur factorielle de trois fois factorielle de 22. Maintenant, nous savons que factorielle de 25 est 25 fois 24 fois 23 et ainsi de suite. Mais généralement, il est préférable d'éviter de calculer les factorielles dans notre formule. Nous remarquons donc que factorielle de 25 peut s'écrire comme suit : 25 fois 24 fois 23 fois factorielle 22. Ensuite, on voit que nous pouvons simplifier notre fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par factorielle de 22. De la même façon, on sait que trois fois deux font six, et on peut diviser 24 et six par six. Et donc, 25 C trois se simplifie en 25 fois quatre fois 23 divisé par un, ce qui revient, bien sûr, à 25 fois quatre fois 23. 25 fois quatre fait 100. Ainsi, cela devient 100 fois 23, ce qui donne 2300.
Si une classe comprend 18 garçons et sept filles, le nombre de façons de choisir une équipe de trois membres est donc de 2300.
