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Vidéo de la leçon: Dénombrement en utilisant des combinaisons Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les combinaisons pour résoudre des problèmes de dénombrement.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les combinaisons pour résoudre des problèmes de dénombrement. Une combinaison est un réarrangement d’une collection d’objets. Par exemple, disons que nous avons les lettres A, B, C et D. Nous pouvons les organiser par deux comme suit : AB, BC, CD, etc. Chaque réarrangement est un exemple de combinaison. L’ordre n’a pas d’importance, donc AB équivaut à BA. Maintenant, bien sûr, si l’ordre importe, nous calculons en fait un arrangement et donc notre formule sera différente. Il est donc très important que nous fassions attention à faire la distinction entre ces deux notions avant de répondre à un problème. Notre travail consiste maintenant à trouver un moyen de les compter. Pour établir une formule, nous allons commencer par considérer un exemple.

Le professeur d’Olivia lui a demandé de choisir cinq des huit sujets qui lui ont été proposés. Combien de groupes de cinq sujets différents pourrait-elle choisir ?

Dans cette question, nous examinons de combien de manières nous pouvons choisir cinq objets dans un groupe de huit. Ici, l’ordre n’a pas d’importance. Par exemple, disons que trois des sujets qu’elle peut choisir sont les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages. Elle peut choisir d’abord les fractions, puis les nombres décimaux, puis les pourcentages. Elle peut encore choisir les fractions d’abord, puis les pourcentages, puis les nombres décimaux. Si nous listons toutes ces possibilités, il y a six manières différentes pour elle de choisir les trois sujets. Mais bien sûr, dans ce contexte, choisir des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages revient en fait à les choisir dans n’importe quel ordre. En fait, lorsque nous voulons choisir un certain nombre d’éléments d’un groupe plus important, nous appelons cela une combinaison.

Pour trouver une formule, nous allons commencer par réfléchir avec les arrangements. Il s’agit du cas où l’ordre est important. Dans ce cas, il y a six arrangements et une seule combinaison. Maintenant, disons que 𝑛𝑃𝑟 est le nombre de manières de choisir 𝑟 éléments parmi une sélection de 𝑛 lorsque l’ordre est important. On peut rappeler que la formule que nous utilisons pour calculer 𝑛𝑃𝑟 est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. Dans ce cas, nous nous intéressons au nombre de manières de choisir cinq sujets parmi un total de huit. Nous allons donc calculer huit 𝑃 cinq. En posant 𝑛 égal à huit et 𝑟 égal à cinq, le nombre d’arrangements est ici factorielle huit sur factorielle huit moins cinq. Cela donne factorielle huit sur factorielle trois, ce qui correspond à 6720.

Ainsi, si l’ordre est important, il y aura 6720 manières de choisir cinq des huit sujets donnés. Mais nous savons que l’ordre n’a pas d’importance ici. Nous devons donc trouver un moyen de nous débarrasser des arrangements en trop. Revenons à notre exemple précédent où l’on choisissait seulement trois sujets. Pour choisir trois sujets parmi un total de trois lorsque l’ordre importe, nous calculons trois 𝑃 trois, ce qui nous donne les six arrangements attendus.

Pour se débarrasser des arrangements en trop, nous devons diviser par factorielle trois puisque nous considérons trois sujets. Soit six divisé par factorielle trois, ou six divisé par six, ce qui est égal à un. Cela nous donne la seule combinaison attendue. Dans notre cas, comme il y a cinq sujets, nous allons diviser huit 𝑃 cinq par factorielle cinq. Cela nous donne comme réponse 56. Olivia peut choisir 56 groupes différents de cinq sujets parmi un total de huit.

Maintenant, cela induit une formule. Lorsque nous trouvons un nombre de combinaisons, nous devons avoir un nombre inférieur au nombre total d’arrangements. Pour prendre en compte le nombre de fois supplémentaires où nous avons compté le même ensemble de 𝑟 éléments, nous divisons le nombre d’arrangements par factorielle 𝑟. Nous obtenons donc que 𝑟 parmi 𝑛, le nombre de manières de choisir 𝑟 éléments parmi 𝑛 lorsque l’ordre n’a pas d’importance, est égal à 𝑛𝑃𝑟 sur factorielle 𝑟. Définissons cela un peu plus formellement. Le nombre de manières de choisir 𝑟 éléments d’une collection de 𝑛 éléments lorsque l’ordre n’a pas d’importance est appelé le nombre de combinaisons. Nous définissons 𝑟 parmi 𝑛, qui est égal à 𝑛𝑃𝑟 sur factorielle 𝑟, ce qui est équivalent à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟.

Il est également intéressant de savoir que la notation 𝑛𝐶𝑟 peut être appelée coefficient binomial. Selon l’endroit où nous nous trouvons dans le monde, la manière dont nous représentons cette notation varie, comme indiqué au bas de l’écran. Dans cet esprit, nous allons maintenant considérer un exemple qui montre comment appliquer cette formule.

Les noms de quatre élèves sont chacun écrits sur une feuille de papier, puis placés dans un chapeau. Si deux noms sont choisis au hasard dans le chapeau, déterminez le nombre de possibilités pour choisir deux élèves.

Nous cherchons à déterminer le nombre de manières de choisir deux noms sur un total de quatre. Nous allons donc commencer par décider si nous sommes intéressés par le calcul du nombre de combinaisons ou du nombre d’arrangements. Tout cela se résume à savoir si l’ordre compte. Plus précisément, si nous choisissons parmi une sélection d’éléments et que nous disons que l’ordre n’a pas d’importance, alors nous disons que c’est une combinaison. Si, cependant, l’ordre est important, alors nous avons un arrangement.

Pensons à ce qui se passe lorsque nous choisissons les deux noms au hasard. Supposons que les deux noms que nous tirons du chapeau soient Ali et Ben. Peu importe que nous choisissions Ali en premier et ensuite Ben ou que nous choisissions Ben en premier et ensuite Ali. Cela signifie que c’est le nombre de combinaisons qui nous intéresse. L’ordre n’a pas d’importance ici. Rappelons-nous alors la formule que nous utilisons. Pour calculer le nombre de combinaisons qui permettent de choisir 𝑟 éléments parmi une collection de 𝑛, nous trouvons 𝑟 parmi 𝑛, qui est égal à 𝑛𝑃𝑟 divisé par factorielle 𝑟.

Lorsque l’on calcule depuis le début, il peut être judicieux d’utiliser la formule modifiée factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Maintenant, 𝑛 est le nombre total d’éléments de la collection. Bien, voici les noms des étudiants. Alors, il y a quatre étudiants et 𝑛 est égal à quatre. Nous choisissons deux noms dans le chapeau. Nous allons donc poser 𝑟 égal à deux. On peut donc dire que le nombre total de manières de choisir ces noms est donné par deux parmi quatre.

Nous substituons dans la formule et nous voyons que cela est égal à factorielle quatre sur factorielle deux fois factorielle quatre moins deux. Cela se simplifie par factorielle quatre sur factorielle deux fois factorielle deux. Puisque factorielle deux vaut deux fois un, soit deux, et que factorielle quatre peut être écrit de manière équivalente comme quatre fois trois fois factorielle deux, nous voyons que nous pouvons diviser par un facteur commun factorielle deux et un autre facteur deux. Cela signifie que deux parmi quatre est égal à deux fois trois sur un. Cela donne tout simplement six. Ainsi, il y a un total de six possibilités pour choisir deux étudiants.

Appliquons maintenant la même formule mais à un problème impliquant des ensembles.

Soit 𝑋 majuscule l’ensemble contenant des 𝑥, où 𝑥 est un entier supérieur ou égal à 10 et inférieur ou égal à 16 et 𝑦 l’ensemble contenant les couples 𝑎 et 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des éléments de l’ensemble 𝑋 et 𝑎 n’est pas égal à 𝑏. Déterminez la valeur de 𝑛 de 𝑦, où 𝑛 de 𝑦 est le cardinal de 𝑦.

Puisque nous cherchons à trouver le nombre d’éléments dans l’ensemble 𝑦, commençons par étudier l’ensemble 𝑦 plus en détail. Premièrement, nous voyons que nous nous intéressons aux deux éléments 𝑎 et 𝑏, qui sont eux-mêmes des éléments de l’ensemble 𝑋. Ensuite, nous voyons également que l’ensemble 𝑋 ne contient que des entiers supérieurs ou égaux à 10 et inférieurs ou égaux à 16. En d’autres termes, l’ensemble 𝑋 contient les éléments 10, 11, 12, 13, 14, 15 et 16. Nous voyons qu’il y a un total de sept éléments dans l’ensemble 𝑋. Ainsi, c’est le nombre d’éléments à partir desquels nous formons nos couples.

Nous savons également que 𝑎 n’est pas égal à 𝑏. Nous devons donc trouver le nombre de manières de choisir deux éléments différents de 𝑋 quand l’ordre n’a pas d’importance. C’est-à-dire que nous comptons le nombre de combinaisons. Cela signifie que 𝑛 de 𝑦, le nombre d’éléments de l’ensemble 𝑦, doit être égal à deux parmi sept. Maintenant, bien sûr, la formule pour 𝑟 parmi 𝑛 est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. En posant 𝑛 égal à sept et 𝑟 égal à deux, nous pouvons réécrire deux parmi sept comme suit. Soit factorielle sept sur factorielle deux fois factorielle sept moins deux. Le dénominateur de cette expression se simplifie par factorielle deux fois factorielle cinq. Nous allons ensuite réécrire factorielle sept comme sept fois six fois factorielle cinq. Factorielle deux vaut simplement deux fois un, donc deux.

Cela signifie alors que nous pouvons diviser par un facteur constant de factorielle cinq et nous pouvons également diviser par deux. Donc, deux parmi sept se simplifie par sept fois trois divisé par un, ce qui est égal à 21. Ainsi, en posant 𝑛 de 𝑦 comme le nombre de manières de choisir deux éléments parmi un total de sept où l’ordre n’a pas d’importance, nous avons constaté que le nombre d’éléments dans l’ensemble 𝑦 est de 21.

Il convient de noter que nous pouvons également appliquer cette formule plus d’une fois dans un problème de dénombrement. Illustrons cela.

Une classe contient 14 garçons et 13 filles. De combien de manières pouvez-vous sélectionner une équipe de huit personnes de la classe de telle sorte que chaque membre de l’équipe soit du même sexe ?

Nous allons sélectionner une équipe de huit personnes, mais on nous dit que chaque membre de l’équipe doit être du même sexe. En d’autres termes, soit nous choisissons huit garçons sur un total de 14, soit nous choisissons huit filles sur un total de 13. Maintenant, bien sûr, l’ordre n’a pas d’importance ici. Nous pouvons choisir les huit garçons ou les huit filles dans n’importe quel ordre. Rappelez-vous, lorsque l’ordre n’a pas d’importance, nous utilisons des combinaisons. Plus précisément, si nous cherchons à choisir 𝑟 éléments parmi un total de 𝑛 et que l’ordre n’a pas d’importance, nous calculons 𝑟 parmi 𝑛. Cela est donné par factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟.

Faisons cela pour les deux groupes de garçons et de filles. Rappelez-vous, nous choisissons huit garçons parmi un total de 14. Cela fait huit parmi 14. En substituant 𝑛 par 14 et 𝑟 par huit dans la formule, nous obtenons factorielle 14 sur factorielle huit fois factorielle 14 moins huit. Ce qui vaut 3003. Il y a donc 3003 manières de choisir huit garçons dans un groupe de 14. Puisque nous choisissons huit filles parmi un total de 13, nous allons en fait calculer huit parmi 13. Cette fois, cela donne factorielle 13 sur factorielle huit fois factorielle 13 moins huit, soit 1287.

Nous savons maintenant combien de manières il y a de choisir huit garçons et combien de manières il y a de choisir huit filles. Pour trouver le nombre de manières de choisir huit garçons ou huit filles, nous calculons la somme de nos deux valeurs. En d’autres termes, nous trouvons 3003 plus 1287, soit 4290. Il y a 4290 manières de choisir une équipe de huit personnes du même sexe dans ce groupe.

Dans notre dernier exemple, nous étudierons un problème où nous devons déterminer une valeur manquante lorsque nous connaissons le nombre total de combinaisons.

Dans une école, il y avait 120 manières de sélectionner 119 étudiants pour assister à un séminaire. Déterminez le nombre d’étudiants dans l’école.

Pour répondre à cette question, nous allons commencer par poser 𝑛 le nombre total d’élèves. On nous dit qu’il y a 120 manières de sélectionner 119 étudiants. Vraisemblablement, puisque ces étudiants sélectionnés assistent tous au même séminaire, l’ordre n’a pas d’importance. Maintenant, nous savons que lorsque l’ordre n’a pas d’importance, nous utilisons les combinaisons. Le nombre de manières de choisir 119 étudiants parmi 𝑛 lorsque l’ordre n’a pas d’importance est 119 parmi 𝑛. On nous dit que cela est égal à 120. Utilisons la formule 𝑟 parmi 𝑛 égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟 pour déterminer une expression différente pour 119 parmi 𝑛.

En remplaçant 𝑟 par 119, cela équivaut à factorielle 𝑛 sur factorielle 119 fois factorielle 𝑛 moins 119. Pour comprendre ce qui se passe réellement ici, nous allons multiplier les deux membres de cette équation par factorielle 119. Lorsque nous le faisons, nous constatons que le membre de droite devient 120 fois factoriel 119.

Ensuite, réfléchissons à la manière dont nous pouvons exprimer le membre de gauche différemment. Puisque nous divisons factorielle 𝑛, qui vaut 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux et ainsi de suite, par factorielle 𝑛 moins 119, nous simplifions par le facteur 𝑛 moins 119. Nous voyons que cela est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un jusqu’à 𝑛 moins 118. À droite, 120 fois factorielle 119 équivaut à factorielle 120. Soit 120 fois 119 jusqu’à deux fois un. Nous avons donc maintenant une équation, mais nous devons être assez prudents. Sur le membre de gauche de notre équation, nous avons 119 facteurs, tandis que sur la droite nous en avons 120. Mais le membre de gauche équivaut à multiplier 𝑛 par 𝑛 moins un jusqu’à 𝑛 moins 118, puis à le multiplier par un.

Ainsi, nous avons deux expressions égales entre elles qui sont le produit du même nombre de facteurs. Assimilons le plus grand facteur dans chaque expression. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑛 est égal à 120. Bien sûr, nous pourrions assimiler le deuxième plus grand facteur, ce qui nous donne 𝑛 moins un égal à 119. En résolvant l’équation d’inconnue 𝑛, nous obtenons toujours 𝑛 est égal à 120. En répétant cette méthode pour le deuxième plus petit facteur de chaque côté, nous obtenons 𝑛 moins 118 égal deux, ce qui revient à dire que 𝑛 est égal à 120. Nous avons donc montré qu’il y a 120 étudiants dans l’école.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que les combinaisons sont des réarrangements de 𝑟 éléments parmi une collection de 𝑛 lorsque l’ordre n’a pas d’importance. Nous avons vu que la formule utilisée pour trouver le nombre de combinaisons 𝑟 parmi 𝑛 est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Enfin, nous avons vu que selon l’endroit où nous nous trouvions dans le monde, nous pouvions représenter la notation un peu différemment, comme indiqué.

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