Lesson Explainer: Dénombrement en utilisant les combinaisons

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les combinaisons pour résoudre des problèmes de dénombrement.

On utilise les combinaisons pour compter de combien de manières différentes on peut sélectionner un certain nombre d’éléments d’une collection d’éléments distincts. On utilise par exemple les combinaisons pour compter le nombre de façons de sélectionner 3 lettres différentes dans l’alphabet latin si l’ordre de ces lettres n’a pas d’importance.

On utilise les combinaisons et non les arrangements quand l’ordre des éléments sélectionnés n’a pas d’importance. Pour des arrangements, les sélections EAZ et AZE sont par exemple comptées comme deux issues distinctes, tandis qu’elles sont considérées comme une même issue pour des combinaisons.

Rappelons la formule qui donne le nombre de combinaisons distinctes, d’une certaine taille, issue d’un ensemble d’éléments donné.

Définition : Combinaisons

Soient et des entiers positifs tels que , représente le nombre de combinaisons de éléments choisi dans un ensemble à éléments. L’ordre des objets n’a pas d’importance. Ce nombre se calcule en utilisant la formule

Commençons par un exemple où nous devons dénombrer un nombre d’issues différentes en utilisant les combinaisons.

Exemple 1: Utiliser des combinaisons pour dénombrer

Soient et . Déterminez la valeur de , où est le nombre d’éléments de .

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le nombre d’éléments distincts de l’ensemble , où les éléments de sont des sous-ensembles de à deux éléments. En d’autres termes, nous devons déterminer le nombre de sous-ensembles de à deux éléments.

On peut former un sous-ensemble de à deux éléments en sélectionnant deux éléments distincts de l’ensemble sans tenir compte de l’ordre de ces éléments ; dans une telle situation on doit donc utiliser les combinaisons. Pour des entiers positifs et tels que , on rappelle que représente le nombre de combinaisons de éléments parmi dans lesquelles l’ordre des éléments n’a pas d’importance. On a

Comme contient tous les entiers compris entre 10 et 16 inclus, le nombre d’éléments de est

Par conséquent, pour former un sous-ensemble de à deux éléments, il faut choisir 2 entiers distincts parmi 7 sans tenir compte de l’ordre de sélection. On utilise donc les combinaisons avec et , c’est-à-dire . On peut donc écrire

Par conséquent, .

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé les combinaisons pour compter le nombre d’éléments d’un ensemble. Nous pouvons également utiliser les combinaisons pour résoudre des problèmes concrets où nous devons compter le nombre de façons différentes de sélectionner un certain nombre d’objets parmi un ensemble d’objets distincts. Pour cela, nous devons nous assurer que l’ordre de sélection n’a pas d’importance dans le contexte du problème.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser les combinaisons dans un cas concret.

Exemple 2: Déterminer le nombre de parties d’échecs jouées lors d’un tournoi à n participants

Un tournoi d’échecs est organisé tel que chaque joueur doit jouer contre tous ses adversaires. Sachant qu’il y a 78 participants, calculez le nombre total de parties qui seront jouées.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons compter le nombre de parties d’échecs différentes qui seront jouées de telle sorte que chaque joueur joue contre chacun de ses adversaires. On peut constituer chaque partie d’échecs en sélectionnant 2 joueurs distincts parmi les participants. Comme l’ordre des 2 joueurs sélectionnés n’a pas d’importance, le nombre de parties peut être calculé avec les combinaisons : soient et deux entiers positifs tels que , on rappelle que représente le nombre de combinaisons de éléments parmi pour lesquelles l’ordre des éléments n’a pas d’importance. On a

Comme on choisit 2 joueurs parmi un total de 78 participants et que l’ordre n’a pas d’importance, on peut utiliser les combinaisons avec et pour compter le nombre de parties d’échecs. En utilisant la formule ci-dessus, on a

Par conséquent, le nombre de parties qui seront joués lors de ce tournoi est 3 003.

Savoir si l’ordre des éléments sélectionnés est important ou non permet de distinguer si on doit utiliser les arrangements ou les combinaisons. Rappelons à présent comment calculer les nombres d’arrangements distincts quand l’ordre des éléments sélectionnés est important.

Définition : Arrangement

Soient et des entiers positifs tels que , représente le nombre d’arrangements de éléments pris parmi un total de éléments distincts. Pour le calculer on utilise la formule

Dans le prochain exemple, nous allons résoudre un problème concret de dénombrement en utilisant les combinaisons et les arrangements.

Exemple 3: Dénombrer lorsque l’ordre est important

L’administration d’une école choisit les couleurs de leur nouveau logo. Le logo est composé de trois lettres : CHS. Ils souhaitent que chaque lettre du logo soit d’une couleur différente. Les couleurs disponibles sont : rouge, vert, bleu, jaune, orange et violet.

De combien de façons différentes peuvent-ils colorer leur logo ?
L’administration de l’école décide finalement qu’au lieu de peindre chaque lettre avec une couleur différente, ils vont acheter trois des six couleurs, les mélanger, puis peindre le logo entier de la couleur obtenue.
De combien de façons différentes peuvent-ils maintenant colorer leur logo ?

Réponse

Partie 1

Nous devons compter le nombre de façons différentes de peindre les lettres CHS en utilisant une couleur différente pour chaque lettre. Pour peindre les trois lettres de couleurs différentes, il faut d’abord choisir les 3 couleurs à utiliser, puis les ordonner afin de peindre chacune des lettres correspondantes. Cela revient à choisir 3 couleurs quand l’ordre des couleurs sélectionnées est important. Nous devons donc utiliser les arrangements : soient et des entiers positifs tels que , on rappelle que représente le nombre d’arrangements de éléments parmi . On a

Dans cet exemple, on ordonne 3 couleurs distinctes parmi 6 ; on peut donc substituer et dans la formule. Cela nous donne

Par conséquent, il y a 120 façons différentes de colorer CHS avec les six couleurs disponibles de telle sorte que chaque lettre soit d’une couleur différente.

Partie 2

L’école décide maintenant de peindre les trois lettres CHS avec la même couleur, qui est obtenue en mélangeant trois couleurs différentes. On choisit toujours 3 couleurs différentes parmi 6, mais cette fois, l’ordre des 3 couleurs n’a pas d’importance. Nous devons donc utiliser les combinaisons car nous comptons un nombre d’issues pour lesquelles l’ordre n’a pas d’importance.

On rappelle que, soient et des entiers positifs tels que , représente le nombre de combinaisons de éléments parmi ; pour lesquelles l’ordre des éléments n’a pas d’importance. On le calcule ainsi

Dans ce cas, on choisit 3 couleurs différentes parmi 6 couleurs au total et l’ordre n’a pas d’importance. On peut donc utiliser les combinaisons avec et pour obtenir

Par conséquent, il y a 20 façons différentes de colorer CHS dans la couleur obtenue en mélangeant 3 couleurs différentes parmi les 6 disponibles.

On peut également appliquer le principe fondamental du dénombrement, ou principe multiplicatif, avec les combinaisons pour déterminer le nombre d’issues différentes d’un scénario. Rappelons le principe fondamental du dénombrement.

Théorème : Principe fondamental du dénombrement

Soient deux événements indépendants et tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est et le nombre d’issues possibles de l’événement est , le nombre total de couples d’issues possibles constitués d’issues des deux événements est le produit .

Deux événements sont dits indépendants si l’issue de l’un ne change pas le nombre d’issues possibles pour l’autre. Le principe fondamental du dénombrement fonctionne également lorsqu’il y a plus de deux événements. En bref, on peut multiplier le nombre d’issues possibles de chaque événement à condition que ces derniers soient indépendants deux à deux.

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer le principe fondamental du dénombrement et les combinaisons pour dénombrer des issues.

Exemple 4: Appliquer le principe fondamental du dénombrement (principe multiplicatif) et les combinaisons

Un village a 2 comités, chacun constitué de 2 personnes. De combien de façons différentes les comités peuvent-ils être formés à partir de 12 villageois sans qu’une personne ne puisse être choisie deux fois ?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons former 2 comités de 2 personnes tels que chaque personne ne puisse être sélectionnée qu’au plus une fois. Pour former les 2 comités, on peut d’abord former un comité de 2 personnes, puis former l’autre comité de 2 personnes à partir des 10 villageois restants.

Pour compter le nombre d’issues distinctes de la formation des deux comités, on rappelle le principe fondamental du dénombrement qui stipule que pour deux événements indépendants et tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est et le nombre d’issues possibles de l’événement est , le nombre total de couples d’issues de ces deux événements combinés est le produit . On rappelle également que deux événements sont indépendants si l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement.

Pour appliquer le principe fondamental du dénombrement, on définit comme l’événement consistant à former le premier comité de 2 personnes et comme l’événement consistant à former le deuxième comité de 2 personnes. On voit alors que le choix du premier comité n’affecte pas le nombre d’issues différentes du choix du deuxième comité. Par conséquent, et sont bien indépendants. Nous devons maintenant calculer séparément le nombre d’issues de chaque événement, puis les multiplier pour obtenir le nombre total de façons de former les 2 comités.

Commençons par calculer le nombre de façons différentes de former le premier comité. Pour former le premier comité, on doit choisir 2 personnes différentes parmi 12 et l’ordre des 2 personnes sélectionnées n’a pas d’importance. Nous devons donc utiliser les combinaisons : soient et des entiers positifs tels que , on rappelle que représente le nombre de combinaisons différentes de éléments parmi pour lesquelles l’ordre des éléments n’a pas d’importance. On a

On choisit ici 2 personnes différentes parmi 12 sans tenir compte de l’ordre de sélection, on peut donc utiliser les combinaisons avec et , ce qui donne

Il y a donc 66 façons différentes de choisir le premier comité.

Comptons maintenant le nombre de façons différentes de choisir le deuxième comité. Le deuxième comité est choisi parmi les 10 personnes restantes, ce qui signifie que l’on peut utiliser les combinaisons avec et ce qui donne

Il y a donc 45 façons différentes de former le deuxième comité.

On peut enfin appliquer le principe multiplicatif pour obtenir le nombre total de façons de former les 2 comités de 2 personnes. Multiplier ces nombres nous donne

Par conséquent, il y a 2 970 façons différentes de choisir 2 comités de 2 personnes de telle sorte que personne ne soit choisi plus d’une fois.

Étudions un autre exemple où nous devons appliquer le principe multiplicatif et les combinaisons.

Exemple 5: Dénombrer à l’aide du principe multiplicatif et des combinaisons

Il y a 7 balles rouges et 6 balles blanches dans un sac. Calculez le nombre de façons de sélectionner 4 balles rouges et 3 balles blanches.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer le nombre de façons différentes de sélectionner 4 balles rouges et 3 balles blanches où chaque balle est différente des autres. Pour réaliser cette sélection, on peut commencer par choisir 4 balles rouges puis 3 balles blanches.

On rappelle alors le principe fondamental du dénombrement : pour deux événements indépendants et tels que le nombre d’issues possibles de l’événement est et le nombre d’issues possibles de l’événement est , le nombre total de couples d’issues constitués de ces deux événements est le produit . On rappelle également que deux événements sont indépendants si l’issue d’un événement ne change pas le nombre d’issues possibles de l’autre événement.

Pour appliquer le principe fondamental du dénombrement ici, on définit comme l’événement consistant à sélectionner 4 balles rouges et comme l’événement consistant à sélectionner 3 balles blanches. On voit bien que la sélection de 4 balles rouges n’affecte pas le nombre de façons différentes de choisir les 3 balles blanches. Par conséquent, et sont des événements indépendants. Nous devons maintenant calculer séparément le nombre d’issues de chaque événement puis les multiplier pour obtenir le nombre total de façons de choisir 4 balles rouges et 3 balles blanches.

Commençons par calculer le nombre de façons différentes de sélectionner les balles rouges. On remarque que l’ordre des 4 balles rouges sélectionnées n’a pas d’importance. Comme on compte le nombre d’issues distinctes et que l’ordre n’a pas d’importance, on doit utiliser les combinaisons : soient et des entiers positifs tels que , on rappelle que représente le nombre de combinaisons de objets parmi pour lesquelles l’ordre des objets n’a pas d’importance. On a

On choisit 4 balles rouges parmi 7 balles rouges distinctes et l’ordre n’a pas d’importance, on peut donc les combinaisons avec et . Cela nous donne

Il y a donc 35 façons différentes de choisir 4 balles rouges.

Comptons à présent le nombre de façons distinctes de sélectionner les balles blanches. On choisit 3 balles blanches parmi 6 balles et l’ordre n’a pas d’importance ; on peut donc utiliser les combinaisons avec et pour obtenir

Il y a donc 20 façons différentes de sélectionner 3 balles blanches.

On peut enfin appliquer le principe multiplicatif pour calculer le nombre total de sélections différentes. En multipliant les deux nombres, on obtient

Par conséquent, il y a 700 façons différentes de sélectionner 4 balles rouges et 3 balles blanches dans le sac.

Terminons par résumer les concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

Soient et des entiers positifs tels que , représente le nombre de combinaisons différentes de éléments distincts parmi un total de éléments distincts. L’ordre des éléments n’a pas d’importance. La formule pour le calculer est
On peut utiliser les combinaisons pour des problèmes de dénombrement où l’ordre des éléments sélectionnés n’a pas d’importance. Si l’ordre des éléments sélectionnés est important, il faut, dans ce cas, utiliser les arrangements.