Transcription de la vidéo
Calculez l’aire du quadrilatère suivant au millième de mètre carré près.
Mais avant de résoudre ce problème, je vais d'abord diviser notre quadrilatère en deux triangles. On a donc le triangle 𝐴, qui est un triangle rectangle, et le triangle 𝐵. Avant de calculer l'aire des deux triangles, on doit trouver la longueur de 𝐵𝐷. Pour trouver la longueur de 𝐵𝐷, on va utiliser le théorème de Pythagore. On peut l'utiliser car on a un triangle rectangle. On le sait, car on peut voir qu'il y a un angle droit ici, à 𝐴.
Le théorème de Pythagore stipule que si nous avons un triangle rectangle dont les côtés sont 𝐴, 𝐵 et 𝐶, où 𝐶 est l'hypoténuse, le plus long côté opposé à l'angle droit, alors 𝐴 au carré plus 𝐵 au carré est égal à 𝐶 au carré. En observant notre figure, on peut voir que 𝐵𝐷 est en fait l'hypoténuse, parce qu'il est à l'opposé de l'angle droit de 𝐴. Ainsi, on peut dire que 𝐵𝐷 au carré est égal à 18 au carré plus 24 au carré. Donc, on a 𝐵𝐷 au carré est égal à 900. Si on prend la racine carrée des deux côtés, on obtient 𝐵𝐷 égale à 30 mètres. Fantastique, on a trouvé le côté manquant.
Bien, maintenant qu’on a trouvé le côté manquant. On peut passer à la suite et déterminer l'aire de chacun de nos triangles. Donc je vais commencer par le triangle 𝐴. Pour le triangle 𝐴, on sait que l'aire sera égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur. Et cela parce que nous avons en fait un triangle rectangle. On connaît donc la hauteur perpendiculaire. Donc, cela va être égal à un demi fois 24 fois 18, soit 216 mètres carrés. Nous avons donc réussi à étudier le triangle 𝐴.
Alors passons maintenant au triangle 𝐵. Pour le triangle 𝐵, ce n’est pas aussi simple, on ne connaît pas la hauteur perpendiculaire. Donc, nous allons utiliser la formule de Héron pour déterminer l'aire de ce triangle. La formule d'Héron nous dit que si nous avons un triangle 𝐴𝐵𝐶, son aire est égale à la racine carrée de 𝑠 multiplié par 𝑠 moins 𝐴 multiplié par 𝑠 moins 𝐵 multiplié par 𝑠 moins 𝐶, où 𝑠 est en fait le semi-périmètre qui peut être trouvé en calculant le périmètre de notre triangle - donc en additionnant 𝐴, 𝐵, et 𝐶 - et en le divisant par deux.
Maintenant, on a la formule de Héron. Et on sait ce qu'est 𝑠. Utilisons cela pour trouver l'aire du triangle 𝐵. En premier lieu, nous allons trouver notre demi-périmètre. Celui-ci sera égal à 15 plus 30 plus 37 sur deux, soit 41, car 15 plus 30 plus 37 donnent 82. Et 82 sur deux nous donne 41. Voilà, maintenant on a ça. Nous pouvons utiliser la formule de Héron pour trouver notre aire. Donc on peut dire que l'aire est égale à 41 multiplié par 41 moins 15 multiplié par 41 moins 30 multiplié par 41 moins 37. Ainsi, cela correspond à la racine carrée de 46904 mètres carrés.
On va laisser la racine carrée. Et la raison pour laquelle je fais ça, c'est par souci de précision, puisqu'on va maintenant les additionner et trouver l'aire du quadrilatère entier. Et à ce stade, je ne veux perdre aucune précision. Alors maintenant, on va trouver l'aire totale du quadrilatère. Pour cela, on va additionner l'aire du triangle 𝐴 et l'aire du triangle 𝐵. On a donc 216 plus la racine de 46904. Ce qui nous donne 432.5733132.
Alors c'est à ce moment-là qu'on regarde à nouveau la question pour vérifier comment on doit laisser notre réponse. On voit que la réponse doit être donnée au millième près. Donc, on peut dire que l'aire totale du quadrilatère est égale à 432.573 mètres carrés au millième près.
