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Déterminez l'ensemble des valeurs satisfaisant sinus 𝜃 cotangente 𝜃 égale moins un demi avec 𝜃 supérieur ou égal à zéro degré et inférieur ou égal à 90 degrés.
Il y a deux raisons pour lesquelles nous ne pouvons pas résoudre immédiatement cette équation. Tout d’abord, nous avons le produit de deux fonctions trigonométriques, sinus 𝜃 et cotangente 𝜃. Deuxièmement, l’une de ces fonctions trigonométriques est une fonction inverse ; cotangente 𝜃 est égale à un sur tangente 𝜃. Donc nous allons commencer par réécrire notre équation comme sinus 𝜃 fois un sur tangente 𝜃 égale moins un demi. Ensuite, nous rappelons que tangente 𝜃 est égale à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Son inverse, un sur tangente 𝜃, doit donc être égal à cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃. Donc nous pouvons dire que sinus 𝜃 fois cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃 est égal à moins un demi.
Nous savons que peu importe la valeur de 𝜃, sinus 𝜃 divisé par sinus 𝜃 sera toujours égal à un. Et donc nous devons résoudre l’équation cosinus 𝜃 égale moins un demi. Nous considérons la fonction réciproque cosinus moins un des deux membres de l’équation. Bien sûr, le cosinus moins un de cosinus 𝜃 est simplement 𝜃, donc 𝜃 doit être égal au cosinus moins un de moins un demi. Le cosinus moins un de moins un demi est de 120 degrés. Cela est donc une valeur de 𝜃 qui satisfait notre équation.
Nous avons cependant un petit problème. Nous recherchons l’ensemble de valeurs qui satisfont à notre équation avec 𝜃 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 90 degrés. 120 degrés ne satisfait clairement pas ce critère, nous utiliserons donc le fait que cosinus 𝜃 est périodique pour voir si nous pouvons trouver d’autres solutions dans cet intervalle. Nous pourrions utiliser un diagramme de CAST. Alternativement, nous pouvons utiliser le graphique de 𝑦 égale cosinus 𝜃. Cela ressemble un peu à ceci.
Nous recherchons des valeurs de 𝜃 qui satisfont notre équation dans l’intervalle de zéro à 90. On le représente ici en utilisant cette flèche rose. Nous avons résolu l’équation cosinus 𝜃 égale moins un demi. Donc si nous ajoutons la droite 𝑦 égale moins un demi sur notre diagramme, nous pouvons voir qu’elle ressemble un peu à ceci. Elle coupe la courbe de 𝑦 égale cosinus 𝜃 à 120 degrés. Nous avons calculé cela auparavant. Et une autre valeur ici comme indiqué. Elle ne coupe cependant pas la courbe en des valeurs de 𝜃 supérieures ou égales à zéro et inférieures ou égales à 90. Il n’y a donc pas de solutions dans cet intervalle. Nous utilisons le symbole de l’ensemble vide pour le représenter.
