Transcription de la vidéo
Calculez la limite de un plus sept sur 𝑥 plus neuf le tout à la puissance 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 tend vers plus ∞.
Il s'agit d'une limite délicate à calculer car la variable 𝑥, qui tend vers plus ∞, apparaît à la fois dans la base et l'exposant de cette puissance. Heureusement, vous avez vu une autre limite où la variable tend vers plus ∞ apparaît à la fois dans la base et l'exposant, la limite de un plus un sur 𝑛 tout à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Et la valeur de cette limite est le nombre d'Euler, 𝑒, la base du logarithme népérien, qui vaut approximativement 2,718.
Pour trouver la valeur de notre limite, il faut réécrire cette limite en fonction de la limite dont on connaît la valeur. Mais comment procéder ? Les puissances qui se trouvent dans notre limite et dans la limite connue ont des bases différentes. Mais nous pouvons changer cela en trouvant une fonction 𝑛 de 𝑥 pour laquelle la base de notre limite, un plus sept sur 𝑥 plus neuf, est un plus un sur 𝑛 de 𝑥. Cherchons donc la fonction 𝑛 de 𝑥 qui a cette propriété.
Pour cela, on simplifie par les uns ou alternativement on soustrait un des deux membres. On multiplie par 𝑛 de 𝑥 et 𝑥 plus neuf. Ensuite, on divise par sept pour trouver 𝑛 en fonction de 𝑥. On peut aussi considérer 𝑥 comme une fonction de 𝑛 en soustrayant neuf des deux membres, puis en changeant les membres.
On peut substituer cette expression de 𝑥 en fonction de 𝑛 de 𝑥 dans la limite que nous voulons déterminer pour obtenir la limite de un plus sept sur sept 𝑛 de 𝑥 moins neuf plus neuf tous à la puissance de sept 𝑛 de 𝑥 moins neuf plus trois. On peut simplifier l'exposant. Moins neuf plus trois donne moins six. Mais bien sûr, on peut aussi simplifier la base. On a moins neuf et plus neuf, qui se simplifient. Il nous reste donc une fraction de sept sur sept 𝑛 de 𝑥, qui est bien sûr juste un sur 𝑛 de 𝑥.
Modifions tout ça. Il ne reste que la limite de un plus un sur 𝑛 de 𝑥 tous à la puissance sept 𝑛 de 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers plus ∞. On devrait peut-être se rappeler ce qu'est 𝑛 de 𝑥. 𝑛 de 𝑥 est 𝑥 plus neuf sur sept.
On voit maintenant que la base de la puissance dans notre limite est la même que la base de la puissance dans la limite connue. Cela n'est bien sûr pas une surprise car on a choisi 𝑛 de 𝑥 avec soin pour que cela se produise. Ce sont simplement les exposants qui sont différents.
En fait ce n'est pas tout à fait vrai. Notre limite est la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ∞, alors que dans la limite connue, 𝑛 tend vers plus ∞. Notre limite est la limite quand 𝑥 tend vers plus ∞ d’une certaine fonction, mais cette fonction ne dépend que de 𝑥 en passant par la fonction 𝑛 de 𝑥.
Arrêtez de considérer 𝑛 comme une fonction de 𝑥 et considérez-la comme une variable. Que cela signifie-t-il pour notre limite ? Quand 𝑥 tend vers plus ∞, que se passe-t-il pour 𝑛 ? Eh bien, 𝑛 est 𝑥 plus neuf sur sept. Donc comme 𝑥 tend vers plus ∞, 𝑛 tend aussi vers plus ∞. On peut donc remplacer la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ∞ par la limite lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Les deux sont équivalentes.
Il pourrait être intéressant de mettre la vidéo en pause et de réfléchir intuitivement aux raisons pour lesquelles cela est vrai, peut-être en utilisant les expressions que nous avons trouvées pour 𝑛 en fonction de 𝑥 et 𝑥 en fonction de 𝑛. On peut continuer à ignorer le fait que 𝑛 est en fait une fonction de 𝑥 et la considérer simplement comme une variable ayant une certaine valeur.
On écrit donc 𝑛 là où on écrivait auparavant 𝑛 de 𝑥. Il n'est pas nécessaire d'expliquer comment 𝑛 est lié à 𝑥. Tout ce qui nous suffit pour évaluer cette limite est de dire que 𝑛 tend vers plus ∞. Nous allons justifier cette étape formellement à la fin de la vidéo, à l'aide d'une propriété de la limite d'une fonction composée. Mais cela vaut quand même la peine de vérifier dès maintenant que cette étape a un sens intuitif.
Bon, alors si vous vous souvenez, notre stratégie pour trouver la valeur de notre limite était de la relier à une limite connue, celle de un plus un sur 𝑛 tout à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞, dont on sait que la valeur est le nombre d'Euler, 𝑒. Et je crois que nous nous en sortons plutôt bien jusqu'à présent. Notre limite ressemble beaucoup à la limite connue. La seule différence maintenant est dans l'exposant.
Il est donc plus facile d'écrire la limite de quelque chose à la puissance sept 𝑛 moins six lorsque 𝑛 tend vers plus ∞ en fonction de la limite de cette quelque chose à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. On peut appliquer une loi des exposants à la fonction à l'intérieur de la limite. Notre limite devient donc la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance sept 𝑛 le tout sur un plus un sur 𝑛 à la puissance six lorsque 𝑛 tend vers plus ∞.
On peut aussi utiliser le fait que la limite d'un quotient de fonctions est le quotient de leurs limites. On a donc la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance sept 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞ divisée par la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance six lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Et notez que, pour la limite au dénominateur, l'exposant six ne dépend pas de 𝑛. Et donc, cette limite est relativement simple à calculer.
On utilise le fait que la limite d'une puissance d'une fonction est cette puissance de la limite de la fonction, pour prendre l'exposant en dehors de la limite. Et comme la limite de un plus un sur 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞ est juste un, la limite au dénominateur est un à la puissance six, qui est bien sûr un. Nous n'avons donc à nous soucier que de la limite au numérateur.
Il n'est peut-être pas évident d'écrire la limite d'un plus un sur 𝑛 à la puissance sept 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞ en fonction de la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance seulement 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Mais il serait peut-être plus facile de voir si nous permutons l'ordre du sept et du 𝑛 dans l'exposant, ce qui nous donne un exposant de 𝑛 fois sept.
On peut utiliser une autre loi des exposants, qui dit que 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐 est 𝑎 à la puissance 𝑏 tout à la puissance 𝑐. Et donc il faut trouver la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance 𝑛 tout à la puissance sept lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Comme nous l'avons vu précédemment, il est possible de permuter l'ordre de calcul de la limite et de l'exponentielle, pour obtenir la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞, le tout à la puissance sept.
Et nous avons maintenant réussi à écrire notre limite en fonction de la limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞, dont la valeur que nous connaissons est 𝑒. Et donc la valeur de notre limite est 𝑒 à la puissance sept.
Résumons ce que nous avons fait. Nous avons remarqué que la fonction donnée avait la variable 𝑥 à la fois en base et en exposant. Et ceci nous a rappelé une limite dont nous connaissons la valeur, la limite de un plus un sur 𝑛 tout à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞, dont la valeur est le nombre d'Euler 𝑒.
On a trouvé une fonction 𝑛 de 𝑥 qui nous a permis d'écrire la base de notre fonction comme un plus un sur 𝑛 de 𝑥. Nous avons ensuite inversé la fonction 𝑛 pour trouver 𝑥 en fonction de 𝑛 de 𝑥, ce qui nous a permis de remplacer 𝑥 dans notre fonction par des expressions impliquant 𝑛 de 𝑥.
Après avoir fait ça, nous avons affirmé que nous pourrions oublier 𝑥, en remplaçant 𝑛 de 𝑥 par 𝑛 et la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ∞ par la limite lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Après cela, il nous a suffi d'appliquer quelques lois des exposants et des lois des limites pour obtenir notre limite en fonction de limite de un plus un sur 𝑛 à la puissance 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Et comme on sait que la valeur de cette limite est 𝑒, il nous a suffi de substituer 𝑒 pour trouver la réponse de 𝑒 à la puissance sept.
Je vous ai dit précédemment que j'allais expliquer plus formellement comment la troisième ligne des calculs découle de la deuxième. Dans la deuxième ligne, on a une fonction composée. On a la limite de 𝑓 de 𝑛 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers plus ∞, étant donné que 𝑓 est une fonction qui prend 𝑥 à un plus un sur 𝑥 le tout à la puissance sept 𝑥 moins six.
Or pour deux fonctions quelconques 𝑓 et 𝑔, la limite de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est la limite de 𝑓 de 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Ce serait peut-être plus simple si on remplaçait 𝑛 de 𝑥 par sa définition, 𝑥 plus neuf sur sept. Alors faisons cela.
Maintenant on peut appliquer notre règle, avec 𝑎 égal à plus ∞et 𝑔 de 𝑥 est 𝑥 plus neuf sur sept. Nous voulons évaluer le membre droit, mais nous devons d’abord savoir ce que 𝑛 rapproche. Elle se rapproche la limite de 𝑥 plus neuf sur sept lorsque 𝑥 se rapproche de plus infini. Et comme cette limite est plus ∞, il nous reste la limite de 𝑓 de 𝑛 lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Et comme 𝑓 de 𝑥 est un plus un sur 𝑥 à la puissance sept 𝑥 moins six, on obtient la limite de un plus un sur 𝑛 le tout à la puissance sept 𝑛 moins six lorsque 𝑛 tend vers plus ∞. Et voilà la troisième ligne telle qu'elle est prétendue. Cette justification plus formelle de la troisième ligne des calculs utilisait la loi de limite pour une fonction composée.
