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Étudier une limite avec le nombre d’Euler
Dans cette vidéo, nous allons voir comment définir le nombre d’Euler comme une limite
et utiliser cette limite pour évaluer d’autres limites.
Pour définir le nombre d’Euler comme une limite, rappelons d’abord certains faits
importants. Premièrement, si on a la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale au logarithme népérien de
𝑥, alors 𝑓 prime de 𝑥 est la fonction inverse ; un sur 𝑥. Et nous avons pu prouver cela à partir de la définition d’une dérivée. Toutefois, il est important de souligner que le logarithme népérien de 𝑥 n’est
défini que pour les valeurs positives de 𝑥. Nous savons que notre définition de 𝑓 prime de 𝑥 ne sera valide que lorsque 𝑥 est
positif. Bien que ce ne soit pas strictement nécessaire pour la façon dont nous allons
l’utiliser, il est important de retenir cela.
La prochaine information que nous devons savoir est que 𝑓 prime de un est égal à
un. On peut évaluer cela en substituant 𝑥 égale un dans notre expression de 𝑓 prime de
𝑥. Et c’est ainsi que nous allons obtenir notre résultat. Rappelons que 𝑓 prime de 𝑥 est la dérivée de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous savons comment évaluer une dérivée en un point à l’aide des limites. Nous devons rappeler comment définir une dérivée en utilisant des limites. Pour une constante 𝑎 et une fonction dérivable 𝑔 de 𝑥, 𝑔 prime de 𝑎 est égal à
la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑔 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑔 de 𝑎 le tout divisé
par ℎ à condition que cette limite existe. Et nous savons que c’est de ça qu’il s’agit lorsqu’on dit qu’une fonction 𝑔 est
dérivable à une valeur de 𝑎. Nous allons utiliser ceci sur la fonction du logarithme népérien en un. Et en fait, nous savons déjà que cette limite est convergente, et nous savons qu’elle
est égale à un. Donc, nous allons commencer avec un est égal à la dérivée du logarithme népérien de
𝑥 par rapport à 𝑥 évalué lorsque 𝑥 est égal à un.
Ensuite, nous allons utiliser la définition d’une dérivée en termes de limites pour
écrire 𝑓 prime de un comme une limite. C’est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un, le
tout divisé par ℎ. Et nous savons que cette limite existe et qu’elle est convergente ; c’est égale à
un. Nous allons à présent réécrire cette limite sous une forme très utile. Nous allons d’abord remplacer la variable ℎ par la variable 𝑥. Et bien que cette étape ne soit pas strictement nécessaire, la plupart des fonctions
sur lesquelles nous allons utiliser ce résultat seront en fonction de 𝑥. Il est donc logique de réécrire notre résultat en fonction de 𝑥. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de un plus 𝑥 moins 𝑓 de un
le tout divisé par 𝑥.
Mais, nous savons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est le logarithme népérien, donc nous
pouvons évaluer 𝑓 de un plus 𝑥 et 𝑓 de un. Ce faisant, on obtient la limite quand 𝑥 tend vers zéro du logarithme népérien de un
plus 𝑥 moins le logarithme népérien de un, le tout divisé par 𝑥. Et bien sûr, on peut simplifier cette expression. Nous pouvons évaluer le logarithme népérien de un. Nous savons que 𝑒 puissance zéro est égal à un. Cela signifie que le logarithme népérien de un est égal à zéro. Donc, en fait, nous pouvons simplement retirer cette partie de nos limites. Et il y a encore une chose que nous allons faire pour simplifier cette limite. Au lieu de diviser par 𝑥, nous allons multiplier par un sur 𝑥.
Nous avons ainsi réécrit notre limite comme la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un
sur 𝑥 fois le logarithme népérien de un plus 𝑥. Et on peut encore simplifier cette limite. Nous devons remarquer quelque chose ; on multiplie une fonction logarithmique par une
autre fonction. Et cela devrait nous rappeler la loi des puissances des logarithmes. En termes de logarithme népérien, elle stipule que 𝑎 fois le logarithme népérien de
𝑏 est égal au logarithme népérien de 𝑏 à la puissance 𝑎. Donc, dans notre limite, au lieu de multiplier par un sur 𝑥 à l’extérieur du
logarithme, on peut écrire un plus 𝑥 à la puissance un sur 𝑥. Nous avons ainsi réécrit notre limite comme la limite quand 𝑥 tend vers zéro du
logarithme népérien de un plus 𝑥 le tout à la puissance un sur 𝑥. Il peut être utile d’ajouter des parenthèses ici pour nous rappeler que c’est un plus
𝑥 qui est à la puissance un sur 𝑥.
Il nous faut encore simplifier pour atteindre notre résultat final. Nous pouvons maintenant voir qu’il y a le logarithme népérien d’une valeur à
l’intérieur notre limite. Mais nous connaissons une information très intéressante à propos du logarithme
népérien. Nous savons que le logarithme népérien est une fonction continue. En fait, elle est continue pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à zéro. Donc, on a la limite du logarithme népérien d’une fonction quand 𝑥 tend vers zéro
est égal à un. Et nous savons que cette limite est convergente. Donc, sachant que la fonction du logarithme népérien est continue et que la valeur de
cette limite est un, nous pouvons simplement sortir le logarithme népérien de notre
limite. Donc, lorsqu’on fait cela, on obtient le logarithme népérien de la limite quand 𝑥
tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la puissance un sur 𝑥. Mais nous avons déjà montré que cela est égal à 𝑓 prime de un qui est égal à un.
Et bien sûr, nous pouvons simplifier cette expression. On peut écrire les deux côtés comme un exposant de 𝑒. Si les deux cotés sont égaux, alors 𝑒 à la puissance un doit être égal à 𝑒 à la
puissance du logarithme népérien de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un plus
𝑥 le tout à la puissance un sur 𝑥. Et bien sûr, nous savons que 𝑒 est la réciproque du logarithme népérien. Donc, on simplifie simplement cela pour obtenir notre limite. Et puisque 𝑒 puissance un est juste égal à 𝑒, nous avons montré que 𝑒 est égal à
la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la puissance un sur
𝑥. C’est un résultat très utile.
Par exemple, si on essayait d’évaluer cette limite directement, on verrait que
lorsque 𝑥 tend vers zéro, un plus 𝑥 tend vers un. Cependant, un sur 𝑥 tend vers l’∞. Donc, lorsqu’on essaie d’évaluer cette limite directement, on obtient un à la
puissance ∞, qui est une forme indéterminée. Donc, au lieu de cela, lorsqu’on obtient des limites qui ressemblent à ceci, on peut
essayer de les réécrire en fonction de cette limite pour que le résultat soit en
fonction de 𝑒.
Avant de voir comment utiliser ce résultat, nous pouvons réécrire cette limite sous
une autre forme utile. Donc, nous allons libérer de l’espace et commencer avec notre résultat 𝑒 est égal à
la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la puissance un sur
𝑥. Pour obtenir un nouveau résultat utile, nous allons utiliser une substitution. On définit 𝑥 comme égal à un sur 𝑛. Si on fait cela, on peut écrire le 𝑥 qui est entre parenthèses comme un sur 𝑛, ce
qui nous donne la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus un sur 𝑛 le tout à la
puissance un sur 𝑥. Cependant, nous voulons réécrire toute cette limite en fonction de 𝑛.
Ensuite, nous allons devoir réécrire notre exposant un sur 𝑥. Pour ce faire, nous devons trouver une expression pour un sur 𝑥. Nous pouvons simplement écrire l’inverse des deux côtés de notre équation. Si 𝑥 est égal à un sur 𝑛, alors un sur 𝑥 est égal à 𝑛. Ainsi, nous pouvons remplacer un sur 𝑥 dans l’exposant par 𝑛, ce qui nous donne la
limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus un sur 𝑛 le tout à la puissance 𝑛. Mais notre limite est toujours quand 𝑥 tend vers zéro, nous devons donc réécrire
cette limite en fonction de 𝑛. Et c’est là qu’on fait face à un petit problème. Nous voulons savoir ce qui arrive à la valeur de 𝑛 quand 𝑥 tend vers zéro. Nous allons utiliser l’équation un sur 𝑥 est égal à 𝑛.
Cependant, quand 𝑥 tend vers zéro, il y a plusieurs différentes options de ce qui
peut arriver à un sur 𝑥. Par exemple, la limite quand 𝑥 tend vers zéro à droite de un sur 𝑥 est égale à plus
l’∞. On divise un nombre positif par un nombre positif de plus en plus petit. Cette expression croît sans borne. Cependant, le contraire est également vrai. On peut avoir 𝑥 qui tend vers zéro à gauche. Ainsi, la limite quand 𝑥 tend vers zéro à gauche de un sur 𝑥 sera égale à moins
l’∞. Donc, il semble que nous ne savons pas ce qui arrive à la valeur de 𝑛 quand 𝑥 tend
vers zéro. Cependant, il est en fait possible de contourner ce problème.
Si nous revenons à notre résultat initial, nous avons déjà prouvé que ceci est
vrai. 𝑒 est égal à la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la puissance
un sur 𝑥. Et si cette limite est égale à 𝑒, alors ses limites à gauche et à droite doivent
être égales entre elles et doivent aussi être égales à 𝑒. En d’autres termes, 𝑒 est aussi égal à la limite quand 𝑥 tend vers zéro à droite de
un plus 𝑥 le tout à la puissance un sur 𝑥.
Ainsi, lorsqu’on fait ces calculs, au lieu de considérer 𝑥 tend vers zéro, on peut
juste considérer 𝑥 tend vers zéro à droite. Ensuite, nous savons que quand 𝑥 tend vers zéro à droite, les valeurs de 𝑛 tendent
vers l’∞. Donc, quand 𝑥 tend vers zéro à droite, 𝑛 tend vers l’∞. Ainsi, nous avons montré que la limite quand 𝑛 tend vers l’∞ de un plus un sur 𝑛 le
tout à la puissance 𝑛 est aussi égale à 𝑒. Et cela nous donne notre deuxième résultat 𝑒 est égal à la limite quand 𝑛 tend vers
l’∞ de un plus un sur 𝑛 le tout à la puissance 𝑛. Ces résultats ne sont en fait que des différentes façons d’exprimer la même chose ;
cependant, les voir sous différentes formes peut être utile dans différentes
situations. Et il convient également de souligner que parfois, on peut exprimer le premier
résultat en fonction de 𝑛, et le second résultat en fonction de 𝑥. Ce ne sont que des variables, et donc on peut les changer selon les préférences.
Et avant de voir comment utiliser ce résultat, nous allons tracer la courbe de 𝑦
égale un plus 𝑥 le tout à la puissance un sur 𝑥. Si nous traçons cette courbe pour des valeurs de 𝑥 supérieures à moins un, nous
obtiendrons un dessin qui ressemble un peu à ce qui suit. Il y a une asymptote verticale lorsque 𝑥 est égal à moins un et une asymptote
horizontale lorsque 𝑦 est égal à un. Et nous savons également que la courbe est indéfinie lorsque 𝑥 est égal à zéro car
on aurait un divisé par zéro dans la fonction. Ceci est représenté par le cercle creux sur notre figure. Si nous devions tracer cela avec précision, nous verrions que sa position est à
𝑒. Passons maintenant à quelques exemples pour apprendre comment utiliser ces deux
résultats.
Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un plus un sur 𝑥 le tout à la
puissance quatre 𝑥.
On nous donne la limite que nous devons évaluer. Et nous pouvons essayer d’évaluer cette limite directement. Nous voyons que notre limite est quand 𝑥 tend vers l’∞. Et nous savons que quand 𝑥 tend vers l’∞, la fonction inverse un sur 𝑥 tend
vers zéro. Donc, l’intérieure de nos parenthèses tend vers un. Cependant, quand 𝑥 tend vers ∞, quatre 𝑥 tend vers l’∞. Donc, si on essaie d’évaluer cette limite directement, on obtient un à la
puissance ∞, et ceci est une forme indéterminée. Nous allons donc essayer une autre méthode pour évaluer cette limite. Nous devons plutôt remarquer que la limite qui nous est donnée dans la question
est très similaire à la limite dans la définition du nombre d’Euler. Donc, nous devons rappeler le résultat suivant.
Nous savons que la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un plus un sur 𝑥 le tout à
la puissance 𝑥 est égale à la constante d’Euler 𝑒, et il est important de
mémoriser cette limite. Et il convient également de souligner qu’on peut parfois voir cela exprimé en
fonction de la variable 𝑛. Cependant, on nous a donné la limite en fonction de 𝑥, nous venons de la
réécrire en fonction de 𝑥. Et nous pouvons voir que la limite qui nous est donnée dans la question est
presque exactement sous cette forme. Cependant, dans notre exposant, au lieu de 𝑥, on a quatre 𝑥. Donc, nous voulons réécrire cette limite sous une forme qui nous permettra
d’utiliser notre résultat. Et pour ce faire, nous allons devoir utiliser les lois des exposants.
Tout d’abord, nous devons rappeler que 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐 est égal à 𝑎
à la puissance 𝑏 le tout à la puissance 𝑐. Et nous allons utiliser ceci pour réécrire notre limite sous une forme qui nous
permet d’utiliser notre résultat. Cela signifie que nous allons d’abord réorganiser les deux facteurs de notre
exposant. Si on fait cela, puis on utilise 𝑎 égale un plus un sur 𝑥, 𝑏 égale 𝑥 et 𝑐
égale quatre, nous avons réécrit notre limite comme la limite quand 𝑥 tend vers
l’∞ de un plus un sur 𝑥 le tout à la puissance 𝑥 le tout à la puissance
quatre.
Mais nous ne pouvons pas encore utiliser ce résultat car tout ceci est à la
puissance quatre. Donc, nous allons appliquer la loi des puissances pour les limites. Une version de cela stipule que pour tout entier 𝑛 et une constante réelle 𝑎
tel que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe, alors la limite
quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à la limite quand
𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 le tout à la puissance 𝑛. Et il convient de souligner que cela est également vrai pour des limites à
l’∞. Nous voulons appliquer cela pour 𝑛 égale quatre, 𝑎 égale l’∞, et 𝑓 de 𝑥 égale
un plus un sur 𝑥 le tout à la puissance 𝑥.
Et il est important de souligner que nous savons que la limite quand 𝑥 tend vers
l’∞ de 𝑓 de 𝑥 existe car c’est égal à 𝑒. Ainsi, d’après la loi des puissances des limites, nous pouvons réécrire notre
limite comme la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un plus un sur 𝑥 le tout à la
puissance 𝑥, puis on élève le résultat à la puissance quatre.
Et maintenant, nous pouvons juste évaluer la limite intérieure. Nous connaissons sa valeur ; c’est égal à la constante d’Euler 𝑒. Ainsi, lorsqu’on remplace cette limite par 𝑒, on obtient 𝑒 à la puissance
quatre, qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un
plus un sur 𝑥 le tout à la puissance quatre 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance
quatre.
Voyons maintenant comment utiliser notre autre résultat pour évaluer une autre
limite.
Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 plus un, le tout à la
puissance 11 sur 10𝑥.
On nous demande d’évaluer une limite, et on peut donc tenter une évaluation
directe. Premièrement, nous pouvons voir que les valeurs de 𝑥 tendent vers zéro. Cela signifie que à l’intérieur des parenthèses, un plus 𝑥 tend vers un plus
zéro, qui est égal à un. Cependant, il y a problème lorsqu’on essaie d’évaluer l’exposant. Le numérateur reste constant. Cependant, quand 𝑥 tend vers zéro, le dénominateur tend vers zéro, donc la
taille de l’exposant croît sans borne. Cela signifie que lorsqu’on essaie d’évaluer la limite, on obtient une forme
indéterminée. Nous allons devoir essayer une autre méthode pour évaluer cette limite.
Pour ce faire, nous pouvons examiner de près la limite que nous avons dans la
question. C’est en fait très semblable à une limite que nous savons comment évaluer. Nous pouvons voir que la limite qui nous est donnée dans la question est très
similaire à un résultat utile ; la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥
le tout à la puissance un sur 𝑥 est égale à la constante d’Euler 𝑒. Nous allons réécrire la limite qui nous est donnée dans la question sous une
forme qui nous permet d’utiliser notre résultat.
Nous allons commencer par réorganiser les deux termes entre parenthèses. On fait ceci juste pour que ça corresponde au résultat que nous avons
utilisé. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la
puissance 11 sur 10𝑥. Et maintenant, nous pouvons voir que cette limite est très similaire à notre
résultat. Cependant, dans notre résultat, l’exposant est un sur 𝑥. Mais dans notre limite, l’exposant est 11 divisé par 10𝑥. Donc, nous allons réécrire notre exposant en fonction de un sur 𝑥. Pour ce faire, nous allons commencer par écrire 11 sur 10𝑥 comme un sur 𝑥
multiplié par 11 sur 10. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la
puissance un sur 𝑥 fois 11 sur 10.
Maintenant, nous voulons écrire cela en fonction de notre résultat. Pour ce faire, nous devons faire deux choses. Tout d’abord, nous allons devoir utiliser les lois des exposants. Mais avant, nous devons rappeler qu’on peut écrire 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐
comme 𝑎 à la puissance 𝑏 le tout à la puissance 𝑐. Nous pouvons utiliser cela pour réécrire la limite avec 𝑎 égal à un plus 𝑥, 𝑏
égal à un sur 𝑥 et 𝑐 égal à 11 sur 10. Ce faisant, on obtient la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à
la puissance un sur 𝑥 le tout à la puissance 11 sur 10. Mais nous ne pouvons toujours pas utiliser notre résultat car on élève ceci à la
puissance 11 sur 10. Nous allons déplacer cela à l’extérieur de la limite.
Et en fait, nous pouvons le faire dans ce cas en utilisant la loi des puissances
des limites. Rappelons que cette loi stipule que pour une constante 𝑎, un nombre rationnel 𝑛
et une fonction 𝑓 de 𝑥, la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à la
puissance 𝑛 est égale à la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 le tout à
la puissance 𝑛. Et cette version de la loi des puissances pour les limites fonctionnera, à
condition que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe et soit égale à
un nombre non négatif.
Et en fait, c’est exactement le cas dans cet exemple. Nous savons que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de un plus 𝑥 le tout à la
puissance un sur 𝑥 est égale à la constante d’Euler 𝑒. Ainsi, en utilisant la règle des puissances pour les limites, on peut déplacer 11
sur 10 à l’extérieur de la limite. Et cela signifie simplement qu’on peut évaluer la limite qui est entre
parenthèses. Nous savons que cela est égal à la constante d’Euler 𝑒. Ainsi, en écrivant cette limite comme 𝑒, nous avons pu montrer que la limite
quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 plus un le tout à la puissance 11 sur 10𝑥 est
égale à 𝑒 à la puissance 11 sur 10.
Prenons maintenant un exemple qui nécessite plus de manipulation pour obtenir une
forme qu’on peut évaluer.
Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un moins sept sur 𝑥 le tout à la
puissance cinq 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer une limite. Et on pourrait être tenté de le faire directement. Et si nous essayions de le faire directement, nous aurions un problème. Moins sept sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers ∞ tend vers zéro et cinq 𝑥 tend vers ∞. Ainsi, cette limite tend vers un puissance ∞, qui est une forme indéterminée. Il nous faudra donc utiliser une autre méthode pour évaluer cette limite. En fait, il existe deux méthodes différentes pour évaluer cette limite. Nous n’utiliserons qu’une.
Nous savons que la limite qui nous est donnée dans la question est très similaire
aux limites impliquant le nombre d’Euler 𝑒. Et en fait, nous pourrions utiliser l’une ou l’autre de ces deux définitions pour
évaluer cette limite. Le choix de la définition à utiliser est fait selon des préférences
personnelles. Cependant, l’un des deux résultants est généralement plus facile que l’autre. Il peut cependant être très difficile de deviner lequel juste en regardant
l’expression donnée. Donc, si le résultat choisi semble ne pas aboutir, essayez d’utiliser
l’autre. Donc, nous voulons réécrire notre limite sous la forme suivante. Et, nous pouvons immédiatement remarquer quelques problèmes.
Premièrement, dans les parenthèses, au lieu de 𝑛, on a moins sept sur 𝑥. Donc, pour contourner ce problème, nous allons simplement faire la substitution
𝑛 égale moins sept sur 𝑥. Nous allons ensuite utiliser cette substitution pour réécrire notre limite. Nous allons commencer par exprimer moins sept sur 𝑥 comme 𝑛. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un plus 𝑛 le tout à la
puissance cinq 𝑥. Bien sûr, nous voulons réécrire cette limite en fonction de 𝑛. Alors, trouvons une expression pour cinq 𝑥. Et pour ce faire, nous pouvons simplement réorganiser notre expression 𝑛 égale
moins sept sur 𝑥. Nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par 𝑥 puis diviser par
𝑛. On obtient 𝑥 égal à moins sept sur 𝑛. Et nous pouvons alors substituer cela dans notre limite.
Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un plus 𝑛 le tout à la
puissance cinq fois moins sept sur 𝑛. Et en fait, nous pouvons simplifier cet exposant. C’est égal à moins 35 sur 𝑛. Donc, nous devons maintenant évaluer la limite quand 𝑥 tend vers l’∞ de un plus
𝑛 le tout élevé à la puissance moins 35 sur 𝑛. Cependant, ceci est un problème. Nous avons 𝑥 qui tend vers l’∞. Nous voulons savoir ce qui arrive à 𝑛. Pour le savoir, nous nous souvenons que nous avons défini 𝑛 comme égal à moins
sept sur 𝑥. Donc, nous pouvons simplement poser la question « comment est-ce que 𝑛 se
comporte quand 𝑥 tend vers l’∞ ? » Quand 𝑥 tend vers l’∞, le dénominateur de cette expression croît sans borne. Donc, 𝑛 est un nombre négatif de plus en plus petit ; 𝑛 tend vers zéro à
gauche. Donc, nous pouvons simplement réécrire ceci comme la limite quand 𝑛 tend vers
zéro à gauche de un plus 𝑛 le tout à la puissance moins 35 sur 𝑛.
Et il convient de souligner que, techniquement, on n’a pas besoin du fait que 𝑛
tend vers zéro à gauche. Nous pouvons simplement écrire ceci comme 𝑛 tend vers zéro. Cela ne change pas la valeur de cette limite. Et maintenant, c’est presque sous une forme que nous pouvons évaluer en utilisant
notre résultat. Il ne nous reste plus qu’à écrire ceci comme étant à la puissance un sur 𝑛. Tout d’abord, nous allons réécrire notre limite en utilisant les lois des
exposants. C’est égal à la limite quand 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout à la
puissance un sur 𝑛 le tout à la puissance moins 35.
Maintenant, nous devons mettre cet exposant de moins 35 à l’extérieur de notre
limite. Et pour ce faire, nous allons utiliser la loi des puissances des limites. La limite quand 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 à la puissance 𝑚 est égale à la
limite quand 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 le tout à la puissance 𝑚. Et cela est vrai à condition que 𝑚 soit un entier et que la limite quand 𝑛 tend
vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 existe. Et dans ce cas, nous savons que c’est vrai. Nous savons que c’est égal à la constante d’Euler 𝑒. Par conséquent, nous pouvons simplement mettre l’exposant moins 35 à l’extérieur
de notre limite. Ensuite, nous pouvons évaluer cette limite, ce qui nous donne 𝑒. Donc, notre réponse est 𝑒 à la puissance moins 35. Et nous pouvons réécrire ceci comme notre réponse finale : un sur 𝑒 à la
puissance 35.
Recapitulons maintenant les points clés de cette vidéo. Nous avons trouvé deux résultats utiles sur les limites, et nous avons montré qu’on
peut utiliser ces résultats pour évaluer d’autres limites en utilisant la
manipulation algébrique, le changement de variable et la loi des puissances des
limites.
