Transcription de la vidéo
Ătudier une limite avec le nombre dâEuler
Dans cette vidĂ©o, nous allons voir comment dĂ©finir le nombre dâEuler comme une limite
et utiliser cette limite pour Ă©valuer dâautres limites.
Pour dĂ©finir le nombre dâEuler comme une limite, rappelons dâabord certains faits
importants. PremiĂšrement, si on a la fonction đ de đ„ qui est Ă©gale au logarithme nĂ©pĂ©rien de
đ„, alors đ prime de đ„ est la fonction inverse ; un sur đ„. Et nous avons pu prouver cela Ă partir de la dĂ©finition dâune dĂ©rivĂ©e. Toutefois, il est important de souligner que le logarithme nĂ©pĂ©rien de đ„ nâest
dĂ©fini que pour les valeurs positives de đ„. Nous savons que notre dĂ©finition de đ prime de đ„ ne sera valide que lorsque đ„ est
positif. Bien que ce ne soit pas strictement nécessaire pour la façon dont nous allons
lâutiliser, il est important de retenir cela.
La prochaine information que nous devons savoir est que đ prime de un est Ă©gal Ă
un. On peut Ă©valuer cela en substituant đ„ Ă©gale un dans notre expression de đ prime de
đ„. Et câest ainsi que nous allons obtenir notre rĂ©sultat. Rappelons que đ prime de đ„ est la dĂ©rivĂ©e de đ de đ„ par rapport Ă đ„. Et nous savons comment Ă©valuer une dĂ©rivĂ©e en un point Ă lâaide des limites. Nous devons rappeler comment dĂ©finir une dĂ©rivĂ©e en utilisant des limites. Pour une constante đ et une fonction dĂ©rivable đ de đ„, đ prime de đ est Ă©gal Ă
la limite quand â tend vers zĂ©ro de đ de đ plus â moins đ de đ le tout divisĂ©
par â Ă condition que cette limite existe. Et nous savons que câest de ça quâil sâagit lorsquâon dit quâune fonction đ est
dĂ©rivable Ă une valeur de đ. Nous allons utiliser ceci sur la fonction du logarithme nĂ©pĂ©rien en un. Et en fait, nous savons dĂ©jĂ que cette limite est convergente, et nous savons quâelle
est égale à un. Donc, nous allons commencer avec un est égal à la dérivée du logarithme népérien de
đ„ par rapport Ă đ„ Ă©valuĂ© lorsque đ„ est Ă©gal Ă un.
Ensuite, nous allons utiliser la dĂ©finition dâune dĂ©rivĂ©e en termes de limites pour
Ă©crire đ prime de un comme une limite. Câest Ă©gal Ă la limite quand â tend vers zĂ©ro de đ de un plus â moins đ de un, le
tout divisĂ© par â. Et nous savons que cette limite existe et quâelle est convergente ; câest Ă©gale Ă
un. Nous allons Ă prĂ©sent rĂ©Ă©crire cette limite sous une forme trĂšs utile. Nous allons dâabord remplacer la variable â par la variable đ„. Et bien que cette Ă©tape ne soit pas strictement nĂ©cessaire, la plupart des fonctions
sur lesquelles nous allons utiliser ce rĂ©sultat seront en fonction de đ„. Il est donc logique de rĂ©Ă©crire notre rĂ©sultat en fonction de đ„. Cela nous donne la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de đ de un plus đ„ moins đ de un
le tout divisĂ© par đ„.
Mais, nous savons que la fonction đ de đ„ est le logarithme nĂ©pĂ©rien, donc nous
pouvons Ă©valuer đ de un plus đ„ et đ de un. Ce faisant, on obtient la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro du logarithme nĂ©pĂ©rien de un
plus đ„ moins le logarithme nĂ©pĂ©rien de un, le tout divisĂ© par đ„. Et bien sĂ»r, on peut simplifier cette expression. Nous pouvons Ă©valuer le logarithme nĂ©pĂ©rien de un. Nous savons que đ puissance zĂ©ro est Ă©gal Ă un. Cela signifie que le logarithme nĂ©pĂ©rien de un est Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, en fait, nous pouvons simplement retirer cette partie de nos limites. Et il y a encore une chose que nous allons faire pour simplifier cette limite. Au lieu de diviser par đ„, nous allons multiplier par un sur đ„.
Nous avons ainsi rĂ©Ă©crit notre limite comme la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un
sur đ„ fois le logarithme nĂ©pĂ©rien de un plus đ„. Et on peut encore simplifier cette limite. Nous devons remarquer quelque chose ; on multiplie une fonction logarithmique par une
autre fonction. Et cela devrait nous rappeler la loi des puissances des logarithmes. En termes de logarithme nĂ©pĂ©rien, elle stipule que đ fois le logarithme nĂ©pĂ©rien de
đ est Ă©gal au logarithme nĂ©pĂ©rien de đ Ă la puissance đ. Donc, dans notre limite, au lieu de multiplier par un sur đ„ Ă lâextĂ©rieur du
logarithme, on peut Ă©crire un plus đ„ Ă la puissance un sur đ„. Nous avons ainsi rĂ©Ă©crit notre limite comme la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro du
logarithme nĂ©pĂ©rien de un plus đ„ le tout Ă la puissance un sur đ„. Il peut ĂȘtre utile dâajouter des parenthĂšses ici pour nous rappeler que câest un plus
đ„ qui est Ă la puissance un sur đ„.
Il nous faut encore simplifier pour atteindre notre rĂ©sultat final. Nous pouvons maintenant voir quâil y a le logarithme nĂ©pĂ©rien dâune valeur Ă
lâintĂ©rieur notre limite. Mais nous connaissons une information trĂšs intĂ©ressante Ă propos du logarithme
nĂ©pĂ©rien. Nous savons que le logarithme nĂ©pĂ©rien est une fonction continue. En fait, elle est continue pour toutes les valeurs de đ„ supĂ©rieures Ă zĂ©ro. Donc, on a la limite du logarithme nĂ©pĂ©rien dâune fonction quand đ„ tend vers zĂ©ro
est égal à un. Et nous savons que cette limite est convergente. Donc, sachant que la fonction du logarithme népérien est continue et que la valeur de
cette limite est un, nous pouvons simplement sortir le logarithme népérien de notre
limite. Donc, lorsquâon fait cela, on obtient le logarithme nĂ©pĂ©rien de la limite quand đ„
tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la puissance un sur đ„. Mais nous avons dĂ©jĂ montrĂ© que cela est Ă©gal Ă đ prime de un qui est Ă©gal Ă un.
Et bien sĂ»r, nous pouvons simplifier cette expression. On peut Ă©crire les deux cĂŽtĂ©s comme un exposant de đ. Si les deux cotĂ©s sont Ă©gaux, alors đ Ă la puissance un doit ĂȘtre Ă©gal Ă đ Ă la
puissance du logarithme nĂ©pĂ©rien de la limite lorsque đ„ tend vers zĂ©ro de un plus
đ„ le tout Ă la puissance un sur đ„. Et bien sĂ»r, nous savons que đ est la rĂ©ciproque du logarithme nĂ©pĂ©rien. Donc, on simplifie simplement cela pour obtenir notre limite. Et puisque đ puissance un est juste Ă©gal Ă đ, nous avons montrĂ© que đ est Ă©gal Ă
la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la puissance un sur
đ„. Câest un rĂ©sultat trĂšs utile.
Par exemple, si on essayait dâĂ©valuer cette limite directement, on verrait que
lorsque đ„ tend vers zĂ©ro, un plus đ„ tend vers un. Cependant, un sur đ„ tend vers lââ. Donc, lorsquâon essaie dâĂ©valuer cette limite directement, on obtient un Ă la
puissance â, qui est une forme indĂ©terminĂ©e. Donc, au lieu de cela, lorsquâon obtient des limites qui ressemblent Ă ceci, on peut
essayer de les réécrire en fonction de cette limite pour que le résultat soit en
fonction de đ.
Avant de voir comment utiliser ce résultat, nous pouvons réécrire cette limite sous
une autre forme utile. Donc, nous allons libĂ©rer de lâespace et commencer avec notre rĂ©sultat đ est Ă©gal Ă
la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la puissance un sur
đ„. Pour obtenir un nouveau rĂ©sultat utile, nous allons utiliser une substitution. On dĂ©finit đ„ comme Ă©gal Ă un sur đ. Si on fait cela, on peut Ă©crire le đ„ qui est entre parenthĂšses comme un sur đ, ce
qui nous donne la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus un sur đ le tout Ă la
puissance un sur đ„. Cependant, nous voulons rĂ©Ă©crire toute cette limite en fonction de đ.
Ensuite, nous allons devoir rĂ©Ă©crire notre exposant un sur đ„. Pour ce faire, nous devons trouver une expression pour un sur đ„. Nous pouvons simplement Ă©crire lâinverse des deux cĂŽtĂ©s de notre Ă©quation. Si đ„ est Ă©gal Ă un sur đ, alors un sur đ„ est Ă©gal Ă đ. Ainsi, nous pouvons remplacer un sur đ„ dans lâexposant par đ, ce qui nous donne la
limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus un sur đ le tout Ă la puissance đ. Mais notre limite est toujours quand đ„ tend vers zĂ©ro, nous devons donc rĂ©Ă©crire
cette limite en fonction de đ. Et câest lĂ quâon fait face Ă un petit problĂšme. Nous voulons savoir ce qui arrive Ă la valeur de đ quand đ„ tend vers zĂ©ro. Nous allons utiliser lâĂ©quation un sur đ„ est Ă©gal Ă đ.
Cependant, quand đ„ tend vers zĂ©ro, il y a plusieurs diffĂ©rentes options de ce qui
peut arriver Ă un sur đ„. Par exemple, la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro Ă droite de un sur đ„ est Ă©gale Ă plus
lââ. On divise un nombre positif par un nombre positif de plus en plus petit. Cette expression croĂźt sans borne. Cependant, le contraire est Ă©galement vrai. On peut avoir đ„ qui tend vers zĂ©ro Ă gauche. Ainsi, la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro Ă gauche de un sur đ„ sera Ă©gale Ă moins
lââ. Donc, il semble que nous ne savons pas ce qui arrive Ă la valeur de đ quand đ„ tend
vers zéro. Cependant, il est en fait possible de contourner ce problÚme.
Si nous revenons à notre résultat initial, nous avons déjà prouvé que ceci est
vrai. đ est Ă©gal Ă la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la puissance
un sur đ„. Et si cette limite est Ă©gale Ă đ, alors ses limites Ă gauche et Ă droite doivent
ĂȘtre Ă©gales entre elles et doivent aussi ĂȘtre Ă©gales Ă đ. En dâautres termes, đ est aussi Ă©gal Ă la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro Ă droite de
un plus đ„ le tout Ă la puissance un sur đ„.
Ainsi, lorsquâon fait ces calculs, au lieu de considĂ©rer đ„ tend vers zĂ©ro, on peut
juste considĂ©rer đ„ tend vers zĂ©ro Ă droite. Ensuite, nous savons que quand đ„ tend vers zĂ©ro Ă droite, les valeurs de đ tendent
vers lââ. Donc, quand đ„ tend vers zĂ©ro Ă droite, đ tend vers lââ. Ainsi, nous avons montrĂ© que la limite quand đ tend vers lââ de un plus un sur đ le
tout Ă la puissance đ est aussi Ă©gale Ă đ. Et cela nous donne notre deuxiĂšme rĂ©sultat đ est Ă©gal Ă la limite quand đ tend vers
lââ de un plus un sur đ le tout Ă la puissance đ. Ces rĂ©sultats ne sont en fait que des diffĂ©rentes façons dâexprimer la mĂȘme chose ;
cependant, les voir sous diffĂ©rentes formes peut ĂȘtre utile dans diffĂ©rentes
situations. Et il convient Ă©galement de souligner que parfois, on peut exprimer le premier
rĂ©sultat en fonction de đ, et le second rĂ©sultat en fonction de đ„. Ce ne sont que des variables, et donc on peut les changer selon les prĂ©fĂ©rences.
Et avant de voir comment utiliser ce rĂ©sultat, nous allons tracer la courbe de đŠ
Ă©gale un plus đ„ le tout Ă la puissance un sur đ„. Si nous traçons cette courbe pour des valeurs de đ„ supĂ©rieures Ă moins un, nous
obtiendrons un dessin qui ressemble un peu Ă ce qui suit. Il y a une asymptote verticale lorsque đ„ est Ă©gal Ă moins un et une asymptote
horizontale lorsque đŠ est Ă©gal Ă un. Et nous savons Ă©galement que la courbe est indĂ©finie lorsque đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro car
on aurait un divisĂ© par zĂ©ro dans la fonction. Ceci est reprĂ©sentĂ© par le cercle creux sur notre figure. Si nous devions tracer cela avec prĂ©cision, nous verrions que sa position est Ă
đ. Passons maintenant Ă quelques exemples pour apprendre comment utiliser ces deux
résultats.
DĂ©terminez la limite quand đ„ tend vers lââ de un plus un sur đ„ le tout Ă la
puissance quatre đ„.
On nous donne la limite que nous devons Ă©valuer. Et nous pouvons essayer dâĂ©valuer cette limite directement. Nous voyons que notre limite est quand đ„ tend vers lââ. Et nous savons que quand đ„ tend vers lââ, la fonction inverse un sur đ„ tend
vers zĂ©ro. Donc, lâintĂ©rieure de nos parenthĂšses tend vers un. Cependant, quand đ„ tend vers â, quatre đ„ tend vers lââ. Donc, si on essaie dâĂ©valuer cette limite directement, on obtient un Ă la
puissance â, et ceci est une forme indĂ©terminĂ©e. Nous allons donc essayer une autre mĂ©thode pour Ă©valuer cette limite. Nous devons plutĂŽt remarquer que la limite qui nous est donnĂ©e dans la question
est trĂšs similaire Ă la limite dans la dĂ©finition du nombre dâEuler. Donc, nous devons rappeler le rĂ©sultat suivant.
Nous savons que la limite quand đ„ tend vers lââ de un plus un sur đ„ le tout Ă
la puissance đ„ est Ă©gale Ă la constante dâEuler đ, et il est important de
mĂ©moriser cette limite. Et il convient Ă©galement de souligner quâon peut parfois voir cela exprimĂ© en
fonction de la variable đ. Cependant, on nous a donnĂ© la limite en fonction de đ„, nous venons de la
rĂ©Ă©crire en fonction de đ„. Et nous pouvons voir que la limite qui nous est donnĂ©e dans la question est
presque exactement sous cette forme. Cependant, dans notre exposant, au lieu de đ„, on a quatre đ„. Donc, nous voulons rĂ©Ă©crire cette limite sous une forme qui nous permettra
dâutiliser notre rĂ©sultat. Et pour ce faire, nous allons devoir utiliser les lois des exposants.
Tout dâabord, nous devons rappeler que đ Ă la puissance đ fois đ est Ă©gal Ă đ
Ă la puissance đ le tout Ă la puissance đ. Et nous allons utiliser ceci pour rĂ©Ă©crire notre limite sous une forme qui nous
permet dâutiliser notre rĂ©sultat. Cela signifie que nous allons dâabord rĂ©organiser les deux facteurs de notre
exposant. Si on fait cela, puis on utilise đ Ă©gale un plus un sur đ„, đ Ă©gale đ„ et đ
Ă©gale quatre, nous avons rĂ©Ă©crit notre limite comme la limite quand đ„ tend vers
lââ de un plus un sur đ„ le tout Ă la puissance đ„ le tout Ă la puissance
quatre.
Mais nous ne pouvons pas encore utiliser ce résultat car tout ceci est à la
puissance quatre. Donc, nous allons appliquer la loi des puissances pour les limites. Une version de cela stipule que pour tout entier đ et une constante rĂ©elle đ
tel que la limite quand đ„ tend vers đ de đ de đ„ existe, alors la limite
quand đ„ tend vers đ de đ de đ„ Ă la puissance đ est Ă©gale Ă la limite quand
đ„ tend vers đ de đ de đ„ le tout Ă la puissance đ. Et il convient de souligner que cela est Ă©galement vrai pour des limites Ă
lââ. Nous voulons appliquer cela pour đ Ă©gale quatre, đ Ă©gale lââ, et đ de đ„ Ă©gale
un plus un sur đ„ le tout Ă la puissance đ„.
Et il est important de souligner que nous savons que la limite quand đ„ tend vers
lââ de đ de đ„ existe car câest Ă©gal Ă đ. Ainsi, dâaprĂšs la loi des puissances des limites, nous pouvons rĂ©Ă©crire notre
limite comme la limite quand đ„ tend vers lââ de un plus un sur đ„ le tout Ă la
puissance đ„, puis on Ă©lĂšve le rĂ©sultat Ă la puissance quatre.
Et maintenant, nous pouvons juste Ă©valuer la limite intĂ©rieure. Nous connaissons sa valeur ; câest Ă©gal Ă la constante dâEuler đ. Ainsi, lorsquâon remplace cette limite par đ, on obtient đ Ă la puissance
quatre, qui est notre rĂ©ponse finale. Par consĂ©quent, nous avons pu montrer que la limite quand đ„ tend vers lââ de un
plus un sur đ„ le tout Ă la puissance quatre đ„ est Ă©gale Ă đ Ă la puissance
quatre.
Voyons maintenant comment utiliser notre autre résultat pour évaluer une autre
limite.
DĂ©terminez la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de đ„ plus un, le tout Ă la
puissance 11 sur 10đ„.
On nous demande dâĂ©valuer une limite, et on peut donc tenter une Ă©valuation
directe. PremiĂšrement, nous pouvons voir que les valeurs de đ„ tendent vers zĂ©ro. Cela signifie que Ă lâintĂ©rieur des parenthĂšses, un plus đ„ tend vers un plus
zĂ©ro, qui est Ă©gal Ă un. Cependant, il y a problĂšme lorsquâon essaie dâĂ©valuer lâexposant. Le numĂ©rateur reste constant. Cependant, quand đ„ tend vers zĂ©ro, le dĂ©nominateur tend vers zĂ©ro, donc la
taille de lâexposant croĂźt sans borne. Cela signifie que lorsquâon essaie dâĂ©valuer la limite, on obtient une forme
indéterminée. Nous allons devoir essayer une autre méthode pour évaluer cette limite.
Pour ce faire, nous pouvons examiner de prĂšs la limite que nous avons dans la
question. Câest en fait trĂšs semblable Ă une limite que nous savons comment Ă©valuer. Nous pouvons voir que la limite qui nous est donnĂ©e dans la question est trĂšs
similaire Ă un rĂ©sultat utile ; la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„
le tout Ă la puissance un sur đ„ est Ă©gale Ă la constante dâEuler đ. Nous allons rĂ©Ă©crire la limite qui nous est donnĂ©e dans la question sous une
forme qui nous permet dâutiliser notre rĂ©sultat.
Nous allons commencer par réorganiser les deux termes entre parenthÚses. On fait ceci juste pour que ça corresponde au résultat que nous avons
utilisĂ©. Cela nous donne la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la
puissance 11 sur 10đ„. Et maintenant, nous pouvons voir que cette limite est trĂšs similaire Ă notre
rĂ©sultat. Cependant, dans notre rĂ©sultat, lâexposant est un sur đ„. Mais dans notre limite, lâexposant est 11 divisĂ© par 10đ„. Donc, nous allons rĂ©Ă©crire notre exposant en fonction de un sur đ„. Pour ce faire, nous allons commencer par Ă©crire 11 sur 10đ„ comme un sur đ„
multipliĂ© par 11 sur 10. Cela nous donne la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la
puissance un sur đ„ fois 11 sur 10.
Maintenant, nous voulons Ă©crire cela en fonction de notre rĂ©sultat. Pour ce faire, nous devons faire deux choses. Tout dâabord, nous allons devoir utiliser les lois des exposants. Mais avant, nous devons rappeler quâon peut Ă©crire đ Ă la puissance đ fois đ
comme đ Ă la puissance đ le tout Ă la puissance đ. Nous pouvons utiliser cela pour rĂ©Ă©crire la limite avec đ Ă©gal Ă un plus đ„, đ
Ă©gal Ă un sur đ„ et đ Ă©gal Ă 11 sur 10. Ce faisant, on obtient la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă
la puissance un sur đ„ le tout Ă la puissance 11 sur 10. Mais nous ne pouvons toujours pas utiliser notre rĂ©sultat car on Ă©lĂšve ceci Ă la
puissance 11 sur 10. Nous allons dĂ©placer cela Ă lâextĂ©rieur de la limite.
Et en fait, nous pouvons le faire dans ce cas en utilisant la loi des puissances
des limites. Rappelons que cette loi stipule que pour une constante đ, un nombre rationnel đ
et une fonction đ de đ„, la limite quand đ„ tend vers đ de đ de đ„ Ă la
puissance đ est Ă©gale Ă la limite quand đ„ tend vers đ de đ de đ„ le tout Ă
la puissance đ. Et cette version de la loi des puissances pour les limites fonctionnera, Ă
condition que la limite quand đ„ tend vers đ de đ de đ„ existe et soit Ă©gale Ă
un nombre non négatif.
Et en fait, câest exactement le cas dans cet exemple. Nous savons que la limite quand đ„ tend vers zĂ©ro de un plus đ„ le tout Ă la
puissance un sur đ„ est Ă©gale Ă la constante dâEuler đ. Ainsi, en utilisant la rĂšgle des puissances pour les limites, on peut dĂ©placer 11
sur 10 Ă lâextĂ©rieur de la limite. Et cela signifie simplement quâon peut Ă©valuer la limite qui est entre
parenthĂšses. Nous savons que cela est Ă©gal Ă la constante dâEuler đ. Ainsi, en Ă©crivant cette limite comme đ, nous avons pu montrer que la limite
quand đ„ tend vers zĂ©ro de đ„ plus un le tout Ă la puissance 11 sur 10đ„ est
Ă©gale Ă đ Ă la puissance 11 sur 10.
Prenons maintenant un exemple qui nécessite plus de manipulation pour obtenir une
forme quâon peut Ă©valuer.
DĂ©terminez la limite quand đ„ tend vers lââ de un moins sept sur đ„ le tout Ă la
puissance cinq đ„.
Dans cette question, on nous demande dâĂ©valuer une limite. Et on pourrait ĂȘtre tentĂ© de le faire directement. Et si nous essayions de le faire directement, nous aurions un problĂšme. Moins sept sur đ„ quand đ„ tend vers â tend vers zĂ©ro et cinq đ„ tend vers â. Ainsi, cette limite tend vers un puissance â, qui est une forme indĂ©terminĂ©e. Il nous faudra donc utiliser une autre mĂ©thode pour Ă©valuer cette limite. En fait, il existe deux mĂ©thodes diffĂ©rentes pour Ă©valuer cette limite. Nous nâutiliserons quâune.
Nous savons que la limite qui nous est donnée dans la question est trÚs similaire
aux limites impliquant le nombre dâEuler đ. Et en fait, nous pourrions utiliser lâune ou lâautre de ces deux dĂ©finitions pour
évaluer cette limite. Le choix de la définition à utiliser est fait selon des préférences
personnelles. Cependant, lâun des deux rĂ©sultants est gĂ©nĂ©ralement plus facile que lâautre. Il peut cependant ĂȘtre trĂšs difficile de deviner lequel juste en regardant
lâexpression donnĂ©e. Donc, si le rĂ©sultat choisi semble ne pas aboutir, essayez dâutiliser
lâautre. Donc, nous voulons rĂ©Ă©crire notre limite sous la forme suivante. Et, nous pouvons immĂ©diatement remarquer quelques problĂšmes.
PremiĂšrement, dans les parenthĂšses, au lieu de đ, on a moins sept sur đ„. Donc, pour contourner ce problĂšme, nous allons simplement faire la substitution
đ Ă©gale moins sept sur đ„. Nous allons ensuite utiliser cette substitution pour rĂ©Ă©crire notre limite. Nous allons commencer par exprimer moins sept sur đ„ comme đ. Cela nous donne la limite quand đ„ tend vers lââ de un plus đ le tout Ă la
puissance cinq đ„. Bien sĂ»r, nous voulons rĂ©Ă©crire cette limite en fonction de đ. Alors, trouvons une expression pour cinq đ„. Et pour ce faire, nous pouvons simplement rĂ©organiser notre expression đ Ă©gale
moins sept sur đ„. Nous pouvons multiplier les deux cĂŽtĂ©s de cette Ă©quation par đ„ puis diviser par
đ. On obtient đ„ Ă©gal Ă moins sept sur đ. Et nous pouvons alors substituer cela dans notre limite.
Cela nous donne la limite quand đ„ tend vers lââ de un plus đ le tout Ă la
puissance cinq fois moins sept sur đ. Et en fait, nous pouvons simplifier cet exposant. Câest Ă©gal Ă moins 35 sur đ. Donc, nous devons maintenant Ă©valuer la limite quand đ„ tend vers lââ de un plus
đ le tout Ă©levĂ© Ă la puissance moins 35 sur đ. Cependant, ceci est un problĂšme. Nous avons đ„ qui tend vers lââ. Nous voulons savoir ce qui arrive Ă đ. Pour le savoir, nous nous souvenons que nous avons dĂ©fini đ comme Ă©gal Ă moins
sept sur đ„. Donc, nous pouvons simplement poser la question « comment est-ce que đ se
comporte quand đ„ tend vers lââ ? » Quand đ„ tend vers lââ, le dĂ©nominateur de cette expression croĂźt sans borne. Donc, đ est un nombre nĂ©gatif de plus en plus petit ; đ tend vers zĂ©ro Ă
gauche. Donc, nous pouvons simplement rĂ©Ă©crire ceci comme la limite quand đ tend vers
zĂ©ro Ă gauche de un plus đ le tout Ă la puissance moins 35 sur đ.
Et il convient de souligner que, techniquement, on nâa pas besoin du fait que đ
tend vers zĂ©ro Ă gauche. Nous pouvons simplement Ă©crire ceci comme đ tend vers zĂ©ro. Cela ne change pas la valeur de cette limite. Et maintenant, câest presque sous une forme que nous pouvons Ă©valuer en utilisant
notre rĂ©sultat. Il ne nous reste plus quâĂ Ă©crire ceci comme Ă©tant Ă la puissance un sur đ. Tout dâabord, nous allons rĂ©Ă©crire notre limite en utilisant les lois des
exposants. Câest Ă©gal Ă la limite quand đ tend vers zĂ©ro de un plus đ le tout Ă la
puissance un sur đ le tout Ă la puissance moins 35.
Maintenant, nous devons mettre cet exposant de moins 35 Ă lâextĂ©rieur de notre
limite. Et pour ce faire, nous allons utiliser la loi des puissances des limites. La limite quand đ tend vers đ de đ de đ Ă la puissance đ est Ă©gale Ă la
limite quand đ tend vers đ de đ de đ le tout Ă la puissance đ. Et cela est vrai Ă condition que đ soit un entier et que la limite quand đ tend
vers đ de đ de đ existe. Et dans ce cas, nous savons que câest vrai. Nous savons que câest Ă©gal Ă la constante dâEuler đ. Par consĂ©quent, nous pouvons simplement mettre lâexposant moins 35 Ă lâextĂ©rieur
de notre limite. Ensuite, nous pouvons Ă©valuer cette limite, ce qui nous donne đ. Donc, notre rĂ©ponse est đ Ă la puissance moins 35. Et nous pouvons rĂ©Ă©crire ceci comme notre rĂ©ponse finale : un sur đ Ă la
puissance 35.
Recapitulons maintenant les points clĂ©s de cette vidĂ©o. Nous avons trouvĂ© deux rĂ©sultats utiles sur les limites, et nous avons montrĂ© quâon
peut utiliser ces rĂ©sultats pour Ă©valuer dâautres limites en utilisant la
manipulation algébrique, le changement de variable et la loi des puissances des
limites.