Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la définition de (le nombre d’Euler) pour évaluer certaines limites.
Le nombre d’Euler ( ) se révèle très utile dans de nombreuses branches des mathématiques, comme le calcul d’intérêts composés, les problèmes d’optimisation, le calcul infinitésimal et la définition de la fonction représentant la loi normale de distribution standard.
Il est possible qu’à l’origine, le nombre d’Euler ait été trouvé en recherchant une fonction exponentielle dont la dérivée serait elle-même. Cependant, on peut également le trouver grâce aux limites, et c’est ce que nous allons explorer dans cette fiche explicative.
On peut définir le nombre d’Euler en utilisant la limite suivante :
En utilisant un tableau de valeurs, nous pouvons voir comment cette limite se rapproche du nombre d’Euler lorsque augmente.
| 1 | |
| 10 | |
| 100 | |
| 1 000 | |
| 10 000 | |
| 100 000 |
Nous pouvons utiliser cette limite pour nous aider à évaluer les limites et à résoudre des problèmes impliquant des limites de cette forme. Avant de passer à des exemples, considérons une autre limite qui donne aussi le nombre d’Euler.
Nous allons essayer de remplacer dans notre limite précédente. Étant donné que nous considérons la limite comme et , on peut dire que , . En les substituant dans , on va obtenir
Nous connaissons maintenant deux limites qui sont évaluées pour donner le nombre d’Euler. Résumons les résultats que nous venons de montrer.
Définition : Nombre d’Euler comme limite
Voyons quelques exemples de la manière dont nous pouvons utiliser ces deux résultats pour évaluer des limites que nous ne pouvions pas évaluer auparavant.
Exemple 1: Évaluation d’une limite à l’aide de la constante d’Euler
Déterminez .
Réponse
Nous pourrions d’abord essayer d’évaluer cette limite directement. Dans notre limite, tend vers l’infini positif, donc le dénominateur de croît sans limite, tandis que son numérateur reste constant, par conséquent, tend vers 0. Il en découle que l’expression entre parenthèses tend vers 1. Cependant, notre exposant ( ) tend vers l’infini quand tend vers l’infini.
On obtient donc c’est-à-dire une forme indéterminée. Il nous faut donc utiliser une autre méthode pour évaluer notre limite.
On remarque que la limite que nous devons évaluer ressemble beaucoup à l’une des limites exprimant la valeur du nombre d’Euler :
La différence entre les deux expressions limites est que celle qui nous a été donnée a un exposant de plutôt que . Nous pouvons utiliser les lois des exposants pour réécrire notre limite sous la forme :
Avant de pouvoir substituer le nombre d’Euler à l’expression limite, nous devons déplacer l’exposant de 4 à l’extérieur de la limite. Si la nouvelle limite existe, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour les limites pour atteindre cet objectif :
La limite à l’intérieur de notre exposant existe parce que c’est juste le résultat de notre limite pour le nombre d’Euler . Ainsi, nous utilisons le résultat de notre limite et remplaçons la limite entre parenthèses par en nous donnant
Dans le prochain exemple, nous verrons comment évaluer une limite en utilisant cette fois notre second résultat de limite.
Exemple 2: Résoudre des limites en les transformant en limites de l’exposant naturel
Déterminez .
Réponse
Comme on nous demande d’évaluer une limite, nous pourrions commencer par le faire directement. Quand tend vers 0, l’expression entre parenthèses tend vers 1 et notre exposant tend vers l’infini. Ceci est une forme indéterminée, en particulier , alors nous devrons essayer une autre méthode.
Nous pouvons voir que notre limite est similaire à l’un de nos résultats donnant le nombre d’Euler sous forme de limite,
Ainsi, nous pouvons essayer d’utiliser ce résultat pour nous aider à évaluer notre limite.
Pour ce faire, il faut que notre exposant soit égal au résultat de limite, c’est-à-dire . Pour ce faire, nous commencerons par utiliser nos lois des exposants pour réécrire notre limite : où nous réarrangeons les termes entre parenthèses et utilisons le fait que .
À ce stade, nous voulons utiliser notre résultat de limite impliquant le nombre d’Euler ; cependant, nous devons d’abord prendre notre exposant à l’extérieur de notre limite et pour ce faire, nous devons utiliser la règle de puissance pour les limites.
Cela nous indique que nous pouvons prendre l’exposant à l’extérieur de la limite à condition que notre nouvelle limite existe.
Dans notre cas, nous avons et nous savons que cela est vrai car la limite entre parenthèses est exactement la même que le résultat de limite impliquant le nombre d’Euler. On remplace cette limite étant égale à et on obtient
Il n’est pas toujours possible d’utiliser directement nos résultats de limite exprimant le nombre d’Euler . Nous pourrions avoir à utiliser d’autres outils tels que la division de polynômes, la factorisation ou le changement de variable. Cependant, le principe de base est le même, nous prenons une limite que nous ne sommes pas en mesure d’évaluer et l’écrivons sous une forme , que nous pouvons utiliser ensuite nos résultats de limite pour l’évaluer.
Exemple 3: Évaluation d’une limite en la transformant en une limite de l’exposant naturel
Déterminez .
Réponse
On nous demande d’évaluer une limite que nous pourrions essayer d’évaluer directement. Ainsi, lorsque tend vers , l’expression entre parenthèses tend vers 1 tandis que l’exposant croît sans borne. Par conséquent, nous avons
C’est une forme indéterminée, alors nous devrons essayer une autre méthode pour évaluer cette limite.
Cette limite est semblable à l’un des résultats donnant le nombre d’Euler sous forme de limite, donc nous pouvons essayer d’utiliser ce résultat pour nous aider à évaluer notre limite. Nous avons beaucoup de choix pour la façon de s’y prendre.
Nous allons essayer d’écrire cette limite sous une forme où nous pouvons utiliser
Cependant, il est également possible d’utiliser
D’habitude, l’un des résultats de limite est plus facile que l’autre et il peut être très difficile de déterminer quel résultat de limite utiliser en regardant la question, donc si on reste bloqué avec un résultat, on peut toujours essayer d’utiliser l’autre limite de l’exposant .
Pour écrire notre limite sous cette forme, nous voudrons avoir recours à un changement de variable. Nous aimerions à l’intérieur de nos parenthèses, nous utilisons donc la substitution
On peut réarranger cette substitution pour trouver en fonction de de sorte que
En multipliant par 5 de chaque côté, on a alors
En utilisant cette substitution, nous pouvons réécrire notre limite comme suit
Cependant, ceci est la limite car tend vers l’infini et nous voulons savoir ce qui se passe en fonction de , alors nous devrons examiner notre substitution. Quand tend vers l’infini, tend vers 0, et puisque , alors doit aussi tendre vers 0.
Cela nous donne
Maintenant, nous utilisons l’une des lois des exposants :
Enfin, nous appliquons la règle de puissance pour les limites : sachant que la limite résultante existe puisqu’il s’agit de notre résultat exprimant le nombre d’Euler sous forme de limite.
Tout ce que nous devons faire maintenant, c’est substituer cette limite à et réarranger, de sorte que finalement nous avons
Dans notre prochain exemple, nous considérerons la limite d’une fonction rationnelle élevée à un exposant linéaire.
Exemple 4: Résoudre des limites en les transformant sous la forme de limites d’exposant naturel
Déterminez .
Réponse
Nous pourrions essayer d’évaluer cette limite directement. À l’intérieur de nos parenthèses, nous avons une fonction rationnelle, et nous savons que tend vers , nous pouvons voir ce qui se passe en observant le quotient des termes directeurs de notre fonction rationnelle. Comme cela vaut 1, la limite de notre fonction rationnelle est également 1. Cependant, notre exposant croît sans limite, nous avons donc qui est une forme indéterminée. Nous devrons donc essayer une autre méthode pour évaluer cette limite.
Essayons plutôt d’évaluer cela en utilisant l’un de nos résultats exprimant le nombre d’Euler sous forme de limite :
On commence par réécrire notre fonction rationnelle :
Si nous comparons les deux limites, nous verrons que nous devrons avoir recours à un changement de variable. Nous voulons à l’intérieur de nos parenthèses, nous allons procéder à la substitution
On observe que lorsque tend vers l’infini tend vers 0, alors doit aussi tendre vers l’infini.
Avant d’utiliser cette substitution, nous devons également réarranger pour trouver en fonction de , que nous pouvons faire comme suit.
Nous prenons l’inverse des deux côtés de notre substitution, en nous donnant
Ensuite, nous multiplions par 8 et ajoutons 4 des deux côtés :
Nous pouvons maintenant utiliser cette substitution pour réécrire notre limite :
Nous voulons utiliser notre résultat de limite, mais nous avons d’abord besoin que notre exposant soit . Pour ce faire, nous devons d’abord utiliser les lois des exposants combinées à la règle du produit pour les limites de sorte que
Pour utiliser la règle du produit pour les limites, il faut que nos nouvelles limites existent toutes les deux. Nous montrerons dans notre démarche que ces deux limites existent.
On peut évaluer l’une de ces limites directement :
Ensuite, pour évaluer notre autre limite, nous utilisons les lois des exposants et la règle de puissance pour les limites, et c’est vrai à condition que cette limite existe, et on sait que c’est le cas car il s’agit du résultat de notre limite précédente. Cela signifie que nous pouvons remplacer cette limite par la constante d’Euler :
Par conséquent, nous avons montré
Nous pouvons également utiliser ces résultats pour résoudre des limites impliquant des fonctions plus compliquées.
Exemple 5: Évaluation des limites en les transformant en formes de limite de l’exposant naturel
Déterminez .
Réponse
Nous pourrions essayer d’évaluer cette limite directement. À l’intérieur de nos parenthèses, nous avons une fonction continue, de sorte que nous pouvons simplement substituer . Cependant, notre exposant croît sans limite, nous avons donc qui est une forme indéterminée, nous devrons donc essayer une autre méthode pour évaluer cette limite.
Essayons plutôt d’évaluer cela en utilisant un résultat de limite impliquant le nombre d’Euler, à savoir,
Afin de comparer cela avec la limite qu’on nous demande de trouver, nous devrons manipuler l’expression entre parenthèses dans la forme . Pour ce faire, on commence par substituer
Nous savons que lorsque tend vers 0, tendra vers de 0 par substitution directe, alors doit aussi tendre vers 0. En outre, en prenant l’inverse des deux côtés de notre substitution et en réarrangeant, nous avons
En utilisant tout cela, nous pouvons réécrire notre limite comme
On peut alors évaluer cette limite en utilisant les lois des exposants et la règle de puissance des limites pour obtenir l’exposant requis de :
Bien sûr, on sait que ceci est uniquement valable si la limite entre parenthèses existe, et on sait qu’elle existe car
Enfin, nous pouvons utiliser le résultat de notre limite pour évaluer la limite entre parenthèses comme étant la constante d’Euler :
Ainsi, nous avons pu montrer
Jusqu’à présent, nous avons exploré les limites qui résultent du nombre d’Euler. Nous allons maintenant considérer certaines limites qui résultent en l’inverse de la fonction . Lorsque l’on considère toute fonction exponentielle, , on sait que sa réciproque est une fonction logarithmique de base , . Donc, quand on considère l’inverse de la fonction , on sait que ce sera la fonction logarithmique de base , , le logarithme népérien. La fonction de logarithme naturel peut être écrite comme . Voici un graphique illustrant la fonction exponentielle et la fonction logarithmique naturelle. Nous pouvons voir comment elles se reflètent l’une à l’autre par rapport à la ligne .
Avant de définir le logarithme naturel comme une limite, rappelons d’abord quelques propriétés utiles :
- est équivalent à ,
- ,
- ,
- ,
- .
Pour chaque et , - ,
- ,
- ,
- .
Nous commencerons par considérer l’équation
où et sont des variables et est une constante de valeur réelle. Pour cette équation, on peut voir que lorsque , et donc aussi. On peut déplacer le 1 de l’autre côté de l’équation et prendre le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour obtenir
En utilisant les propriétés des logarithmes, nous pouvons réarranger ceci pour
Considérons maintenant la limite suivante :
En utilisant (1) et (2), on peut réécrire ceci comme
Notez que, comme mentionné précédemment, lorsque , aussi. Nous pouvons réarranger le côté droit de cette équation en utilisant les propriétés des logarithmes et des limites comme suit :
Maintenant, nous pouvons remarquer que la limite au dénominateur de la fraction est la limite qui est égale au nombre d’Euler. Ainsi, on peut dire que
Nous pouvons utiliser cette définition de limite d’un logarithme népérien pour nous aider à résoudre des problèmes. Une autre paire de définitions de limites qui peut aussi nous aider à résoudre des problèmes est
Nous pouvons résumer les limites donnant les logarithmes ci-dessous.
Définition : Logarithmes en tant que limites
Regardons maintenant quelques exemples de la manière dont nous pouvons utiliser ces limites pour résoudre des problèmes.
Exemple 6: Évaluation d’une limite à l’aide du logarithme népérien
Déterminez .
Réponse
On nous a donné une limite à évaluer ici, alors nous pouvons d’abord essayer de le faire directement. Si on substitue 0 dans notre limite, on obtiendra , qui n’est pas défini. Par conséquent, nous devrons utiliser une autre méthode pour déterminer cette limite.
Lorsque nous regardons cette limite, nous pouvons remarquer qu’elle ressemble beaucoup à une limite qui a été évaluée au logarithme népérien. Comparons-le à cette limite :
Nous remarquons que cette limite est très semblable à la limite qu’on nous a demandée d’évaluer. La constante est égale à 7. Nous avons aussi de légères différences dans l’exposant de la puissance et le dénominateur de la fraction. La puissance est au lieu de et le dénominateur est au lieu de . Pour évaluer la limite, nous devons essayer de la manipuler pour qu’elle soit plus semblable à la limite qui nous a été donnée.
Commençons par changer l’exposant. Nous pouvons le faire en utilisant une substitution. Nous voulons faire en sorte que l’exposant soit juste une variable et non une variable multipliée par une constante. On peut utiliser la substitution , qui est équivalente à
Avant de procéder à cette substitution, nous devons considérer ce qui arrivera à la limite. Dans la limite donnée dans la question, nous considérons quand . On utilise la substitution , de sorte que nous pouvons voir que lorsque tend vers 0, il en est de même pour . Ainsi, lorsque , aussi. Maintenant, nous pouvons effectuer notre substitution comme suit :
Nous pouvons à présent voir que l’exposant de la puissance est juste . Nous avons supprimé le coefficient en utilisant la substitution. Cela ressemble maintenant beaucoup à la forme dont nous avons besoin pour l’évaluer. Il suffit de traiter le coefficient de au dénominateur de la fraction. On peut commencer par déplacer la constante devant la fraction :
Maintenant, en utilisant les lois des limites, nous sommes en mesure de déplacer un coefficient constant devant la limite :
Maintenant, nous pouvons voir que notre limite est sous la forme de , afin que nous puissions l’évaluer pour obtenir notre solution :
Nous allons maintenant examiner un dernier exemple dans cette fiche explicative.
Exemple 7: Évaluation d’une limite à l’aide du logarithme népérien
Déterminez .
Réponse
Nous pourrions essayer de résoudre cette question en utilisant la substitution directe. Cependant, si nous essayons de remplacer dans la limite, nous obtiendrons , ce qui est indéfini. Nous devrons utiliser une autre méthode pour évaluer cette limite. Nous remarquons qu’elle ressemble à une limite que nous savons évaluer, à savoir :
Nous remarquons qu’il y a quelques différences entre ces deux limites. Ce sont les valeurs auxquelles la limite est évaluée et avec quelques termes constants ajoutés au numérateur et au dénominateur. Nous pouvons effectuer une substitution dans notre limite d’origine pour essayer de la rendre semblable à la limite que nous savons évaluer. Nous remplacerons , qui est équivalent à
Avant de procéder à cette substitution, nous devons examiner ce qu’il adviendra de la valeur limite de . Comme nous avons cela , on peut dire que , . Nous sommes maintenant prêts à remplacer :
Après cette substitution, nous pouvons voir que la limite est exactement de la forme . Ainsi, on peut dire que
Terminons par récapituler quelques points essentiels de cette fiche explicative.
Points clés
- Nous avons trouvé et prouvé deux résultats de limite utiles qui nous donnent le nombre d’Euler sous forme de limite :
- Nous avons trouvé et prouvé trois résultats limites utiles impliquant le logarithme népérien :
- Nous pouvons utiliser ces résultats pour évaluer les limites qui donnent des formes indéterminées par changement de variable ou évaluation directe.
- Pour utiliser ces résultats, nous pouvons parfois avoir besoin de manipuler notre limite en utilisant des techniques telles que la division de polynômes, le changement de variable ou encore la factorisation.
