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Fiche explicative de la leçon : Étudier une limite avec le nombre d'Euler Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la définition de 𝑒 (le nombre d’Euler) pour évaluer certaines limites.

Le nombre d’Euler ( 𝑒=2,71828 ) se révèle très utile dans de nombreuses branches des mathématiques, comme par exemple le calcul d’intérêts composés, les problèmes d’optimisation, le calcul infinitésimal ou encore les probabilités, pour définir la fonction représentant la densité de la loi normale standard.

Il est possible qu’à l’origine, le nombre d’Euler ait été trouvé en recherchant une fonction exponentielle dont la dérivée serait elle-même; mais on peut également le trouver grâce aux limites. C’est ce que nous ferons dans cette fiche explicative.

Commençons par quelques rappels qui nous aideront à trouver la définition du nombre d’Euler sous forme de limite:

  1. lnlog(𝑥)=(𝑥) et ln(𝑥) est la fonction réciproque de 𝑒;
  2. si 𝑓(𝑥)=(𝑥)ln, alors 𝑓(𝑥)=1𝑥;
  3. si 𝑓(𝑥)=(𝑥)ln, alors 𝑓(1)=1;
  4. la fonction ln(𝑥) est continue sur son ensemble de définition.

Pour déduire notre limite correspondant au nombre d’Euler, nous partirons de la définition de la dérivée et nous utiliserons le deuxième résultat mentionné ci-dessus. Le troisième de ces résultats s’obtient en remplaçant par 𝑥=1 dans le deuxième résultat.

Pour une fonction 𝑓(𝑥), la définition de la dérivée en tant que limite au point 𝑥=1 est 𝑓(1)=𝑓(1+)𝑓(1).lim

En remplaçant par 𝑥 et en utilisant le fait qu’ici 𝑓(𝑥)=(𝑥)ln, on a 𝑓(1)=(1+𝑥)(1)𝑥.limlnln

Étant donné que ln(1)=0, on peut simplifier pour obtenir 𝑓(1)=(1+𝑥)𝑥.limln

En utilisant la règle des puissances pour les logarithmes, on peut réécrire notre limite sous la forme limlnlimlnlimln(1+𝑥)𝑥=1𝑥(1+𝑥)=[1+𝑥].

N’oublions pas que cette limite est égale à 𝑓(1) et que l’on sait déjà que 𝑓(1)=1. Par conséquent, on a montré que 1=[1+𝑥].limln

Le logarithme népérien, que l’on retrouve à l’intérieur de notre limite, est une fonction continue. On sait de plus que la limite est convergente. Ces deux éléments nous permettent de sortir le logarithme népérien de la limite, obtenant ainsi 1=(1+𝑥).lnlim

On peut simplifier davantage en réécrivant chacun des côtés comme un exposant de 𝑒: 𝑒=(1+𝑥);lim où l’on obtient ce résultat car les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques et 𝑒=𝑒.

Il s’agit de notre premier résultat donnant le nombre d’Euler sous forme de limite et l’on comprend immédiatement son utilité. En effet, si l’on essayait d’évaluer cette limite directement, on obtiendrait les formes indéterminées suivantes: limetlim(1+𝑥)=1(1+𝑥)=1.

Par conséquent, si l’on se trouve dans le cas d’une limite que l’on ne peut évaluer directement mais que l’on peut exprimer sous cette forme, il est tout de même possible de l’évaluer à l’aide du nombre d’Euler 𝑒.

Nous allons démontrer un second résultat donnant le nombre d’Euler sous forme de limite avant de poursuivre. Ce nouveau résultat se déduit directement du précédent. En remplaçant par 𝑥=1𝑛 dans notre limite précédemment établie, on obtient 𝑒=(1+𝑥)=1+1𝑛.limlim

Cependant, nous avons maintenant une limite faisant intervenir à la fois 𝑥 et 𝑛; or nous ne voulons que 𝑛. Étant donné que 𝑥=1𝑛, quand 𝑥 tend vers 0, 1𝑛 tend également vers 0. C’est le cas lorsque 𝑛 tend vers plus l’infini ou moins l’infini, ou même lorsqu’il oscille entre les deux; il nous est donc impossible de préciser vers quoi 𝑛 tend dans notre limite.

On va résoudre ce problème en rappelant et en utilisant le fait que lim(1+𝑥) est convergente et que par conséquent les limites en 0, à gauche comme à droite, sont égales à la valeur de la limite; c’est-à-dire 𝑒. Nous utiliserons la limite à droite: 𝑒=(1+𝑥)=(1+𝑥).limlim

Ainsi, quand 𝑥 tend vers 0 à droite, 1𝑛 tend vers plus l’infini.

On obtient alors notre second résultat donnant le nombre d’Euler sous forme de limite: 𝑒=1+1𝑛.lim

Récapitulons les deux résultats démontrés.

Définition: Le nombre d’Euler défini comme une limite

𝑒=(1+𝑥)𝑒=1+1𝑛limetlim

Passons maintenant à quelques exemples pour apprendre à utiliser ces deux résultats pour trouver des limites que l’on ne saurait comment évaluer sans.

Exemple 1: Évaluer une limite à l’aide du nombre d’Euler

Déterminez lim1+1𝑥.

Réponse

On pourrait commencer par tenter d’évaluer cette limite directement. Dans notre limite, 𝑥 tend vers l’infini positif, donc le dénominateur de 1𝑥 croit indéfiniment, tandis que son numérateur reste constant. Par conséquent, 1𝑥 tend vers 0. Il en découle que l’expression entre parenthèses tend vers 1. Cependant, notre puissance ( 4𝑥 ) tend vers l’infini quand 𝑥 tend vers l’infini.

On obtient donc lim1+1𝑥=1; c’est-à-dire une forme indéterminée. Il nous faut donc utiliser une autre méthode pour évaluer notre limite.

On remarque que la limite que nous devons évaluer ressemble beaucoup à l’une des limites exprimant la valeur du nombre d’Euler: 𝑒=1+1𝑥.lim

La seule différence est que la puissance de la limite que nous devons évaluer est 4𝑥, et non pas 𝑥. On peut utiliser les propriétés des exposants pour réécrire notre limite sous la forme: limlim1+1𝑥=1+1𝑥.

Il ne nous reste plus qu’à trouver un moyen de déplacer la puissance de 4 à l’extérieur de la limite pour pouvoir remplacer par le nombre d’Euler dans notre expression. Pour cela, on peut utiliser les propriétés des limites et des puissances, à condition que la nouvelle limite existe: limlim1+1𝑥=1+1𝑥.

On sait que la limite à l’intérieur des parenthèses de la puissance existe, car il s’agit de l’une de nos limites égales au nombre d’Euler 𝑒. On peut donc remplacer la limite entre parenthèses par 𝑒 et on obtient limlim1+1𝑥=1+1𝑥=𝑒.

Dans le prochain exemple, nous verrons comment évaluer une limite en utilisant cette fois notre second résultat exprimant le nombre d’Euler sous forme de limite.

Exemple 2: Résoudre des limites en les transformant en limites exprimant le nombre d’Euler

Déterminez lim(𝑥+1).

Réponse

On nous demande d’évaluer une limite, on peut donc tenter une évaluation directe pour commencer. Quand 𝑥 tend vers 0, l’expression entre parenthèses tend vers 1 et l’exposant tend vers l’infini. Par conséquent la limite est de la forme 1, qui est indéterminée. Nous allons donc devoir utiliser une autre méthode pour évaluer notre limite.

On constate que notre limite ressemble à l’un de nos résultats donnant le nombre d’Euler sous forme de limite, lim(1+𝑥)=𝑒.

Nous allons donc essayer de nous servir de ce résultat pour évaluer notre limite.

Pour l’utiliser, il faut que notre puissance, 1110𝑥, soit égale à celle de la limite exprimant le nombre d’Euler, c’est-à-dire 1𝑥. Pour obtenir cela, on commence par utiliser les propriétés des puissances pour réécrire notre limite sous la forme: limlim(𝑥+1)=(1+𝑥); où l’on a réarrangé les termes entre parenthèses et utilisé le fait que 1110𝑥=1𝑥1110.

Avant de pouvoir utiliser notre résultat du nombre d’Euler sous forme de limite, il nous reste encore à sortir la puissance de la limite. On utilise pour cela les propriétés des limites et des puissances.

Cette propriété nous permet de déplacer la puissance à l’extérieur de la limite à condition que la nouvelle limite existe.

Ici, on a donc limlim(1+𝑥)=(1+𝑥); or, on sait que la limite entre parenthèses existe car il s’agit de l’un de nos résultats donnant le nombre d’Euler sous forme de limite. On la remplace donc par 𝑒 et on obtient (1+𝑥)=𝑒.lim

Il n’est pas toujours possible d’utiliser aussi facilement nos limites exprimant le nombre d’Euler 𝑒. Il faut parfois utiliser d’abord d’autres outils tels que la division de polynômes, la factorisation ou le changement de variable. Le principe de base reste cependant le même: on considère une limite que l’on ne peut évaluer directement et on la réécrit pour faire apparaitre l’une des limites exprimant 𝑒, ce qui nous permettra ensuite de l’évaluer.

Exemple 3: Évaluer une limite en la transformant en une limite exprimant le nombre d’Euler

Déterminez lim17𝑥.

Réponse

On nous demande d’évaluer une limite, ce que l’on peut commencer par tenter de faire directement. Quand 𝑥 tend vers +, l’expression entre parenthèses tend vers 1 tandis que l’exposant croît sans borne. Par conséquent, on a lim17𝑥=1.

Il s’agit d’une forme indéterminée, il nous faudra donc utiliser une autre méthode pour évaluer cette limite.

Cette limite ressemble à l’un de nos résultats donnant le nombre d’Euler sous forme de limite. On va donc essayer de se servir de ce résultat pour évaluer notre limite. Plusieurs options s’offrent à nous.

On choisit d’essayer de réécrire cette limite sous une forme nous permettant d’utiliser le résultat 𝑒=(1+𝑛).lim

Cependant, on aurait aussi pu essayer d’utiliser plutôt 𝑒=1+1𝑛.lim

En règle générale, l’un de nos deux résultats se révèlera plus facile à utiliser que l’autre. Il peut cependant être très difficile de deviner lequel en observant simplement l’expression donnée. Ainsi, si le résultat choisi semble ne pas aboutir, il est judicieux de passer à l’autre. Ici, on choisit le résultat d’exposant 1𝑛.

Pour réécrire notre limite sous la forme choisie, on va avoir recours à un changement de variable. On aimerait avoir 1+𝑛 à l’intérieur des parenthèses, donc on va faire la substitution 𝑛=7𝑥.

On réarrange cette égalité pour exprimer 𝑥 en fonction de 𝑛 et on trouve 𝑥=7𝑛.

En multipliant par 5 de chaque côté, on a 5𝑥=35𝑛.

Cette substitution nous permet de réécrire notre limite sous la forme limlim17𝑥=(1+𝑛).

Cependant, on a ici la limite pour 𝑥 tendant vers l’infini, alors que c’est 𝑛 qui nous intéresse. Examinons à nouveau notre substitution. Quand 𝑥 tend vers l’infini, 7𝑥 tend vers 0 et puisque 𝑛=7𝑥, 𝑛 tend également vers 0.

On a donc limlim(1+𝑛)=(1+𝑛).

On utilise ensuite l’une des propriétés des exposants: limlim(1+𝑛)=(1+𝑛).

Enfin, on applique la propriété des limites et des puissances: limlim(1+𝑛)=(1+𝑛); sachant que la limite résultante existe puisqu’il s’agit de notre résultat exprimant le nombre d’Euler sous forme de limite.

Il ne nous reste plus qu’à remplacer cette limite par 𝑒 et à réarranger pour trouver finalement (1+𝑛)=𝑒=1𝑒.lim

Dans le prochain exemple, nous évaluerons la limite d’une fonction rationnelle élevée à une puissance linéaire.

Exemple 4: Résoudre des limites en les transformant en limites exprimant le nombre d’Euler

Déterminez lim𝑥+4𝑥4.

Réponse

On pourrait essayer d’évaluer cette limite directement. À l’intérieur des parenthèses se trouve une fonction rationnelle. On peut donc évaluer cette limite quand 𝑥 tend vers + en examinant le quotient des termes dominants de notre fonction rationnelle. Celui-ci vaut 1, donc la limite de notre fonction rationnelle est elle aussi de 1. Cependant, notre exposant croît sans limite et par conséquent, on a lim𝑥+4𝑥4=1; qui est une forme indéterminée. Il faut donc essayer une autre méthode pour évaluer notre limite.

Essayons plutôt de l’évaluer en utilisant l’un de nos résultats exprimant le nombre d’Euler sous forme de limite: 𝑒=1+1𝑛.lim

On commence par réécrire notre fonction rationnelle sous la forme limlimlim𝑥+4𝑥4=𝑥4+8𝑥4=1+8𝑥4.

En comparant cette limite à celle que l’on cherche à obtenir, on voit que l’on va devoir avoir recours à un changement de variable. On veut obtenir 1+1𝑛 à l’intérieur des parenthèses, donc on va procéder à la substitution 1𝑛=8𝑥4.

On observe que lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 8𝑥4 tend vers 0 et que par conséquent, 𝑛 tend également vers l’infini.

Avant de faire la substitution, on a besoin de trouver 𝑥 en fonction de 𝑛.

Pour cela, on prend l’inverse de chaque côté de l’égalité, ce qui nous donne 𝑛=𝑥48.

Puis on multiplie par 8 et on additionne 4 des deux côtés: 𝑥=8𝑛+4.

On peut maintenant utiliser notre substitution pour réécrire notre limite sous la forme: limlimlim1+8𝑥4=1+1𝑛=1+1𝑛.

Pour pouvoir utiliser notre résultat donnant le nombre d’Euler sous forme de limite, il faut que la puissance de notre limite soit égale à 𝑛. Pour l’obtenir, on va commencer par utiliser les propriétés des exposants combinées à la propriété de la limite du produit pour écrire limlimlim1+1𝑛=1+1𝑛1+1𝑛.

Pour pouvoir appliquer la propriété de la limite du produit, il faut que nos nouvelles limites existent toutes les deux. Nous allons montrer que c’est bien le cas.

On peut évaluer l’une de ces limites directement: lim1+1𝑛=1.

Pour l’autre limite, nous utilisons les propriétés des exposants et la propriété liant les limites et les exposants, qui nous donne limlim1+1𝑛=1+1𝑛; à condition que cette nouvelle limite existe. Or, on sait que c’est le cas car il s’agit de l’une de nos limites exprimant le nombre d’Euler. On peut donc remplacer cette limite par 𝑒 et on obtient: 1+1𝑛=𝑒.lim

Par conséquent, nous avons montré que lim𝑥+4𝑥4=𝑒.

On peut aussi utiliser nos résultats donnant le nombre d’Euler sous forme de limite pour évaluer des limites de fonctions plus complexes que celles vues jusqu’ici.

Exemple 5: Évaluer des limites en les transformant en limites exprimant le nombre d’Euler

Déterminez limtan4𝑥+1cot.

Réponse

On peut essayer d’évaluer cette limite directement pour commencer. La fonction à l’intérieur des parenthèses est continue, donc on peut simplement remplacer par 𝑥=0 pour évaluer cette partie. Cependant, notre exposant croît sans limite, donc on a limtanlimtan4𝑥+1=40+1=1;cot c’est-à-dire une forme indéterminée. On va donc devoir essayer une autre méthode pour évaluer cette limite.

Essayons de l’évaluer en utilisant notre premier résultat donnant le nombre d’Euler sous forme de limite, 𝑒=(1+𝑛).lim

Pour faire apparaitre ce résultat dans la limite qui nous est donnée, il faut que l’expression entre parenthèses devienne 1+𝑛. Pour cela, on commence par faire la substitution 𝑛=4𝑥.tan

On constate que lorsque 𝑥 tend vers 0, 4𝑥tan tend vers 0, donc 𝑛 tend vers 0 également. Par ailleurs, en prenant l’inverse de chaque côté de notre substitution et réarrangeant, on a 4𝑛=1𝑥=𝑥.tancot

On utilise ces éléments pour réécrire notre limite sous la forme limtanlim4𝑥+1=(1+𝑛).cot

On peut maintenant utiliser les propriétés des exposants et la propriété liant les limites et les puissances pour obtenir l’exposant qu’il nous faut, c’est-à-dire 1𝑛: limlimlim(1+𝑛)=(1+𝑛)=(1+𝑛).

Bien sûr, on sait que ceci est uniquement valable si la limite entre parenthèses existe. Or, on sait qu’elle existe car lim(1+𝑛)=𝑒.

Pour finir, on peut utiliser ce résultat pour remplacer la limite entre parenthèses par le nombre d’Euler: (1+𝑛)=𝑒=1𝑒.lim

On a donc montré que limtan4𝑥+1=1𝑒.cot

Concluons cette fiche explicative en récapitulant les points les plus importants.

Points clés

  • Nous avons trouvé et démontré deux résultats très utiles, qui nous donnent le nombre d’Euler sous forme de limite: 𝑒=(1+𝑥)𝑒=1+1𝑛.limetlim
  • On peut utiliser ces résultats pour évaluer les limites qui donnent une forme indéterminée par évaluation directe ou changement de variable.
  • Pour utiliser ces résultats, il est parfois nécessaire de réécrire au préalable notre limite en utilisant des techniques telles que la division de polynômes, le changement de variable ou encore la factorisation.

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