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Déterminez les équations paramétriques de la droite définie par trois 𝑥 moins sept sur moins neuf égale huit 𝑦 moins trois sur quatre, égale moins huit moins six 𝑧 sur moins neuf.
On nous a donné une équation sous forme cartésienne. En général, si une droite passe par un point 𝑝 zéro qui a pour coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro et qui est parallèle au vecteur 𝑎𝑏𝑐. Alors ses équations paramétriques sont 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡 et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑐𝑡. Sous forme cartésienne, nous pouvons comparer cela et dire que l’équation est 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝑏, égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝑐. Donc pour écrire des équations paramétriques, nous allons commencer par comparer notre équation cartésienne à la forme générale.
Nous commençons par remarquer que les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont tout simplement égaux à un. Pour obtenir cela dans la première partie de notre équation, nous allons diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par trois. Maintenant, rappelez-vous, tant que nous faisons la même opération au numérateur et au dénominateur, nous auront simplement une fraction équivalente. Donc cela ne change pas la valeur. Trois 𝑥 divisé par trois égale 𝑥. Moins sept divisé par trois égale moins sept tiers et moins neuf divisé par trois égale moins trois.
Maintenant, nous avons la première partie de l’équation sous la bonne forme. C’est-à-dire que le coefficient de 𝑥 est un. Nous allons répéter ce processus pour la deuxième partie de l’équation. Cette fois, nous voulons que le coefficient de 𝑦 soit un. Nous allons donc diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction par huit. Huit 𝑦 divisé par huit égale 𝑦. Moins trois divisé par huit égale moins trois huitièmes. Et quatre divisé par huit égale un demi.
Nous répétons ce processus une fois de plus. Cette fois, nous voulons que le coefficient de 𝑧 soit un. Nous allons donc diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par moins six. Huit divisé par moins six égale quatre tiers. Moins six 𝑧 divisé par moins six égale 𝑧. Et moins neuf divisé par moins six égale trois sur deux. Nous réécrivons ce dernier terme afin qu’il se compare assez bien à notre équation originale. Et bien sûr, nous savons que ces trois expressions sont égales.
Comparons 𝑥 moins sept tiers sur moins trois à 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎. Nous pouvons poser 𝑥 zéro égale sept tiers et 𝑎 égale moins trois. En utilisant la forme paramétrique 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑎𝑡, nous pouvons dire que l’équation paramétrique en 𝑥 est 𝑥 égale sept tiers moins trois 𝑡. Répétons ce processus pour la deuxième partie. 𝑦 zéro ici va être égal à trois huitièmes, et 𝑏 est égal à un demi. Et donc, en utilisant la forme paramétrique 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑏𝑡, nous trouvons 𝑦 égale trois huitièmes plus un demi 𝑡.
Nous allons répéter ce processus pour la dernière partie. Cette fois, on peut dire que 𝑧 zéro est égal à moins quatre tiers et 𝑐 est égal à trois demis. Encore une fois, nous comparons cela à la forme paramétrique, et nous obtenons 𝑧 égale moins quatre tiers plus trois demis 𝑡. Et donc en comparant notre équation à la forme générale et en la manipulant un peu, nous avons constaté que les équations paramétriques de notre droite sont 𝑥 égale sept tiers moins trois 𝑡, 𝑦 égale trois huitièmes plus un demi 𝑡 et 𝑧 égale moins quatre tiers plus trois demis 𝑡.
