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Déterminez l'ensemble des solutions de l'équation 𝑥 au carré égal moins 18𝑥 plus six, en arrondissant les valeurs au millième.
Pour résoudre cette équation du second degré, on va utiliser la formule des racines des polynômes du second degré. Celle-ci affirme que si 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul, alors 𝑥 égal moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎. On constate que pour que l'équation ait des solutions réelles, 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐, appelé discriminant, doit être supérieur ou égal à zéro.
Pour répondre à cette question, nous devons d'abord réécrire l'équation pour qu'elle soit sous une forme adaptée. Pour cela, on ajoute 18𝑥 et on soustrait six aux deux membres de l'équation, de sorte que 𝑥 au carré plus 18𝑥 moins six égal zéro. Ainsi, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement un, 18 et moins six. Ce sont les coefficients de 𝑥 au carré, de 𝑥 et enfin du terme constant.
Si on substitue ces valeurs à la formule des racines des polynômes du second degré, on a 𝑥 égal moins 18 plus ou moins la racine carrée de 18 au carré moins quatre fois un fois moins six le tout divisé par deux fois un. Cela se simplifie par 𝑥 égal moins 18 plus ou moins la racine carrée de 348, le tout divisé par deux. Puisque 348 est égal à quatre fois 87, on peut récrire racine carrée de 348 comme racine carrée de quatre fois racine carrée de 87. Et comme la racine carrée de quatre est deux, cela peut être réécrit comme deux racine de 87. On peut ensuite diviser le numérateur et le dénominateur du membre droit par deux, ce qui nous donne moins neuf plus ou moins la racine carrée de 87.
On obtient deux solutions pour notre équation du second degré : soit 𝑥 égal moins neuf plus racine carrée de 87, soit 𝑥 égal moins neuf moins racine carrée de 87. Ces deux solutions sont égales à 0,327379 ainsi de suite et à moins 18,327379 ainsi de suite.
On nous demande d’arrondir nos réponses au millième. L'ensemble des solutions de l'équation 𝑥 au carré égal moins 18𝑥 plus six est formé des éléments 0,327 et moins 18,327 arrondis au millième.
