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Fiche explicative de la leçon : Résoudre des équations du second degré : formule des racines du polynôme du second degré Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre les équations du second degré avec la formule quadratique.

Supposons qu’on nous demande de résoudre l’équation du second degré 𝑥+5𝑥+3=0;pour cela, on peut procéder de plusieurs différentes façons. Par exemple, on peut essayer de factoriser l’équation en observant les paires de facteurs de 3 et essayer de faire en sorte que leur somme donne 5. Cependant, 3 n’a qu’une paire de facteurs, 1 et 3, et leur somme n’est pas 5. Par conséquent, on peut immédiatement voir que ce n’est pas possible de factoriser l’équation, du moins à l’aide de valeurs entières, nous pouvons alors utiliser la méthode de la complétion du carré.

Nous voulons écrire l’expression du second degré sous la forme (𝑥+𝑏)+𝑐. Nous faisons cela en divisant le coefficient de 𝑥 par deux pour obtenir 𝑏, donc 𝑏=52. Puis 𝑐 donne 3(𝑏), alors 𝑐=352=134.

Par conséquent, 𝑥+5𝑥+3=𝑥+52134.

Lorsqu’on introduit cette expression dans l’équation que nous voulons résoudre, on obtient 𝑥+52134=0.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝑥;on ajoute d’abord 134 aux deux côtés ce qui donne 𝑥+52=134.

On prend ensuite la racine carrée des deux côtés de l’équation, on obtient ici une racine positive et une racine négative:𝑥+52=±134𝑥+52=±132.

Enfin, on soustrait 52 des deux côtés de l’équation, ce qui nous donne les deux racines:𝑥=52±132.

On peut utiliser ce même processus pour trouver les racines de toute expression du second degré;supposons que nous voulons résoudre 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0. On divise d’abord l’équation par 𝑎 pour obtenir 𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=0.

Ensuite, on complète le carré sur le côté gauche de l’équation pour obtenir 𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=𝑥+𝑏2𝑎+𝑐𝑎𝑏2𝑎.

Après avoir distribué l’exposant et réarrangé l’équation, on obtient 𝑥+𝑏2𝑎𝑏4𝑎+𝑐𝑎=0.

On réarrange ensuite pour obtenir 𝑥+𝑏2𝑎=𝑏4𝑎𝑐𝑎.

On somme les termes à droite de l’équation en réécrivant les termes avec un dénominateur commun:𝑥+𝑏2𝑎=𝑏4𝑎𝑐𝑎×4𝑎4𝑎𝑥+𝑏2𝑎=𝑏4𝑎𝑐4𝑎.

On prend ensuite prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation. Nous notons que cette étape n’est valide que si le côté droit de l’équation n’est pas négatif. On obtient une racine positive et une racine négative, cela nous donne 𝑥+𝑏2𝑎=±𝑏4𝑎𝑐4𝑎.

On distribue la racine sur le numérateur et le dénominateur, puis on réarrange l’équation pour avoir une expression pour 𝑥 ce qui nous donne 𝑥+𝑏2𝑎=±𝑏4𝑎𝑐4𝑎𝑥=𝑏2𝑎±𝑏4𝑎𝑐2𝑎𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Par conséquent, si ces valeurs existent, alors elles sont les racines de l’équation du second degré en fonction des coefficients 𝑎, 𝑏, et 𝑐. On peut résumer ce résultat comme suit.

Formule : La formule quadratique

Les racines de l’équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, sont définies par 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

On peut utiliser cette formule pour résoudre des équations du second degré sans factoriser ni utiliser la méthode de la complétion du carré;il suffit de substituer les valeurs des coefficients dans la formule. Cette formule nous permet de résoudre facilement certaines équations du second degré qui sont difficiles à résoudre par la factorisation.

Cela nous donne le processus suivant pour essayer résoudre des équations du second degré.

Comment résoudre des équations du second degré en utilisant la formule quadratique

  1. Nous devons d’abord nous assurer que l’équation est sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎 est non nul. On peut devoir distribuer des parenthèses ou réarranger les termes pour obtenir cette forme. Il est souvent utile d’écrire les termes de notre équation dans le même ordre que dans 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, avec les termes 𝑥, 𝑥 et le terme constant dans cet ordre. Écrire cela sous cette forme peut nous assurer d’utiliser les bonnes valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Il est également utile d’énumérer les valeurs, 𝑎=, 𝑏= et 𝑐=, afin de pouvoir les référencer lorsqu’on substitue ces valeurs dans la formule.
  2. Ensuite, on peut entièrement écrire la formule quadratique. Cela aidera à éviter les erreurs et à garantir que les valeurs positives et négatives soient utilisées de manière cohérente dans nos opérations.
  3. On substitue ensuite les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule quadratique. Il est important d’écrire toute substitution par un nombre négatif entre parenthèses, cela aidera à maintenir la précision de l’utilisation des valeurs positives et négatives au fur et à mesure qu’on avance dans la résolution.
  4. Enfin, nous allons obtenir deux valeurs (une pour chacune des opérations ±), ces deux valeurs sont des solutions de l’équation.

Voyons quelques exemples de comment utiliser la formule quadratique pour résoudre certaines équations.

Exemple 1: Déterminer les solutions d’une équation du second degré

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 𝑥3𝑥+1=0 et donnez les valeurs correspondantes au centième près.

Réponse

On nous demande de résoudre une équation du second degré. Si nous essayons de résoudre cette équation par factorisation, nous aurons besoin de deux nombres dont le produit est 1 et la somme est 3, ces deux nombres sont difficiles à trouver. Une autre chose utile à noter est que la question dit de donner les racines au centième près, cela indique que les racines exactes peuvent être difficiles à trouver. Dans les deux cas, nous pouvons conclure que la formule quadratique sera une bonne méthode à utiliser.

On rappelle que la formule quadratique stipule que les racines de l’équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont définies par 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎, avec 𝑎0.

Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coefficients de l’expression du second degré, où 𝑎=1, 𝑏=3 et 𝑐=1. Lorsqu’on substitue ces valeurs dans la formule et que l’on simplifie, on obtient 𝑥=(3)±(3)4(1)(1)2(1)=3±942=3±52.

Cela nous donne une expression pour chaque racine (une pour chacune des opérations + ou ). On obtient 𝑥=3+52 et 𝑥=352 comme racines et on peut les arrondir au centième près pour obtenir 𝑥2,62 et 𝑥0,38.

Enfin, nous notons que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de l’équation, donc nous voulons que toutes les racines soient données au centième près, soit {2,62;0,38}.

Exemple 2: Résoudre une équation en utilisant la formule quadratique

Résolvez l’équation 𝑥+7𝑥+1=0.

Réponse

On nous demande de résoudre une équation du second degré. Si nous essayons de résoudre cette équation par factorisation, nous aurions besoin de deux nombres dont le produit est 1 et dont la somme est 7, ces deux nombres sont difficiles à trouver;nous allons plutôt utiliser la formule quadratique, qui nous dit que les racines de l’équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont définies par 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Nous avons deux choix;nous pouvons directement appliquer la formule quadratique à cette équation du second degré ou nous pouvons d’abord réorganiser l’équation sous forme standard en multipliant par 1. Cela nous donne 𝑥7𝑥1=0.

Donc, 𝑎=1, 𝑏=7 et 𝑐=1. Lorsqu’on substitue ces valeurs dans la formule et que l’on simplifie, on obtient 𝑥=(7)±(7)4(1)(1)2(1)=7±49+42=7±532.

Ainsi, les racines sont 𝑥=7+532 et 𝑥=7532. Par conséquent, l’ensemble des solutions de cette équation est 7532,7+532.

Dans les quelques exemples suivants, nous allons voir qu’il pourrait être nécessaire de réécrire l’équation donnée en une équation du second degré sous la forme correcte avant d’utiliser la formule quadratique.

Exemple 3: Résoudre des équations du second degré

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 5𝑥(𝑥6)3(𝑥+4)+3=0 en donnant les valeurs au dixième près.

Réponse

Nous ne pouvons pas résoudre cette équation sous sa forme actuelle, alors nous allons commencer par développer les parenthèses et réduire:5𝑥(𝑥6)3(𝑥+4)+3=05𝑥30𝑥3𝑥12+3=0.

Rassembler les termes semblables donne 5𝑥33𝑥9=0.

Il s’agit d’une équation du second degré;nous ne pouvons factoriser cette équation facilement, alors nous allons utiliser la formule quadratique. Rappelons que la formule quadratique stipule que les racines de l’équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont définies par 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Dans cette équation, 𝑎=5, 𝑏=33 et 𝑐=9. Lorsqu’on substitue ces valeurs dans la formule et que l’on simplifie, on obtient 𝑥=(33)±(33)4(5)(9)2(5)=33±1089+18010=33±126910.

Par conséquent, les racines de l’équation sont 𝑥=33126910 et 𝑥=33+126910. On peut arrondir ces expressions au dixième près pour obtenir 𝑥0,3 et 𝑥6,9.

Enfin, nous notons que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de cette équation, donc nous voulons que toutes les racines soient données au dixième près, soit {6,9;0,3}.

Exemple 4: Réarranger une équation pour utiliser la formule quadratique

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 18𝑥+5𝑥=1 en donnant les valeurs au millième près.

Réponse

Nous ne pouvons pas résoudre l’équation sous sa forme actuelle, alors nous devons la réécrire sous une forme que nous pourrons résoudre. Pour ce faire, on multiplie d’abord par 𝑥 pour enlever les dénominateurs de l’équation.

Mais avant, nous devons considérer que multiplier par une variable peut introduire de nouvelles solutions. En particulier, on peut introduire la solution 𝑥=0, car les deux côtés de l’équation auraient un facteur de 𝑥. Cependant, nous savons déjà que 𝑥0 puisqu’on divise par 𝑥 dans l’équation, donc nous pouvons juste ignorer cette solution si elle est présente.

Lorsqu’on multiplie l’équation par 𝑥, on a 𝑥18𝑥+5𝑥=𝑥(1)18𝑥𝑥+5𝑥𝑥=𝑥.

On élimine ensuite les facteurs communs sur le côté gauche de l’équation pour obtenir 18+5𝑥=𝑥.

Enfin, on réarrange cela dans l’équation du second degré suivante:𝑥5𝑥18=0.

Nous avons maintenant une équation du second degré que nous ne pouvons pas résoudre facilement en factorisant, nous allons donc utiliser la formule quadratique.

Rappelons que la formule quadratique stipule que les racines d’une équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont définies par 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Dans cette équation, on a 𝑎=1, 𝑏=5 et 𝑐=18. Lorsqu’on introduit ces valeurs dans la formule et que l’on simplifie, on obtient 𝑥=(5)±(5)4(1)(18)2(1)=5±25+722=5±972.

Cela nous donne deux racines:𝑥=5+972 et 𝑥=5972. Au millième près, ces racines sont 𝑥7,424 et 𝑥2,424.

Enfin, nous notons que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de l’équation, donc nous voulons que toutes les racines soient données au millième près, soit {7,424;2,424}.

Dans nos deux derniers exemples, nous allons utiliser les propriétés données des équations du second degré et la formule quadratique pour déterminer la valeur d’une inconnue.

Exemple 5: Déterminer une inconnue dans une équation du second degré en utilisant une racine

Sachant que 𝑥=2 est une racine de l’équation 𝑥4𝑚𝑥𝑚6=0, déterminez l’ensemble des valeurs possibles de 𝑚.

Réponse

Nous notons d’abord qu’on nous donne une équation du second degré en 𝑥. Pour déterminer la valeur de 𝑚, nous pourrions être tentés d’appliquer directement la formule quadratique à cette équation;cependant, il existe une méthode plus simple qui consiste à utiliser le fait que 𝑥=2 est une racine.

Puisque 𝑥=2 est une racine, elle vérifie l’équation;par conséquent, on peut introduire cette valeur dans l’équation pour obtenir (2)4𝑚(2)𝑚6=0.

Lorsqu’on distribue et qu’on simplifie, on obtient 4+8𝑚𝑚+6=0𝑚+8𝑚+10=0𝑚8𝑚10=0.

Nous avons donc une équation du second degré en 𝑚, ainsi nous pourrons déterminer 𝑚 en utilisant la formule quadratique. L’équation 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0 a des solutions définies par 𝑚=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎..

Dans cette équation, on a 𝑎=1, 𝑏=8 et 𝑐=10. Lorsqu’on substitue ces valeurs et que l’on simplifie, on obtient 𝑚=(8)±(8)4(1)(10)2(1)=8±64+402=8±1042.

On peut encore simplifier le radical:𝑚=8±4×262=8±2262=4±26.

Cela donne deux valeurs possibles de 𝑚, soit 𝑚=4+26, soit 𝑚=426. Par conséquent, l’ensemble des valeurs possibles de 𝑚 est {426,4+26}.

Dans le dernier exemple, nous allons encore utiliser une racine de l’équation pour déterminer la valeur d’une inconnue dans une équation du second degré et l’ensemble solution.

Exemple 6: Déterminer une inconnue dans une équation du second degré en utilisant la relation entre ses coefficients et ses racines

La somme des racines de l’équation 4𝑥+𝑘𝑥4=0 est 1. Déterminez la valeur de 𝑘 et l’ensemble solution de l’équation.

Réponse

Il y a plusieurs façons de déterminer la valeur de 𝑘;nous allons utiliser la formule quadratique. Premièrement, puisqu’on nous dit que l’équation a des racines, nous savons qu’on peut utiliser la formule quadratique, qui stipule que les racines d’une équation 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎. Dans cette équation du second degré, on a 𝑎=4, 𝑏=𝑘 et 𝑐=4. Lorsqu’on substitue ces valeurs et que l’on simplifie, on obtient 𝑥=𝑘±𝑘4(4)(4)2(4)=𝑘±𝑘+648.

Nous avons donc les racines 𝑥=𝑘+𝑘+648 et 𝑥=𝑘𝑘+648. La somme de ces racines est alors 𝑘+𝑘+648+𝑘𝑘+648=𝑘+𝑘+64𝑘𝑘+648=2𝑘8=𝑘4.

Puisque la somme des racines est 1, on doit avoir 1=𝑘4𝑘=4.

On pourrait resubstituer 𝑘=4 dans l’équation initiale;cependant, nous avons déjà trouvé des expressions pour les racines:𝑥=𝑘±𝑘+648. Lorsqu’on substitue 𝑘=4 et que l’on simplifie, on obtient 𝑥=4±4+648=4±808=4±16×58=4±458=1±52.

Ainsi, les racines sont 𝑥=152 et 𝑥=1+52.

Par conséquent, la valeur de 𝑘 est de 4 et l’ensemble solution de l’équation est 152,1+52.

Dans l’exemple précédent, nous avons montré que la somme des racines d’une équation du second degré était égale à l’opposé du quotient des coefficients de 𝑥 et 𝑥. Il convient de noter qu’un résultat similaire est vrai en général;puisque les racines sont 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎, la somme des racines est 𝑏+𝑏4𝑎𝑐2𝑎+𝑏𝑏4𝑎𝑐2𝑎=2𝑏2𝑎=𝑏𝑎.

Par conséquent, la somme des racines est toujours égale à l’opposé du quotient des coefficients de 𝑥 et 𝑥.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Si on a une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎0, on peut utiliser la formule quadratique, 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎, pour déterminer 𝑥.
  • On peut utiliser la formule quadratique pour les équations du second degré difficiles à factoriser.
  • On peut appliquer la formule quadratique aux équations en n’importe quelle variable.

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