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Vidéo de la leçon : Résoudre des équations du second degré : formule des racines du polynôme du second degré Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré. La formule des racines du polynôme du second degré sous sa forme actuelle a été rapportée pour la première fois au 17ème siècle par le mathématicien français René Descartes. C’est un moyen efficace de résoudre une équation du second degré, surtout si on ne peut pas la résoudre en factorisant. Étant donné une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est différent de zéro, la formule des racines du polynôme du second degré dit que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎. Voyons maintenant comment utiliser cette formule pour résoudre un problème impliquant une équation du second degré.

La première étape consiste à écrire l’équation sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal à zéro. Pour ce faire, on peut être amené développer des parenthèses et regrouper des termes semblables. Bien que ce ne soit pas essentiel, il est utile d’écrire l’équation dans le même ordre. Ainsi, il est plus facile d’énumérer les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Ensuite, on substitue les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule des racines du polynôme du second degré. Ensuite, on simplifie le membre droit et on obtient deux solutions de l’équation. Considérons l’équation du second degré trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins un égal zéro. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement trois, quatre et moins un, car le coefficient de 𝑥 au carré est trois, le coefficient de 𝑥 est quatre et le terme indépendant de 𝑥 est moins un.

Lorsqu’on substitue ces valeurs dans la formule des racines du polynôme du second degré on a 𝑥 égal à moins quatre plus ou moins la racine carrée de quatre au carré moins quatre multiplié par trois multiplié par moins un le tout divisé par deux multiplié par trois. L’expression qui est dans la racine carrée, devient 16 plus 12. On a donc moins quatre plus ou moins la racine carrée de 28 le tout divisé par six. La racine carrée de 28 est égale à deux racine de sept. Nous pouvons alors diviser chaque terme de notre expression par deux. 𝑥 est donc égal à moins deux plus ou moins racine de sept le tout divisé par trois. Nous pouvons séparer cela pour obtenir les deux solutions de l’équation du second degré trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins un égal zéro. Soit 𝑥 égal moins deux plus racine de sept divisé par trois, ou 𝑥 égal moins deux moins racine de sept divisé par trois.

Nous allons maintenant voir un exemple plus compliqué.

Déterminez l’ensemble solution de l’équation trois 𝑥 au carré plus quatre facteur de 𝑥 plus un égal zéro, et donnez les valeurs de l’ensemble des nombres réels au dixième près.

Pour résoudre ce problème, nous devons d’abord réécrire notre équation pour qu’elle soit sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro. Cela nous permettra d’utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour la résoudre. Lorsqu’on développe les parenthèses en multipliant quatre par 𝑥 et quatre par un on obtient trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus quatre égale zéro. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement trois, quatre et quatre. La formule des racines du polynôme du second degré dit que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎.

Lorsqu’on substitue nos valeurs, on a 𝑥 égal à moins quatre plus ou moins racine carrée de quatre au carré moins quatre multiplié par trois multiplié par quatre le tout divisé par deux multiplié par trois. Quatre au carré égale 16, quatre multiplié par trois multiplié par quatre égale 48, et deux multiplié par trois égale six. Puisque 16 moins 48 vaut moins 32, il nous reste 𝑥 égal moins quatre plus ou moins racine carrée de moins 32 le tout divisé par six.

À ce stade, puisqu’on veut des solutions au dixième près, on effectue généralement l’opération avec une calculatrice. Cependant, cette opération implique la racine carrée d’un nombre négatif, moins 32. Et nous savons que la racine carrée d’un nombre négatif n’a pas de solutions réelles. Et si on saisit cela sur une calculatrice, on obtient une erreur mathématique. Cela signifie que notre équation n’a pas de solutions réelles. Et l’ensemble solution de l’équation est l’ensemble vide. Cela nous amène à un fait important sur la formule des racines du polynôme du second degré. Si l’expression dans la racine carrée 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, appelé le discriminant, est inférieure à zéro, alors notre équation du second degré n’a pas de solutions réelles.

Il convient également de considérer à quoi cela ressemblerait graphiquement. L’équation du second degré 𝑦 égale trois 𝑥 au carré plus quatre multiplié par 𝑥 plus un est représenté sur la figure. Nous remarquons que la courbe ne coupe pas l’axe des 𝑥. Cela confirme que l’équation n’a pas de solutions réelles. Toute équation du second degré, dont le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est inférieur à zéro, ne coupe pas l’axe des 𝑥.

Nous allons maintenant examiner deux autres exemples dans lesquels nous devons utiliser la formule des racines du polynôme du second degré dans un certain contexte.

Les dimensions d’un rectangle sont de cinq mètres et 12 mètres. Lorsqu’on augmente ces dimensions d’une certaine quantité, l’aire du rectangle double. Quelle est cette quantité ?

On nous dit que les dimensions d’un rectangle sont de cinq mètres et 12 mètres. Rappelons que, on calcule l’aire d’un rectangle en multipliant sa longueur par sa largeur, l’aire de ce rectangle est de 60 mètres carrés. Ensuite, on nous dit que les deux dimensions sont augmentées d’une certaine quantité. Nous allons définir cette quantité comme 𝑥 mètres de sorte que la longueur du nouveau rectangle est de 12 plus 𝑥 mètres et la largeur est de cinq plus 𝑥 mètres.

Pour calculer l’aire de ce rectangle, on doit multiplier 12 plus 𝑥 et cinq plus 𝑥. On nous dit aussi que l’aire du rectangle a doublé. Par conséquent, l’aire de ce rectangle est de 120 mètres carrés. Si on développe les parenthèses à l’aide de la double distributivité, on a 60 plus 12𝑥 plus cinq 𝑥 plus 𝑥 au carré. Et cela est égal à 120. Si on soustrait 120 à chaque membre de cette équation, et on rassemble les termes similaires, on a 𝑥 au carré plus 17𝑥 moins 60 est égal à zéro. C’est une équation du second degré écrite sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Et nous savons qu’on peut résoudre une équation du second degré de ce type en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré Elle dit que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎.

Dans cette question, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement un, 17 et moins 60. Lorsqu’on substitue ces valeurs dans la formule, on a 𝑥 est égal à moins 17 plus ou moins la racine carrée de 17 au carré moins quatre multiplié par un multiplié par moins 60 le tout divisé par deux multiplié par un. L’expression dans la racine carrée est égale à 529. Et sachant que la racine carrée de 529 est 23, on a 𝑥 est égal à moins 17 plus ou moins 23 le tout divisé par deux. Cela nous donne deux solutions possibles, soit 𝑥 est égal à moins 17 plus 23 divisé par deux, ou 𝑥 est égal à moins 17 moins 23 le tout divisé par deux. Celles-ci sont égales à trois et moins 20, respectivement.

Puisque nous voulons trouver la dimension 𝑥 du rectangle, nous savons que 𝑥 doit être positif. Cela signifie que la solution correcte est 𝑥 égale trois. Pour que l’aire du rectangle double, les deux dimensions doivent être augmentées de 3 mètres. Cela nous donnerait un rectangle de huit mètres sur 15 mètres. Et si on multiplie ces dimensions, on obtient une aire de 120 mètres carrés. Il est important de noter qu’on aurait pu factoriser cette équation du second degré. Utiliser cette méthode nous aurait également donné les solutions 𝑥 égal moins 20 et 𝑥 égal trois.

Nous allons maintenant considérer un dernier exemple.

Une pierre est projetée vers le haut du haut d’une falaise et atterrit dans la mer quelque temps plus tard. La hauteur ℎ au-dessus du niveau de la mer au temps 𝑡 secondes est définie par la formule ℎ est égale à trois 𝑡 moins cinq 𝑡 au carré plus 40. Après combien de secondes la pierre atteindra-t-elle la mer ? Donnez votre réponse au dixième de seconde près.

Dans cette question, on nous donne une équation du second degré de ℎ en fonction de 𝑡. Lorsqu’on réécrit le membre droit sous la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, on obtient ℎ égal moins cinq 𝑡 carré plus trois 𝑡 plus 40. Nous voulons calculer le temps pour lequel la pierre atteint la mer, et on nous dit que ℎ est la hauteur au-dessus du niveau de la mer. Cela signifie que lorsque la pierre atteint la mer, ℎ est égal à zéro. Et nous devons résoudre l’équation moins cinq 𝑡 au carré plus trois 𝑡 plus 40 égal zéro. Nous savons qu’on peut résoudre une équation du second degré 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro à l’aide de la formule des racines du polynôme du second degré. Elle dit que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎.

Dans cette question, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont moins cinq, trois et 40, et la variable au lieu d’être 𝑥 est le temps 𝑡. Lorsqu’on substitue nos valeurs, on a 𝑡 égal moins trois plus ou moins la racine carrée de trois au carré moins quatre multiplié par moins cinq multiplié par 40 le tout divisé par deux multiplié par moins cinq. Cela devient moins trois plus ou moins la racine carrée de 809, le tout divisé par moins 10. Lorsqu’on sépare nos deux solutions, on a 𝑡 égal moins trois plus racine carrée de 809 divisé par moins 10 ou 𝑡 égal moins trois moins racine carrée de 809 divisé par moins 10.

Si on évalue cela avec une calculatrice, on obtient 𝑡 égal moins 2,544 et 𝑡 égal 3,144. Puisque le temps en secondes doit être une valeur positive, nous pouvons exclure la première réponse. On nous demande également de donner le temps au dixième de seconde près. Nous pouvons donc conclure qu’il faut 3,1 secondes pour que la pierre atteigne la mer.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour toute équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul, on peut utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour déterminer 𝑥. Elle dit que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎. Les solutions de l’équation sont les points où la courbe de l’équation coupe l’axe des 𝑥. Si le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est inférieur à zéro, alors l’équation du second degré n’a pas de solution réelle. Cela signifie que la courbe ne coupe pas l’axe des 𝑥. Bien que cela ne soit pas inclus dans cette vidéo, il peut être intéressant de rechercher comment a été obtenue la formule des racines du polynôme du second degré.

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