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Déterminez la distance entre le point de coordonnées deux, moins un, trois et le plan d'équation 𝐫 scalaire le vecteur moins deux, deux, un égale trois.
Dans cette question, on nous demande de trouver la distance entre un point donné et un plan. Et la première question que nous pouvons nous poser est : qu’entend-on par distance entre un point et un plan ? Chaque fois qu’on nous demande de trouver la distance entre un point et un plan ou entre un point et une droite, cela signifie toujours la distance perpendiculaire entre ces deux objets. En effet, la distance perpendiculaire est également la distance la plus courte. Et il est très utile de pouvoir trouver la distance la plus courte entre un point et un plan ou un point et une droite.
Donc pour trouver cette distance, nous allons d’abord devoir rappeler notre formule correspondante. Nous rappelons que la distance perpendiculaire du point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un au plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égal zéro est donnée par grand 𝐷 égale la valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Nous allons donc essayer d’appliquer cette formule à notre question. Tout d’abord, nous voulons trouver la distance du point deux, moins un, trois.
Nous allons donc définir notre valeur de 𝑥 un égale à deux, notre valeur de 𝑦 un égale à moins un, et notre valeur de 𝑧 un égale à trois. Cependant, nous notons un problème. Dans la question, on nous donne notre plan sous forme vectorielle. Cependant, nous voulons que l’équation de notre plan soit écrite sous forme cartésienne. Nous allons donc devoir convertir l’équation de notre plan en forme cartésienne. Et il y a plusieurs façons différentes de faire cela. Le moyen le plus simple est de réécrire notre vecteur 𝐫 comme le vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧. Donc en notant notre vecteur 𝐫 comme étant le vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧, notre plan est maintenant donné par 𝑥, 𝑦, 𝑧 scalaire moins deux, deux, un égale trois.
Maintenant, nous allons calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs. Et rappelez-vous, pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs, nous devons multiplier les composantes une à une puis ajouter les résultats de ces trois produits. Nous commençons donc par multiplier les deux premières composantes ensemble. Cela nous donne 𝑥 multiplié par moins deux. Nous ajoutons ensuite les deuxièmes composantes multipliées ensemble. Nous ajoutons donc 𝑦 multiplié par deux. Enfin, nous ajoutons les troisièmes composantes multipliées ensemble. Soit 𝑧 multiplié par un. Et bien sûr, tout cela est toujours égal à trois.
Enfin, nous simplifions et réorganisons cette équation pour obtenir la forme cartésienne de notre plan. Il s’agit de moins deux 𝑥 plus deux 𝑦 plus 𝑧 moins trois égal zéro. Maintenant, nous pouvons utiliser la forme cartésienne de notre plan pour trouver les valeurs de petits 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑. Rappelez-vous, 𝑎 est le coefficient de 𝑥 dans la forme cartésienne de notre plan. Soit moins deux. Le coefficient 𝑏 sera le coefficient de 𝑦, soit deux. Le coefficient 𝑐 sera le coefficient de 𝑧, soit un. Et 𝑑 est notre constante, soit moins trois.
Et il y a quelque chose qui mérite d’être souligné ici. Nous pourrions simplement réécrire notre formule de la distance en utilisant plutôt la forme vectorielle. Le vecteur normal dans notre équation vectorielle nous donne les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Et notre valeur de 𝑑 est l’opposée de la constante. Dans les deux cas, nous avons maintenant trouvé les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 et 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑧 un. Nous pouvons donc maintenant trouver la distance perpendiculaire entre le point et le plan. Nous remplaçons simplement par ces valeurs dans notre formule.
Nous obtenons la distance, grand 𝐷, égale la valeur absolue de moins deux fois deux plus deux fois moins un plus un fois trois moins trois le tout divisé par la racine carrée de moins deux au carré plus deux au carré plus un au carré. Maintenant, tout ce qui reste à faire est d’évaluer cette expression. En simplifiant l’expression au numérateur, nous obtenons la valeur absolue de moins six. Et en calculant l’expression au dénominateur, nous obtenons la racine carrée de neuf.
Bien sûr, la valeur absolue de moins six est six, et la racine carrée de neuf est égale à trois. Nous obtenons donc que la distance, grand 𝐷, est égale à six divisé par trois. Et nous pouvons simplifier cela pour obtenir deux. Et rappelez-vous, cela représente une distance. On peut donc dire qu’il s’agit de deux unités de longueur. Par conséquent, nous avons pu montrer qu’il y avait une distance de deux unités de longueur entre le point deux, moins un, trois et le plan 𝐫 scalaire le vecteur moins deux, deux, un égal trois.
