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Réarrangez l’équation 𝑦 égale deux à la puissance 𝑥 plus un moins un sur deux à la puissance 𝑥 plus un pour exprimer 𝑥 en fonction de 𝑦. Puis déterminez la réciproque 𝑔 moins un exprimée par 𝑔 de 𝑥 égale deux à la puissance 𝑥 plus un moins un sur deux à la puissance 𝑥 plus un.
La première partie de cette question nous demande d’isoler 𝑥. Et donc la première chose que nous allons faire est de multiplier les deux membres par le dénominateur de notre fraction, par deux à la puissance 𝑥 plus un. Sur le membre gauche, nous obtenons 𝑦 à la puissance deux 𝑥 plus un. Et à droite, il ne nous reste plus que le numérateur de notre fraction. Soit deux à la puissance 𝑥 plus un moins un.
Ensuite, nous allons développer nos parenthèses en multipliant deux à la puissance 𝑥 par 𝑦 et un par 𝑦. Cela nous donne deux à la puissance 𝑥 fois 𝑦 plus 𝑦 égale deux à la puissance 𝑥 plus un moins un. Maintenant, rappelez-vous, nous cherchons à isoler 𝑥. Nous allons donc commencer par mettre tous les 𝑥 d’un membre de notre équation.
Soustrayons deux à la puissance 𝑥 plus un des deux membres, de sorte que deux à la puissance 𝑥 fois 𝑦 plus 𝑦 moins deux à la puissance 𝑥 plus un égale moins un. Ensuite, nous soustrayons 𝑦 des deux membres. Et donc nous voyons que deux à la puissance 𝑥 fois 𝑦 moins deux à la puissance 𝑥 plus un est égal à moins un moins 𝑦.
Et ici, nous rappelons l’une de nos lois sur les exposants. En l’occurrence, 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Et cela signifie que nous pouvons écrire deux à la puissance 𝑥 plus un comme deux à la puissance 𝑥 fois deux à la puissance un, ou simplement deux à la puissance 𝑥 fois deux.
Ensuite, nous factorisons cette expression sur le membre gauche. Nous obtenons donc deux à la puissance 𝑥 fois 𝑦 moins deux. Et notre prochaine étape consiste à diviser par 𝑦 moins deux. Et nous obtenons deux à la puissance 𝑥 égale moins un moins 𝑦 sur 𝑦 moins deux.
Maintenant, il est important de réaliser que si nous avions à ce stade soustrait deux à la puissance 𝑥 fois 𝑦 des deux membres, nous aurions en fait eu un plus 𝑦 sur deux moins 𝑦. Ces expressions sont les mêmes. Ce sont des fractions équivalentes. Et elles sont obtenues en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’une de nos fractions par moins un.
Notre dernière étape consiste à prendre le logarithme base deux des deux membres de notre équation. La raison pour laquelle cette étape est utile est parce que l’une des lois des logarithmes nous dit que le logarithme base deux de deux à la puissance 𝑥 est égal à 𝑥 fois le logarithme base deux de deux. Mais le logarithme base deux de deux est simplement un. Nous avons donc réussi à écrire 𝑥 en fonction de 𝑦. La variable 𝑥 est égale à logarithme base deux de moins un moins 𝑦 sur 𝑦 moins deux. Alors, comment cela nous aide-t-il à trouver la réciproque de la fonction 𝑔 ?
Eh bien, une façon de trouver la réciproque est d’échanger 𝑥 et 𝑦. Nous écririons ceci comme 𝑥 est égal à deux à la puissance 𝑦 plus un moins un sur deux à la puissance 𝑦 plus un. Nous réorganisons ensuite cette formule pour isoler 𝑦. Maintenant, bien sûr, nous avons fait cela d’une manière légèrement différente. Nous avons simplement réarrangé pour isoler 𝑥. Et savons donc qu’en réorganisant cette deuxième équation, nous aurions obtenu 𝑦 égale logarithme base deux de moins un moins 𝑥 sur 𝑥 moins deux. Et cela signifie que ceci est la réciproque de notre fonction 𝑔. La réciproque est exprimée par 𝑔 de 𝑥 égale logarithme base deux de moins un moins 𝑥 sur 𝑥 moins deux.
