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Fiche explicative de la leçon : Fonctions logarithmiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier, écrire et évaluer une fonction logarithme comme étant la réciproque de la fonction exponentielle.

La fonction logarithme est simplement la réciproque de la fonction exponentielle. Avant d’étudier les fonctions logarithmes, on commence par considérer une fonction affine, telle que 𝑓(𝑥)=3𝑥1, et sa réciproque. On rappelle que pour trouver la réciproque de la fonction, on la réécrit d’abord comme 𝑦=3𝑥1. Ensuite, on échange les variables 𝑥 et 𝑦 pour obtenir 𝑥=3𝑦1 et déterminer 𝑦, ce qui donne 𝑦=𝑥+13. Les calculs révèlent que la réciproque de 𝑓(𝑥)=3𝑥1 est 𝑓(𝑥)=𝑥+13. On peut également définir la réciproque comme 𝑔(𝑥)=𝑥+13. Comme 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) sont les réciproques l’une de l’autre, si le point (𝑥;𝑦) satisfait 𝑓(𝑥), alors le point (𝑦;𝑥) doit satisfaire 𝑔(𝑥). Par exemple, on peut voir que le point (1;2) satisfait 𝑓(𝑥) parce que 𝑓(1)=3(1)1=2 et que le point (2;1) satisfait 𝑔(𝑥), parce que 𝑔(2)=2+13=33=1.

En observant les représentations graphiques de 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑔(𝑥) ci-dessous, on peut voir qu’elles sont symétriques par rapport à la droite 𝑦=𝑥.

On considère maintenant la fonction exponentielle 𝑓(𝑥)=5. La réciproque de cette fonction est la fonction logarithme 𝑓(𝑥)=𝑥log ou 𝑔(𝑥)=𝑥log. On suppose que l’on doit trouver 𝑓(1) pour la fonction exponentielle 𝑓(𝑥)=5. On substitue 1 à 𝑥 pour obtenir 𝑓(1)=5=5. On suppose ensuite que l’on doit trouver 𝑔(5) pour la fonction logarithme 𝑔(𝑥)=𝑥log. On substitue 5 à 𝑥 pour obtenir 𝑔(5)=5log et on se demande:« À quelle puissance une base 5 doit-elle être élevée pour donner 5? » Comme la réponse est 1, on sait que 𝑔(5)=1. Notons que le point (1;5) vérifie la fonction exponentielle, tandis que le point (5;1) vérifie la fonction logarithme. Tout comme avec la fonction affine et sa réciproque ci-dessus, les coordonnées des points qui vérifient les deux fonctions sont inversées, et les représentations graphiques des deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite 𝑦=𝑥 comme illustré.

Cela est vrai pour toute base 𝑎 d’une fonction exponentielle et de sa fonction réciproque logarithme.

Définition : Fonction logarithme

La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. Pour la fonction exponentielle 𝑓(𝑥)=𝑎, sa fonction réciproque est le logarithme 𝑓(𝑥)=𝑥log ou 𝑔(𝑥)=𝑥log. Si le point (𝑥;𝑦) vérifie la fonction exponentielle, alors le point (𝑦;𝑥) vérifie la fonction logarithme. C’est-à-dire, si 𝑦=𝑎, alors 𝑥=𝑦log. Les représentations graphiques des deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite 𝑦=𝑥.

Gardez à l’esprit que selon cette définition, la fonction exponentielle de base 10 𝑓(𝑥)=10 a pour fonction réciproque le logarithme décimal 𝑓(𝑥)=𝑥log ou 𝑔(𝑥)=𝑥log. Lorsque la base est 10, il n’est cependant pas nécessaire de la spécifier dans la fonction logarithme par convention. C’est-à-dire que l’on peut simplement écrire 𝑔(𝑥)=𝑥log et log𝑥 est considéré comme étant log𝑥 (qui peut être lu comme le logarithme décimal de 𝑥 ou comme le logarithme de base 10 de 𝑥 ). De même, pour la fonction exponentielle 𝑓(𝑥)=𝑒, sa fonction réciproque logarithme doit être écrite d’une manière spéciale. Au lieu d’écrire 𝑓(𝑥)=𝑥log ou 𝑔(𝑥)=𝑥log, on écrit 𝑓(𝑥)=𝑥ln ou 𝑔(𝑥)=𝑥ln (qui peut être lu comme le logarithme népérien de 𝑥).

Définition : Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle de base 𝑒. Sachant que 𝑓(𝑥)=𝑒, sa fonction réciproque est le logarithme népérien 𝑓(𝑥)=𝑥ln ou 𝑔(𝑥)=𝑥ln.

Étudions maintenant quelques problèmes liés aux fonctions logarithmes.

Exemple 1: Déterminer la réciproque d’une fonction logarithme

La fonction 𝑓(𝑥)=2𝑒+3 a une réciproque de la forme 𝑔(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)ln. Quelles sont les valeurs de 𝑎 et 𝑏?

Réponse

On rappelle que lors de la recherche de la réciproque d’une fonction linéaire, on échange les variables 𝑥 et 𝑦 puis on détermine 𝑦. Pour trouver la réciproque d’une fonction logarithme, on doit suivre la même procédure. On commence par réécrire la fonction logarithme népérien donnée comme 𝑦=2𝑒+3. Après avoir échangé les variables 𝑥 et 𝑦, on obtient 𝑥=2𝑒+3. En soustrayant 3 aux deux membres de l’équation, on obtient 𝑥3=2𝑒, puis diviser les deux membres par 2 donne 𝑥32=𝑒.

Maintenant, comme une fonction logarithme népérien a une base 𝑒, on prend le logarithme népérien des deux membres de l’équation. Après avoir réécrit l’équation comme lnln𝑥32=𝑒, on peut se poser la question suivante pour simplifier le membre droit:« À quelle puissance une base 𝑒 doit-elle être élevée pour être égale à 𝑒? » La réponse à la question est 𝑦, donc l’équation peut être réécrite comme ln𝑥32=𝑦 ou 𝑦=𝑥32ln. On peut alors remplacer 𝑦 par 𝑔(𝑥) pour obtenir 𝑔(𝑥)=𝑥32ln et réécrire la fonction comme 𝑔(𝑥)=12𝑥32ln pour la mettre sous la forme 𝑔(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)ln. Cela montre que 𝑎=12 et 𝑏=32.

Remarque

On rappelle que si le point (𝑥;𝑦) vérifie une fonction exponentielle, alors le point (𝑦;𝑥) vérifie sa fonction réciproque. On trouve un point (𝑥;𝑦) qui satisfait 𝑓(𝑥)=2𝑒+3 et on vérifie si le point (𝑦;𝑥) satisfait 𝑔(𝑥)=12𝑥32ln. Si (𝑦;𝑥) satisfait 𝑔(𝑥)=12𝑥32ln, cela ne prouve pas que la réponse est correcte, mais si (𝑦;𝑥) ne vérifie pas la fonction, on saura avec certitude que l’on a commis une erreur..

Comme 𝑓(1)=2𝑒+3=2𝑒+3, le point (1;2𝑒+3) satisfait 𝑓(𝑥). Cela signifie que le point (2𝑒+3;1) doit satisfaire 𝑔(𝑥). On peut déterminer si tel est le cas en calculant 𝑔(2𝑒+3) comme suit:𝑔(2𝑒+3)=12(2𝑒+3)32=𝑒+3232=𝑒=1.lnlnln

Cela montre que le point (2𝑒+3;1) satisfait bien 𝑔(𝑥), comme il se doit.

Dans l’exemple suivant, nous allons montrer la relation entre l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction exponentielle et l’ensemble de définition et l’ensemble image de sa réciproque. On rappelle que si le point (𝑥;𝑦) vérifie une fonction exponentielle, alors le point (𝑦;𝑥) vérifie sa fonction réciproque, le logarithme. Ainsi, si 𝑥 est un élément de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle, c’est aussi un élément de l’ensemble image de la fonction logarithme.. De même, si 𝑦 est un élément de l’ensemble image de la fonction exponentielle, alors c’est aussi un élément de l’ensemble de définition de la fonction logarithme. Cela est vrai pour tout point (𝑥;𝑦) donc on sait que l’ensemble de définition de la fonction exponentielle doit être le même que l’ensemble image de la fonction logarithme. De même, l’ensemble image de la fonction exponentielle doit être le même que l’ensemble de définition de la fonction logarithme.

Exemple 2: Déterminer l’ensemble de définition de la réciproque d’une fonction exponentielle

On considère la fonction 𝑓(𝑥)=𝑏𝑏 est un nombre réel positif différent de 1. Quel est l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥)?

Réponse

On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles, et que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles. On commence par considérer l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑏. Comme l’exposant dans la définition de la fonction peut être une valeur négative, une valeur positive ou 0, l’ensemble de définition de la fonction est tous les nombres réels. On sait que 𝑏 est positif, pour aider à déterminer l’ensemble image de la fonction, on prend donc une valeur positive spécifique à utiliser comme exemple, 𝑏=2, qui donnerait la fonction 𝑓(𝑥)=2. Une valeur négative de 𝑥, comme 3, donne 𝑓(3)=2=18;une valeur positive de 𝑥, comme 3, donne 𝑓(3)=2=8;et une valeur de 0 pour 𝑥 donne 𝑓(0)=2=1. Remarquez que la valeur de sortie dans chaque cas est positive, donc on sait que l’ensemble image de 𝑓(𝑥)=𝑏 doit être 𝑓(𝑥)>0.

Comme l’exposant dans 𝑓(𝑥)=𝑏 est une variable, on sait aussi que la fonction est une fonction exponentielle. On rappelle que la réciproque d’une fonction exponentielle est la fonction logarithme. C’est-à-dire, si 𝑓(𝑥)=𝑏, alors 𝑓(𝑥)=𝑥log. On rappelle également que l’ensemble image d’une fonction exponentielle est l’ensemble de définition de sa réciproque. En d’autres termes, l’ensemble de définition de la fonction logarithme 𝑓(𝑥)=𝑥log doit être 𝑥>0.

Remarque

On peut vérifier la réponse en supposant à nouveau que 𝑏=2 puis en représentant graphiquement 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑓(𝑥) pour les fonctions 𝑓(𝑥)=2 et 𝑓(𝑥)=𝑥log comme suit:

On peut voir que les représentations graphiques sont symétriques par rapport à la droite 𝑦=𝑥 et que la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est située uniquement dans les premier et quatrième quadrants. En d’autres termes, elle a l’axe des ordonnées 𝑦 comme asymptote et n’a que des valeurs d’entrée positives. Cela confirme que l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 est bien 𝑥>0.

Étudions maintenant comment évaluer une fonction logarithme.

Exemple 3: Évaluer une fonction logarithme de base 2 en un point donné

On considère la fonction 𝑓(𝑥)=(3𝑥1)log. Si 𝑓(𝑎)=3, déterminez la valeur de 𝑎.

Réponse

Pour déterminer la valeur de 𝑎, on peut commencer par substituer 𝑎 dans la fonction donnée à 𝑥 et 3 à 𝑓(𝑥) pour obtenir 3=(3𝑎1).log

On rappelle que la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle et que si 𝑦=𝑎, alors 𝑥=𝑦log. Il s’ensuit que si 𝑥=𝑦log, alors 𝑦=𝑎.

Dans ce cas, on peut voir que la base 𝑎 est 2, la valeur de 𝑥 est 3, et la valeur de 𝑦 est 3𝑎1. Substituer ces valeurs dans l’équation 𝑦=𝑎 donne 3𝑎1=2.

En simplifiant on obtient 3𝑎1=8, et on détermine 𝑎, d’où la solution 𝑎=3.

Remarque

En calculant 𝑓(3) pour la fonction 𝑓(𝑥)=(3𝑥1)log, on peut vérifier la réponse. Substituer 3 à 𝑥 donne 𝑓(3)=(3(3)1)log. Après avoir multiplié 3 par 3, on obtient 𝑓(3)=(91)log, et après avoir soustrait 1 à 9, on obtient 𝑓(3)=8log. Pour simplifier le membre droit de cette équation, on doit se demander:« À quelle puissance la base 2 doit-elle être élevée pour être égale à 8? »;la réponse est 3, donc on sait que 𝑓(3)=3 et que la réponse est correcte.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la base d’une fonction logarithme à partir d’un point par lequel passe la représentation graphique de la fonction.

Exemple 4: Compléter une fonction en utilisant un point donné

Sachant que la représentation graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥log passe par le point (1024;5), détermine la valeur de 𝑎.

Réponse

Pour déterminer la valeur de 𝑎, il faut d’abord réécrire la fonction logarithme 𝑓(𝑥)=𝑥log comme 𝑦=𝑥log. Comme la représentation graphique de la fonction passe par le point (1024;5), on sait que quand 𝑥=1024, alors 𝑦=5. Cela permet de substituer ces valeurs dans la fonction pour obtenir l’équation 5=1024.log

On sait que si 𝑦=𝑥log, alors 𝑥=𝑎, il s’ensuit donc que 1024=𝑎. Une façon de déterminer 𝑎 est de prendre la racine cinquième de chaque membre comme suit:1024=𝑎1024=𝑎4=𝑎.

Cela montre que la valeur de 𝑎 est 4. Cependant, sans une calculatrice, il peut être difficile de déterminer que la racine cinquième de 1 024 est 4. Une stratégie que l’on peut employer pour trouver la racine cinquième de 1 024 est de reconnaître que 1 024 est une puissance de 2. On peut lister les puissances de 2 comme suit:2=22=2×2=42=2×2×2=82=2×2×2×2=162=2×2×2×2×2=322=2×2×2×2×2×2=642=2×2×2×2×2×2×2=1282=2×2×2×2×2×2×2×2=2562=2×2×2×2×2×2×2×2×2=5122=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024.

Avec ces informations, on peut résoudre l’équation 1024=𝑎 pour déterminer 𝑎 en substituant 1 024 et en regroupant les 2 comme indiqué:1024=𝑎2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=𝑎(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)=𝑎2×2=𝑎4=𝑎.

Cette méthode donne la même valeur de 4 pour 𝑎 que précédemment.

Comme dernier exemple, étudions un problème réel.

Exemple 5: Résoudre un problème réel à l’aide la fonction logarithme décimal

Le pH d’une solution est donné par la formule pHlog=(𝑎)H+, 𝑎H+ est la concentration en hydrons. Déterminez la concentration en hydrons dans une solution dont le pH est égal à 8,4.

Réponse

La concentration en hydrons est représentée par 𝑎H+, on doit donc déterminer cette variable pour répondre à la question. Étant donné que le pH de la solution est égal à 8,4, on peut commencer par substituer 8,4 dans la formule du pH pour obtenir 8,4=(𝑎).logH+

Après avoir substitué, on peut alors multiplier les deux membres de l’équation par 1 pour obtenir 8,4=(𝑎)logH+. On rappelle que lorsque la base d’un logarithme n’est pas notée, elle est supposée être 10, donc pour résoudre 𝑎H+, on peut écrire l’équation sur la forme suivante 8,4=(𝑎).logH+

On sait que la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle et que si 𝑥=𝑦log, alors 𝑦=𝑎;à partir des informations que l’on a, on peut donc écrire une équation exponentielle de base 10 en substituant les valeurs et les variables dans 𝑦=𝑎 pour 𝑎, 𝑥 et 𝑦. Comme 𝑎=10, 𝑥=8,4 et 𝑦=𝑎H+, on aura 𝑎=10.H+

Cela montre que la concentration en hydrons dans une solution dont le pH est égal à 8,4 est 10.

On rappelle que l’ensemble de définition de la fonction logarithme décimal est 𝑥>0, donc dans ce cas, 𝑎H+ doit être un nombre positif. Sa valeur est en effet positive car 10 élevé à toute puissance est supérieur ou égal à 0. L’exposant négatif dans 10 signifie seulement que la valeur de 𝑎H+ est inférieure à 1. En utilisant une calculatrice, on peut voir que sa valeur approximative est 3,98×10 ou 0,00‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎398.

Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.

Points clés

  • La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle.
  • Pour la fonction exponentielle 𝑓(𝑥)=𝑎, sa fonction réciproque est le logarithme 𝑓(𝑥)=𝑥log ou 𝑔(𝑥)=𝑥log.
  • Lorsque la base d’une fonction logarithme est 10, il n’est pas nécessaire de la spécifier. Si 𝑓(𝑥)=10, alors 𝑓(𝑥)=𝑥log.
  • La fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle de base 𝑒. Si 𝑓(𝑥)=𝑒, alors 𝑓(𝑥)=𝑥ln.
  • Les représentations graphiques d’une fonction exponentielle et de sa fonction réciproque, le logarithme, sont symétriques par rapport à la droite 𝑦=𝑥.
  • L’ensemble de définition d’une fonction logarithme est constitué des réels 𝑥>0, qui est l’ensemble image de sa fonction réciproque;la fonction exponentielle.

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