Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier, écrire et évaluer une fonction logarithme comme étant la réciproque de la fonction exponentielle.
La fonction logarithme est simplement la réciproque de la fonction exponentielle. Avant d’étudier les fonctions logarithmes, on commence par considérer une fonction affine, telle que , et sa réciproque. On rappelle que pour trouver la réciproque de la fonction, on la réécrit d’abord comme . Ensuite, on échange les variables et pour obtenir et déterminer , ce qui donne . Les calculs révèlent que la réciproque de est . On peut également définir la réciproque comme . Comme et sont les réciproques l’une de l’autre, si le point satisfait , alors le point doit satisfaire . Par exemple, on peut voir que le point satisfait parce que et que le point satisfait , parce que
En observant les représentations graphiques de et ci-dessous, on peut voir qu’elles sont symétriques par rapport à la droite .
On considère maintenant la fonction exponentielle . La réciproque de cette fonction est la fonction logarithme ou . On suppose que l’on doit trouver pour la fonction exponentielle . On substitue 1 à pour obtenir . On suppose ensuite que l’on doit trouver pour la fonction logarithme . On substitue 5 à pour obtenir et on se demande : « À quelle puissance une base 5 doit-elle être élevée pour donner 5 ? » Comme la réponse est 1, on sait que . Notons que le point vérifie la fonction exponentielle, tandis que le point vérifie la fonction logarithme. Tout comme avec la fonction affine et sa réciproque ci-dessus, les coordonnées des points qui vérifient les deux fonctions sont inversées, et les représentations graphiques des deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite comme illustré.
Cela est vrai pour toute base d’une fonction exponentielle et de sa fonction réciproque logarithme.
Définition : Fonction logarithme
La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. Pour la fonction exponentielle , sa fonction réciproque est le logarithme ou . Si le point vérifie la fonction exponentielle, alors le point vérifie la fonction logarithme. C’est-à-dire, si , alors . Les représentations graphiques des deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite .
Gardez à l’esprit que selon cette définition, la fonction exponentielle de base 10 a pour fonction réciproque le logarithme décimal ou . Lorsque la base est 10, il n’est cependant pas nécessaire de la spécifier dans la fonction logarithme par convention. C’est-à-dire que l’on peut simplement écrire et est considéré comme étant (qui peut être lu comme le logarithme décimal de ou comme le logarithme de base 10 de ). De même, pour la fonction exponentielle , sa fonction réciproque logarithme doit être écrite d’une manière spéciale. Au lieu d’écrire ou , on écrit ou (qui peut être lu comme le logarithme népérien de ).
Définition : Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle de base . Sachant que , sa fonction réciproque est le logarithme népérien ou .
Étudions maintenant quelques problèmes liés aux fonctions logarithmes.
Exemple 1: Déterminer la réciproque d’une fonction logarithme
La fonction a une réciproque de la forme . Quelles sont les valeurs de et ?
Réponse
On rappelle que lors de la recherche de la réciproque d’une fonction linéaire, on échange les variables et puis on détermine . Pour trouver la réciproque d’une fonction logarithme, on doit suivre la même procédure. On commence par réécrire la fonction logarithme népérien donnée comme . Après avoir échangé les variables et , on obtient . En soustrayant 3 aux deux membres de l’équation, on obtient , puis diviser les deux membres par 2 donne
Maintenant, comme une fonction logarithme népérien a une base , on prend le logarithme népérien des deux membres de l’équation. Après avoir réécrit l’équation comme on peut se poser la question suivante pour simplifier le membre droit : « À quelle puissance une base doit-elle être élevée pour être égale à ? » La réponse à la question est , donc l’équation peut être réécrite comme ou . On peut alors remplacer par pour obtenir et réécrire la fonction comme pour la mettre sous la forme . Cela montre que et .
Remarque
On rappelle que si le point vérifie une fonction exponentielle, alors le point vérifie sa fonction réciproque. On trouve un point qui satisfait et on vérifie si le point satisfait . Si satisfait , cela ne prouve pas que la réponse est correcte, mais si ne vérifie pas la fonction, on saura avec certitude que l’on a commis une erreur..
Comme , le point satisfait . Cela signifie que le point doit satisfaire . On peut déterminer si tel est le cas en calculant comme suit :
Cela montre que le point satisfait bien , comme il se doit.
Dans l’exemple suivant, nous allons montrer la relation entre l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction exponentielle et l’ensemble de définition et l’ensemble image de sa réciproque. On rappelle que si le point vérifie une fonction exponentielle, alors le point vérifie sa fonction réciproque, le logarithme. Ainsi, si est un élément de l’ensemble de définition de la fonction exponentielle, c’est aussi un élément de l’ensemble image de la fonction logarithme.. De même, si est un élément de l’ensemble image de la fonction exponentielle, alors c’est aussi un élément de l’ensemble de définition de la fonction logarithme. Cela est vrai pour tout point donc on sait que l’ensemble de définition de la fonction exponentielle doit être le même que l’ensemble image de la fonction logarithme. De même, l’ensemble image de la fonction exponentielle doit être le même que l’ensemble de définition de la fonction logarithme.
Exemple 2: Déterminer l’ensemble de définition de la réciproque d’une fonction exponentielle
On considère la fonction où est un nombre réel positif différent de 1. Quel est l’ensemble de définition de ?
Réponse
On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles, et que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles. On commence par considérer l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction . Comme l’exposant dans la définition de la fonction peut être une valeur négative, une valeur positive ou 0, l’ensemble de définition de la fonction est tous les nombres réels. On sait que est positif, pour aider à déterminer l’ensemble image de la fonction, on prend donc une valeur positive spécifique à utiliser comme exemple, , qui donnerait la fonction . Une valeur négative de , comme , donne ; une valeur positive de , comme 3, donne ; et une valeur de 0 pour donne . Remarquez que la valeur de sortie dans chaque cas est positive, donc on sait que l’ensemble image de doit être .
Comme l’exposant dans est une variable, on sait aussi que la fonction est une fonction exponentielle. On rappelle que la réciproque d’une fonction exponentielle est la fonction logarithme. C’est-à-dire, si , alors . On rappelle également que l’ensemble image d’une fonction exponentielle est l’ensemble de définition de sa réciproque. En d’autres termes, l’ensemble de définition de la fonction logarithme doit être .
Remarque
On peut vérifier la réponse en supposant à nouveau que puis en représentant graphiquement et pour les fonctions et comme suit :
On peut voir que les représentations graphiques sont symétriques par rapport à la droite et que la représentation graphique de est située uniquement dans les premier et quatrième quadrants. En d’autres termes, elle a l’axe des ordonnées comme asymptote et n’a que des valeurs d’entrée positives. Cela confirme que l’ensemble de définition de la fonction est bien .
Étudions maintenant comment évaluer une fonction logarithme.
Exemple 3: Évaluer une fonction logarithme de base 2 en un point donné
On considère la fonction . Si , déterminez la valeur de .
Réponse
Pour déterminer la valeur de , on peut commencer par substituer dans la fonction donnée à et 3 à pour obtenir
On rappelle que la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle et que si , alors . Il s’ensuit que si , alors .
Dans ce cas, on peut voir que la base est 2, la valeur de est 3, et la valeur de est . Substituer ces valeurs dans l’équation donne .
En simplifiant on obtient , et on détermine , d’où la solution .
Remarque
En calculant pour la fonction , on peut vérifier la réponse. Substituer 3 à donne . Après avoir multiplié 3 par 3, on obtient , et après avoir soustrait 1 à 9, on obtient . Pour simplifier le membre droit de cette équation, on doit se demander : « À quelle puissance la base 2 doit-elle être élevée pour être égale à 8 ? » ; la réponse est 3, donc on sait que et que la réponse est correcte.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la base d’une fonction logarithme à partir d’un point par lequel passe la représentation graphique de la fonction.
Exemple 4: Compléter une fonction en utilisant un point donné
Sachant que la représentation graphique de la fonction passe par le point , détermine la valeur de .
Réponse
Pour déterminer la valeur de , il faut d’abord réécrire la fonction logarithme comme . Comme la représentation graphique de la fonction passe par le point , on sait que quand , alors . Cela permet de substituer ces valeurs dans la fonction pour obtenir l’équation
On sait que si , alors , il s’ensuit donc que . Une façon de déterminer est de prendre la racine cinquième de chaque membre comme suit :
Cela montre que la valeur de est 4. Cependant, sans une calculatrice, il peut être difficile de déterminer que la racine cinquième de 1 024 est 4. Une stratégie que l’on peut employer pour trouver la racine cinquième de 1 024 est de reconnaître que 1 024 est une puissance de 2. On peut lister les puissances de 2 comme suit :
Avec ces informations, on peut résoudre l’équation pour déterminer en substituant 1 024 et en regroupant les 2 comme indiqué :
Cette méthode donne la même valeur de 4 pour que précédemment.
Comme dernier exemple, étudions un problème réel.
Exemple 5: Résoudre un problème réel à l’aide la fonction logarithme décimal
Le pH d’une solution est donné par la formule , où est la concentration en hydrons. Déterminez la concentration en hydrons dans une solution dont le pH est égal à 8,4.
Réponse
La concentration en hydrons est représentée par , on doit donc déterminer cette variable pour répondre à la question. Étant donné que le pH de la solution est égal à 8,4, on peut commencer par substituer 8,4 dans la formule du pH pour obtenir
Après avoir substitué, on peut alors multiplier les deux membres de l’équation par pour obtenir . On rappelle que lorsque la base d’un logarithme n’est pas notée, elle est supposée être 10, donc pour résoudre , on peut écrire l’équation sur la forme suivante
On sait que la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle et que si , alors ; à partir des informations que l’on a, on peut donc écrire une équation exponentielle de base 10 en substituant les valeurs et les variables dans pour , et . Comme , et , on aura
Cela montre que la concentration en hydrons dans une solution dont le pH est égal à 8,4 est .
On rappelle que l’ensemble de définition de la fonction logarithme décimal est , donc dans ce cas, doit être un nombre positif. Sa valeur est en effet positive car 10 élevé à toute puissance est supérieur ou égal à 0. L’exposant négatif dans signifie seulement que la valeur de est inférieure à 1. En utilisant une calculatrice, on peut voir que sa valeur approximative est ou 0,00 000 000 398.
Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.
Points clés
- La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle.
- Pour la fonction exponentielle , sa fonction réciproque est le logarithme ou .
- Lorsque la base d’une fonction logarithme est 10, il n’est pas nécessaire de la spécifier. Si , alors .
- La fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle de base . Si , alors .
- Les représentations graphiques d’une fonction exponentielle et de sa fonction réciproque, le logarithme, sont symétriques par rapport à la droite .
- L’ensemble de définition d’une fonction logarithme est constitué des réels , qui est l’ensemble image de sa fonction réciproque ; la fonction exponentielle.
