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Vidéo de la leçon : Fonctions logarithmiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier, écrire et évaluer une fonction logarithme comme étant la réciproque de la fonction exponentielle.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier, écrire et évaluer une fonction logarithme comme étant la réciproque de la fonction exponentielle. Nous allons commencer par rappeler la relation entre les fonctions exponentielles et logarithmiques.

Une fonction logarithmique est la réciproque ou l’inverse de la fonction exponentielle. Si on considère la fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 puissance 𝑥, la réciproque de 𝑓 de 𝑥 est égale à log de 𝑥 de base 𝑎. Cela nous permet de résoudre des équations exponentielles avec des logarithmes. Si 𝑦 est égal à 𝑎 puissance 𝑥, alors 𝑥 est égal à log de 𝑦 de base 𝑎. Rappelons également que le logarithme naturel écrit ln de 𝑥 est la réciproque de 𝑒 puissance 𝑥. Enfin, lorsqu’on écrit un logarithme sans base, la base par défaut est de 10. Log de 𝑥 est égal à log de 𝑥 en base 10. Nous allons maintenant examiner quelques questions impliquant des fonctions exponentielles et logarithmiques.

La fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à deux 𝑒 puissance 𝑥 plus trois a une réciproque de la forme 𝑔 de 𝑥 égale ln de 𝑎𝑥 plus 𝑏. Calculez les valeurs de 𝑎 et 𝑏

Afin de déterminer la réciproque d’une fonction, on commence par remplacer 𝑓 de 𝑥 par 𝑦. Dans ce cas, 𝑦 est égal à deux 𝑒 puissance 𝑥 plus trois. La prochaine étape consiste à réorganiser cette équation afin d’obtenir une expression pour 𝑥. On commence par soustraire trois des deux côtés pour que 𝑦 moins trois soit égal à deux 𝑒 puissance 𝑥. On peut ensuite diviser les deux côtés de notre équation par deux. 𝑦 moins trois sur deux est égal à 𝑒 puissance 𝑥. On peut réécrire le côté gauche comme un demi 𝑦 moins trois sur deux. On peut ensuite prendre le logarithme naturel des deux côtés car on sait que ln de 𝑥 est le contraire ou la réciproque de 𝑒 puissance 𝑥. Cela nous donne ln de un demi 𝑦 moins trois sur deux est égal à 𝑥.

Puisque nous avons maintenant une expression pour 𝑥, nous pouvons maintenant échanger nos variables 𝑦 et 𝑥. La réciproque de 𝑓 de 𝑥 est donc égale à ln de un demi 𝑥 moins trois sur deux. Puisqu’on a désigné la réciproque par 𝑔 de 𝑥, on a maintenant la forme ln de 𝑎𝑥 plus 𝑏, où 𝑎 est égal à un demi et 𝑏 est égal à moins trois sur deux ou moins trois demis. On peut utiliser cette méthode pour calculer la réciproque de n’importe quelle fonction.

Dans notre prochaine question, nous allons examiner le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions exponentielles et logarithmiques.

Considérez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif différent de un. Quel est le domaine de définition de la réciproque de 𝑓 de 𝑥 ?

Il existe plusieurs façons d’aborder ce problème. Une façon est de rappeler que la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithmique et vice versa. Cela signifie que si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑏 puissance 𝑥, la fonction réciproque est égale à log de 𝑥 en base 𝑏. On nous demande de déterminer le domaine de définition de cette fonction. Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs que celle-ci peut prendre. Nous savons qu’on ne peut uniquement calculer le logarithme des valeurs positives. Cela signifie que le domaine de définition de la fonction réciproque est 𝑥 strictement supérieur à zéro car les seules valeurs qu’on peut introduire dans la fonction log de 𝑥 en base 𝑏 sont 𝑥 supérieur à zéro.

Une autre méthode consisterait à considérer les courbes de nos fonctions. La courbe de 𝑓 de 𝑥 est représentée. Elle coupe l’axe des 𝑦 en 1 et l’axe des 𝑥 est une asymptote. La réciproque d’une fonction est son symétrique par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Cela signifie que la fonction log de 𝑥 en base 𝑏 coupe l’axe des 𝑥 en 1 et que l’axe des 𝑦 est une asymptote. Sachant que le domaine de définition est l’ensemble des valeurs que la fonction peut prendre, on peut voir sur le graphique que le domaine de définition de la réciproque de 𝑓 est l’ensemble de tous les nombres supérieurs à zéro.

Une dernière méthode consisterait à rappeler que le domaine de définition de la fonction 𝑓 est égal à l’ensemble image de sa réciproque. De même, l’ensemble image de 𝑓 est égale au domaine de définition de sa réciproque. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de sortie. Nous pouvons voir à partir du graphique que l’ensemble image de 𝑓 est l’ensemble de toutes les valeurs strictement supérieures à zéro. Cela prouve une fois de plus que le domaine de définition de la fonction réciproque est l’ensemble des 𝑥 strictement supérieur à zéro.

Dans la prochaine question, nous allons résoudre une équation logarithmique.

Considérez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log de trois 𝑥 moins un en base deux. Si 𝑓 de 𝑎 est égal à trois, calculez la valeur de 𝑎.

On nous dit que 𝑓 de 𝑎 est égal à trois, on peut donc commencer par substituer ces valeurs dans la fonction 𝑓 de 𝑥. Cela nous donne log de trois 𝑎 moins un en base deux est égal à trois. Rappelons que les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles. Cela signifie que si log de 𝑦 en base 𝑎 est égal à 𝑥, alors 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑦. Dans cette question, la base 𝑎 est égale à deux, la variable 𝑦 est égale à trois 𝑎 moins un et la variable 𝑥 est égale à trois. Deux au cube est donc égal à trois 𝑎 moins un.

Nous savons que deux au cube est égal à huit. Nous pouvons alors ajouter un des deux côtés de cette équation de sorte que trois 𝑎 soit égal à neuf. Si on divise les deux côtés de cette équation par trois on obtient 𝑎 est égal à trois. Si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à log de trois 𝑥 moins un en base deux et 𝑓 de 𝑎 égale trois, alors la valeur de 𝑎 est de trois. On peut vérifier cette réponse avec une calculatrice en introduisant notre valeur dans la fonction initiale.

Dans la question suivante, le but est de déterminer la base d’une fonction logarithmique.

Étant donné que la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à log de 𝑥 en base 𝑎 passe par le point 1024, cinq, déterminez la valeur de 𝑎.

On nous dit que notre fonction passe par le point qui a pour coordonnée 𝑥 1024 et pour coordonnée 𝑦 cinq. On peut réécrire la fonction 𝑓 de 𝑥 comme 𝑦 égale log de 𝑥 en base 𝑎. Lorsqu’on a affaire à des fonctions, 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 sont interchangeables. Lorsqu’on substitue nos valeurs de 𝑥 et 𝑦, on a cinq est égal à log de 1024 en base 𝑎. Nous savons que les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles, et vice versa. Cela signifie que si 𝑥 est égal à log de 𝑦 en base 𝑎, alors 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑦.

Si on réécrit cette équation sous forme exponentielle on obtient 𝑎 puissance cinq est égal à 1024. On peut alors appliquer la racine cinquième des deux côtés de l’équation pour calculer la valeur de 𝑎. La racine cinquième de 1024 est égale à quatre. On peut vérifier cela en évaluant quatre puissance cinq. Cela est équivalent à quatre fois quatre fois quatre fois quatre fois quatre. Quatre multiplié par quatre est égal à 16. Lorsqu’on multiplie cela par quatre, on obtient 64. 64 multiplié par quatre est égal à 256. Et enfin, 256 multiplié par quatre nous donne 1024. Si la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est égale à log de 𝑥 en base 𝑎, passe par le point 1024, cinq, alors la base 𝑎 est égale à quatre.

Notre dernière question consiste à résoudre une équation logarithmique dans un contexte de la vie réelle.

Le pH d’une solution est défini par la formule pH est égal à moins log de 𝑎 H +, où 𝑎 H + est la concentration des ions d’hydrogène. Déterminez la concentration des ions d’hydrogène dans une solution dont le pH est de 8,4.

Lorsque le pH est égal à 8,4, 8,4 est égal à moins log de 𝑎 H +. Nous voulons déterminer cette valeur qui est la concentration des ions d’hydrogène. Rappelons que lorsqu’on écrit un logarithme sans base, la base par défaut est de 10. Log de 𝑥 est égal à log de 𝑥 en base 10. Si on multiplie les deux côtés de notre équation par moins un, on obtient moins 8,4 est égal à log de 𝑎 H + en base 10. Nous savons qu’une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Si 𝑥 est égal à log de 𝑦 en base 𝑎, alors 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑦. Cela signifie que 10 puissance moins 8,4 est égal à 𝑎 H +. La concentration des ions d’hydrogène est donc égale à 10 puissance moins 8,4.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles et vice versa. Cela signifie que si 𝑥 est égal à log de 𝑦 en base 𝑎, alors 𝑎 puissance 𝑥 est égal à 𝑦. Cela nous permet de passer des équations exponentielles aux équations logarithmiques. Nous avons également vu que si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑒 puissance 𝑥, alors la réciproque de cette fonction est égal au logarithme naturel ln de 𝑥. Le domaine de définition de 𝑓 de 𝑥 est égal à l’ensemble image de la fonction réciproque. De même, l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥 est égale au domaine de définition de la fonction réciproque. En effet, 𝑓 de 𝑥 est le symétrique de 𝑓 moins un de 𝑥 par rapport à la droite 𝑦 est égale à 𝑥. Enfin, nous avons rappelé que lorsqu’on écrit un logarithme sans base, la base est 10. Log de 𝑥 est égal à log de 𝑥 en base 10.

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