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Certains vecteurs sont dessinés à l’échelle d’une règle sur le diagramme. Les carrés de la grille ont des côtés d’un centimètre de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant mesurée au centimètre près ?
Alors, dans cette question, on nous donne un diagramme contenant trois vecteurs. On nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. On nous dit également que les carrés de la grille du diagramme ont des côtés d’un centimètre de long. Et on nous demande de déterminer la longueur du vecteur résultant.
Commençons par rappeler que la résultante de deux vecteurs se trouve en additionnant ces deux vecteurs et que nous pouvons ajouter deux vecteurs ensemble en les dessinant avec la méthode du bout à bout. Rappelez-vous que la queue d’un vecteur est son point de départ et que la tête d’un vecteur est sa pointe. Dessiner deux vecteurs avec la méthode du bout à bout signifie dessiner le deuxième vecteur avec sa queue commençant à la tête du premier vecteur, comme ceci. Ensuite, nous pouvons trouver la somme de ces vecteurs ou de leurs résultantes en traçant une flèche de la queue du premier vecteur à la tête du deuxième vecteur. Donc, dans cet exemple, cette flèche bleue que nous venons d’ajouter est le vecteur résultant.
En regardant en arrière, nous voyons que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Et si nous regardons notre diagramme, nous voyons que nous avons le vecteur vert avec sa queue dessinée à partir de la tête du vecteur bleu. Nous avons donc les vecteurs bleus et verts dessinés avec la méthode du bout à bout. Et le vecteur résultant rouge est en effet dessiné avec sa queue commençant à la queue de notre premier vecteur, le vecteur bleu, et s’étendant jusqu’à la tête de notre deuxième vecteur, le vecteur vert. Et dans ce cas, notre vecteur bleu est entièrement horizontal et notre vecteur vert est entièrement vertical. L’angle entre ces deux vecteurs est donc de 90 degrés.
Nous pouvons donc voir que nos trois vecteurs forment un triangle rectangle. On nous demande de trouver la longueur de ce vecteur résultant, ce qui signifie que nous devons trouver la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle. Pour ce faire, rappelons le théorème de Pythagore. Si nous annotons les longueurs des côtés du triangle 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, alors le théorème de Pythagore nous dit que 𝑐 au carré est donné par 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.
Puisque dans cette question, nous essayons de trouver la valeur de 𝑐, nous pouvons prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. Nous avons alors que 𝑐 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Donc, ce que cette équation nous dit, c’est que pour trouver 𝑐, la longueur du vecteur résultant, nous devons connaître les valeurs de 𝑎 et 𝑏, les longueurs du vecteur bleu et du vecteur vert. Heureusement pour nous, nous avons une échelle sur notre diagramme. Et comme les vecteurs bleu et vert pointent le long des lignes du diagramme, cela facilite la lecture de leurs longueurs.
On nous dit dans la question que chacun des carrés du diagramme a des côtés d’un centimètre de long. Et cette information est renforcée par la présence d’une règle sur le diagramme montrant que les lignes de la grille sur ce diagramme sont espacées d’un centimètre. Donc, pour trouver les longueurs de 𝑎 et 𝑏, il suffit de commencer à la queue du vecteur et de compter le nombre de carrés jusqu’à la pointe du vecteur.
Commençons par le vecteur 𝑎. La queue du vecteur est à ce point marqué ici. Et si nous comptons le nombre de carrés jusqu’à la pointe du vecteur, nous trouvons que le vecteur 𝑎 mesure 10 carrés. Et puisque nous savons qu’un carré correspond à un centimètre, nous savons que 𝑎 est égal à 10 centimètres. Faisons maintenant la même chose pour le vecteur 𝑏. La queue de 𝑏 est à la pointe de 𝑎. Et si nous comptons le nombre de carrés jusqu’à la pointe de 𝑏, nous trouvons que 𝑏 mesure aussi 10 carrés. Et encore une fois, puisque nous savons que chaque carré mesure un centimètre, cela signifie que 𝑏 est aussi égal à 10 centimètres.
Maintenant que nous avons nos valeurs pour 𝑎 et 𝑏, nous pouvons les substituer dans notre équation pour 𝑐. Ce faisant, nous avons que 𝑐 est égal à 10 centimètres carrés plus 10 centimètres carrés. Lors de ce calcul, nous devons faire un peu attention aux unités car si nous prenons le carré de 10 centimètres, nous obtenons 100 avec des unités de centimètres carrés. Si nous additionnons ensuite 100 centimètres carrés et 100 centimètres carrés, nous obtenons que 𝑐 est égal à la racine carrée de 200 centimètres carrés.
Il ne reste donc plus qu’à déterminer cette racine carrée. Si nous prenons la racine carrée d’une grandeur avec des unités de centimètres carrés, alors nous obtenons un résultat avec des unités de centimètres. Et si nous prenons la racine carrée de 200, nous obtenons une valeur de 14,142 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. Et ce résultat nous donne la longueur du vecteur résultant. En regardant en arrière, nous voyons qu’on nous demande de donner notre réponse au centimètre près. Notre résultat est donc arrondi à 14 centimètres. Nous avons donc notre réponse à la question que, au centimètre près, la longueur du vecteur résultant sur le diagramme est égale à 14 centimètres.
