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Déterminez l’inverse de la matrice suivante. 𝐴 est égal à moins un, un, moins un, huit.
Rappelez-vous, pour une matrice deux fois deux 𝐴 qui est égale à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, on trouve son inverse en multipliant un sur le déterminant de 𝐴 par 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎.
Une bonne façon de se rappeler de cela est que nous échangeons les éléments en haut à gauche avec ceux en bas à droite. Et puis on multiplie les éléments en haut à droite et ceux en bas à gauche par moins un, pour changer leur signe. La formule du déterminant de cette même matrice est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous trouvons le produit des éléments supérieur gauche et inférieur droit, puis soustrayons le produit des éléments supérieur droit et inférieur gauche.
Notez que cela signifie que si le déterminant de 𝐴 est nul, son inverse ne peut pas exister, puisqu’un divisé par le déterminant de 𝐴 serait un divisé par zéro, qui est indéfini.
Il est toujours judicieux de commencer par calculer la valeur du déterminant de la matrice. Nous multiplions les éléments en haut à gauche et en bas à droite. Cela donne moins un multiplié par huit. Et puis on soustrait le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. C’est un multiplié par moins un. Moins un multiplié par huit vaut moins huit. Et un multiplié par moins un vaut moins un. On obtient donc moins huit plus un, c’est-à-dire moins sept.
Maintenant que nous connaissons la valeur du déterminant, substituons-la dans la formule de l’inverse. Un sur le déterminant égale un sur moins sept ou moins un septième. Nous échangeons ensuite les éléments en haut à gauche et en bas à droite. Nous échangeons moins un avec huit.
Enfin, nous multiplions l’élément en haut à droite et celui en bas à gauche par moins un. Simplement pour changer leur signe. Et nous obtenons moins un et un. Maintenant, nous pouvons à ce stade multiplier chacun des éléments de cette matrice par un septième. Mais cela ne la simplifie pas vraiment.
Ce que nous pouvons faire, cependant, c’est multiplier par moins un. Et ce faisant, nous voyons que l’inverse de la matrice 𝐴 est un septième multiplié par moins huit, un, moins un, un.
