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Déterminez les points sur une courbe 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑥 plus huit 𝑦 qui est égal à zéro en laquelle la tangente est perpendiculaire à la droite sept 𝑦 plus quatre 𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro.
Donc, la première partie de cette question que nous allons examiner est la partie où il est dit que la tangente est perpendiculaire à la droite et que cette droite est sept 𝑦 plus quatre 𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. D’accord, utilisons-ceci d’abord.
Donc, si nous avons notre droite, ce que nous voulons, est de la réorganiser. Et nous voulons la réorganiser sous la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐 parce que de cette façon, comme vous pouvez le voir ici, 𝑚 va être la pente et le plus 𝑐 sera l’ordonnée à l’origine. Et dans ce cas, c’est en fait la pente que nous recherchons. Donc, si nous soustrayons quatre 𝑥 et 𝑐, nous obtenons sept 𝑦 est égal à moins quatre 𝑥 moins 𝑐. Et puis si nous divisons les deux membres par sept, nous obtenons 𝑦 est égal à moins quatre 𝑥 moins 𝑐 sur sept.
Donc, je vais juste réécrire ceci pour préciser la pente. Ensuite, nous obtenons 𝑦 est égal à moins quatre sur sept 𝑥 moins 𝑐 sur sept. Donc, nous pouvons dire que la pente va être notre 𝑚. Donc, ce sera moins quatre sur sept.
D’accord, nous avons donc trouvé la pente. Mais pourquoi est-ce utile ? Eh bien, c’est en fait ce mot ici qui rend ceci utile : « perpendiculaire », car en fait, ce que nous recherchons, ce sont les points sur la courbe où la tangente est perpendiculaire à notre droite. Donc, si c’est perpendiculaire, alors la pente va être l’opposée de l’inverse. Donc, nous pouvons dire que la pente aux points va être de sept sur quatre. Et c’est parce que c’est une inverse opposée de moins quatre sur sept.
Bon, fantastique, maintenant nous savons quelle pente nous recherchons. Nous devons maintenant travailler sur la fonction pente de notre courbe. Donc, si nous avons la fonction 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑥 plus huit 𝑦 est égal à zéro, alors ce que nous allons faire est en fait de la dériver pour trouver notre équation de la pente. Pour ce faire, nous allons utiliser la dérivation implicite.
Donc, la première étape de la dérivation implicite, que je n’écrirais pas normalement, mais que je viens de mettre ici pour montrer ce qui se passe réellement, est que nous dérivons chacun de nos termes par rapport à 𝑥 ce qui va nous donner deux 𝑥 plus deux 𝑦 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 plus un plus huit 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à zéro. Juste pour nous rappeler comment nous avons obtenu les deuxième et quatrième termes, si nous avons un terme qui est en 𝑦 - donc c’est un terme fonctionnel dans 𝑦 - et nous voulons le dériver par rapport à 𝑥, alors c’est égal au même terme fonctionnel dérivé par rapport à 𝑦 multiplié par 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et cela vient de l’adaptation de la règle de dérivation en chaîne.
Donc, si nous regardons notre deuxième terme, si nous avions dérivé 𝑦 au carré par rapport à 𝑥, alors ce que nous pouvons dire est que cela va être égal à deux 𝑦 parce que si vous dérivez 𝑦 au carré par rapport à 𝑦, vous obtenez deux 𝑦 parce que vous multipliez le coefficient par les exposants - donc deux par un ce qui nous donne deux - puis vous réduisez l’exposant par un, donc nous laissons juste avec 𝑦. Et puis, nous multiplions cela par 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.
D’accord, fabuleux, nous savons maintenant d’où elles viennent, nous pouvons passer à l’étape suivante. Eh bien, l’étape suivante consiste en fait à isoler 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 car, comme je l’ai déjà dit, c’est notre équation de la pente et c’est ce que nous cherchons à trouver. Donc, nous allons obtenir deux 𝑦 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 plus huit 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 égale moins deux 𝑥 moins un. Et maintenant, en fait, comme nous avons 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 comme facteur dans nos deux termes sur le membre de gauche, nous pouvons en fait factoriser. Donc, nous obtenons 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 multiplié par deux 𝑦 plus huit est égal à moins deux 𝑥 moins un.
Donc, pour trouver notre équation de la pente, il suffit de diviser les deux membres par deux 𝑦 plus huit. Nous pouvons donc dire 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 - donc notre équation de la pente - est égal à moins deux 𝑥 moins un sur deux 𝑦 plus huit.
Ok, fantastique, donc nous avons maintenant cela. Quelle est la prochaine étape ? Eh bien, dès le début, nous avons en fait calculé quelle serait la pente sur les points de notre courbe où la tangente est perpendiculaire à la droite sept 𝑦 plus quatre 𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Donc, ce que nous pouvons faire, c’est que nous pouvons remplacer notre valeur par la pente dans notre équation de la pente, puis résoudre pour trouver l’équation de notre tangente.
Alors maintenant, nous avons en fait substitué sept sur quatre à notre pente parce que nous savons que c’est la pente que nous voulons en ces points. On peut donc dire que moins deux 𝑥 moins un sur deux 𝑦 plus huit égale sept sur quatre. Nous pouvons donc dire que quatre multiplié par moins deux 𝑥 moins un est égal à sept multiplié par deux 𝑦 plus huit, ce qui va nous donner moins huit 𝑥 moins quatre égale 14𝑦 plus 56, ce qui, si nous réorganisons nous donne 14𝑦 plus huit 𝑥 plus 56 plus quatre est égal à zéro. Et puis si nous rassemblons tous les termes, nous avons 14𝑦 plus huit 𝑥 plus 60 est égal à zéro.
Ensuite, une étape de plus, nous divisons simplement par deux pour le rendre un peu plus facile à gérer. Alors maintenant, nous avons l’équation de la tangente aux points que nous recherchons et c’est sept 𝑦 plus quatre 𝑥 plus 30 est égal à zéro.
Maintenant, c’est l’étape où nous revenons sur la question parce que nous avons fait beaucoup de choses et trouvé beaucoup de parties différentes ici. Mais qu’est-ce que la question veut réellement ? Eh bien, la question veut les points sur la courbe. Donc, dans ce cas, nous devons déterminer les valeurs 𝑥 et 𝑦. Et pour ce faire, nous allons mettre en place un système d’équations.
Donc, comme vous pouvez le voir, les équations que je vais résoudre sont en fait la fonction de notre courbe, donc 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑥 plus huit 𝑦 est égal à zéro, et la droite que nous avons trouvée qui est la tangente qui est sept 𝑦 plus quatre 𝑥 plus 30 est égal à zéro. Et nous l’avons fait parce que les points que nous recherchons sont les points où elles se rencontrent.
Eh bien, la première étape consiste en fait à réorganiser l’équation deux pour isoler 𝑥. Nous allons donc obtenir quatre 𝑥 égale moins 30 moins sept 𝑦, donc soustrayez les 30 et sept 𝑦 de chaque membre de l’équation. Donc, si nous divisons les deux membres de notre équation par quatre, nous obtenons 𝑥 est égal à moins 30 moins sept 𝑦 sur quatre. Tellement génial que nous avons maintenant cela et que nous pouvons le remplacer dans la première équation pour nous aider à trouver ce que 𝑦 est. Donc, quand nous faisons cela, nous obtenons moins 30 moins sept 𝑦 sur quatre tous au carré parce que nous avons substitué cette valeur de moins 30 moins sept 𝑦 sur quatre pour 𝑥 plus 𝑦 au carré plus moins 30 moins sept 𝑦 sur quatre plus huit 𝑦 égale zéro.
Et puis, nous développons nos parenthèses. Nous obtenons donc 900 plus 420𝑦 plus 49𝑦 au carré sur 16 plus 𝑦 au carré plus moins 30 moins sept 𝑦 sur quatre plus huit 𝑦 est égal à zéro. Alors, ce que nous allons faire, c’est multiplier par 16 juste pour enlever les fractions, ce qui nous donne 900 plus 420𝑦 plus 49𝑦 au carré plus 16𝑦 au carré moins 120 moins 28𝑦 plus 128𝑦 est égal à zéro. Alors maintenant, nous allons simplifier et rassembler les termes similaires, ce qui nous donne 65𝑦 au carré plus 520𝑦 plus 780 est égal à zéro.
D’accord, nous pourrions donc envisager de factoriser à ce stade. Mais encore une fois, pouvons-nous simplifier cette tâche ? Essayez toujours de simplifier et oui, nous le pouvons. Nous pouvons en fait diviser trois par 65, ce qui nous laisse avec un 𝑦 carré plus facile à gérer plus huit 𝑦 plus 12 est égal à zéro. Merveilleux, nous pouvons maintenant factoriser cela pour déterminer nos valeurs de 𝑦. Nous obtenons donc 𝑦 plus six multiplié par 𝑦 plus deux est égal à zéro. Donc, 𝑦 est égal à moins six ou moins deux. Fantastique, nous avons maintenant trouvé nos ordonnées 𝑦 des points sur la courbe que nous recherchons. Maintenant, replaçons ces valeurs dans l’une de nos équations pour trouver la valeur de 𝑥.
Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est en fait substituer nos valeurs 𝑦 dans l’équation que nous avons faite à 𝑥 pour trouver nos valeurs 𝑥. Donc, si nous commençons par 𝑦 est égal à moins six, nous allons obtenir 𝑥 est égal à moins 30 moins sept multiplié par moins six sur quatre, ce qui nous donne une valeur de 𝑥 de trois. Et puis, si nous substituons en 𝑦 est égal à moins deux, nous allons obtenir 𝑥 est égal à moins 30 moins puis sept multiplié par moins deux sur quatre, ce qui va nous donner une valeur 𝑥 de moins quatre.
Nous pouvons donc dire que les points de la courbe 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑥 plus huit 𝑦 sont égaux à zéro, où la tangente est perpendiculaire à la droite sept 𝑦 plus quatre 𝑥 plus 𝑐 égale zéro sont trois, moins six et moins quatre, moins deux.
