Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment utiliser la dérivation implicite pour dériver des fonctions définies implicitement.
Jusqu’à présent, dans un cours de calcul, nous sommes en mesure de dériver de nombreux types de fonctions dans lesquelles une variable est exprimée explicitement en fonction d’une autre. Par exemple,
Généralement, ce sont des fonctions du type . Cependant, certaines fonctions ne sont pas définies explicitement comme ceci, mais sont définies implicitement par une relation entre et . Un exemple habituel serait l’équation d’un cercle qui définit implicitement une fonction. Dans ce cas, il est possible de résoudre l’équation d’inconnue pour obtenir deux fonctions explicites d’inconnue ; à savoir,
Cependant, cela peut ne pas être possible en général. Par exemple, considérons la relation
Il est impossible de trouver une expression littérale définissant explicitement en fonction de . Cependant, en utilisant la dérivation implicite, nous sommes toujours en mesure de trouver une expression de la dérivée de en par rapport à même quand on ne peut pas réécrire une relation afin d’obtenir une fonction explicite. Comment allons-nous procéder ? Nous devrons appliquer la règle de dérivation en chaîne.
Règle : Règle de dérivation en chaîne
Étant donnée une fonction de variable , sa dérivée par rapport à la variable est donnée par
Ici est la dérivée de la fonction obtenue en utilisant les règles de dérivation.
Lorsque la variable de la fonction que nous dérivons est , alors la dérivée peut être calculée immédiatement en utilisant les règles de dérivation. Cependant, si la variable de la fonction que nous dérivons est , alors la règle de dérivation en chaîne ci-dessus nous dit que la dérivée implique un terme supplémentaire, .
Nous allons montrer la méthode à l’aide d’un exemple.
Exemple 1: Dérivation implicite
Considérez l’équation .
- En utilisant la dérivation implicite, déterminez une expression de en fonction de et .
- Pour le demi-cercle où , exprimez explicitement en fonction de ; puis, dérivez cette expression pour obtenir une expression de en fonction de .
Réponse
Partie 1
Pour dériver implicitement, nous devons dériver les deux membres de l’équation par rapport à comme suit :
En utilisant la linéarité de la dérivée, nous pouvons réécrire ceci comme
En utilisant la règle de dérivation des puissances, nous pouvons dériver le premier terme :
Quant au second, comme est une fonction de et qu’on peut considérer comme une fonction de , on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne pour obtenir
En le substituant dans l’équation(1), nous avons
Nous pouvons maintenant réorganiser pour isoler . En soustrayant à chaque membre puis en divisant par deux, nous avons
Quelque soit , on peut réécrire ceci comme
Partie 2
Nous commençons par réarranger l’équation qui nous a été donnée pour isoler . En soustrayant à chaque membre de l’équation, nous avons
Comme nous ne sommes intéressés que par le demi-cercle où , on peut prendre la racine carrée positive des deux membres de l’équation pour obtenir
Maintenant, nous avons une formule explicite pour en fonction de , nous pouvons dériver en utilisant les règles habituelles de dérivation. Notez que nous avons une composition de fonctions, ainsi nous devrons appliquer la règle de dérivation en chaîne. En posant , nous avons . On dérive alors pour obtenir
En appliquant la règle de dérivation en chaîne, nous avons
Notez que comme , on pourrait l’exprimer comme suit : , qui est la même réponse que celle obtenue dans la première partie de la question.
Le dernier exemple illustre un certain nombre de points importants :
- Même lorsqu’il est possible de réécrire une relation à l’aide d’une fonction explicite, il est souvent plus simple d’utiliser la dérivation implicite.
- Lorsque nous dérivons implicitement, en général, nous obtenons une expression de en fonction à la fois de et de .
Il est assez courant d’utiliser la dérivation implicite pour déterminer l’équation d’une tangente à une courbe définie implicitement. Dans les deux exemples suivants, nous montrerons comment utiliser la dérivation implicite pour résoudre des problèmes de ce type.
Exemple 2: Déterminer les tangentes à des courbes définies implicitement
L’équation décrit une courbe dans le plan.
- Déterminez les coordonnées de deux points sur cette courbe, où .
- Déterminez l’équation de la tangente aux points où et où l’ordonnée est positive.
- Déterminez les coordonnées d’un autre point, s’il existe, en lequel la tangente rencontre la courbe.
Réponse
Partie 1
Pour déterminer les points sur la courbe où , nous substituons cette valeur dans l’égalité et nous résolvons l’équation d’inconnue . Ainsi,
Par conséquent, , ce qui implique que et sont les deux valeurs possibles pour où , que nous pouvons écrire avec les coordonnées et .
Partie 2
Nous devons trouver l’équation de la tangente à la courbe en . Pour ce faire, nous commençons par trouver la dérivée en ce point car elle sera égale au coefficient directeur de la tangente. Ainsi, en dérivant implicitement, nous avons
Par conséquent,
Comme, pour le point qui nous intéresse, , on peut réécrire ceci comme
En substituant par et , nous avons
Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente en est . Ainsi, en utilisant l’équation d’une droite sous la forme permettant de lire son coefficient directeur et les coordonnées d’un de ses points, on peut trouver l’équation de la tangente suivante :
Nous pouvons simplifier cela par
Partie 3
Pour trouver les coordonnées d’un autre point où cette tangente coupe la courbe, on peut substituer dans l’équation de la courbe et essayer de résoudre cette équation d’inconnue . On peut alors trouver la valeur correspondante de . Par conséquent,
En développant les parenthèses, nous avons
Ainsi,
On sait déjà que la tangente passe par le point . Par conséquent, est l’une des racines de cette équation. Nous pouvons donc factoriser cela. Nous pouvons réaliser cela à l’aide d’une division longue ou en identifiant les coefficients de chaque terme. On commence par écrire
On voit que le premier terme entre parenthèses doit être pour nous assurer d’obtenir le bon coefficient pour le terme . Ainsi,
De même, nous pouvons voir que le terme constant entre parenthèses doit être . Par conséquent,
Enfin, nous devons calculer le terme du milieu dans les parenthèses. Nous pouvons le faire en comparant les coefficients du terme de chaque membre de l’équation. Sur le membre de droite, nous avons le coefficient , alors que sur le membre de gauche, on a un coefficient . Par conséquent, et
Il est souvent judicieux de vérifier que cette valeur nous donne le bon coefficient pour le dernier terme du membre de droite, qui est . Par conséquent, en considérant le coefficient de dans le membre de gauche, nous avons comme convenu.
Nous avons maintenant une équation du second degré que nous pouvons résoudre. On peut utiliser la formule qui permet de calculer les solutions d’une équation du second degré, ou alors, nous pouvons remarquer directement que les solutions sont et . Par conséquent, la tangente coupe à nouveau la courbe au point d’abscisse . En utilisant l’équation de la tangente, on peut substituer cette valeur de pour déterminer la valeur correspondante de comme suit :
Par conséquent, la tangente en rencontre à nouveau la courbe au point .
Parfois, on peut nous demander de déterminer l’équation d’une tangente à partir de son coefficient directeur plutôt qu’au point de tangence. Dans l’exemple suivant, nous aborderons un problème de ce type.
Exemple 3: Déterminer les tangentes de coefficients directeurs donnés
Déterminez, pour , l’équation de la tangente à la courbe d’équation qui a un coefficient directeur égal à , en donnant votre équation en fonction de .
Réponse
On nous a donné le coefficient directeur d’une tangente et nous aimerions trouver les valeurs de et au point qui correspond à ce coefficient. Pour ce faire, nous commençons par dériver l’équation pour trouver une expression de la dérivée . En utilisant la dérivation implicite,
La dérivée étant égale au coefficient directeur de la tangente, on peut substituer à comme suit :
En simplifiant, on obtient
Par conséquent, .
Dans les exemples précédents, nous avons calculé la dérivée première et nous avons utilisé cette dérivée pour déterminer le coefficient directeur de la tangente en un point. Parfois, il est intéressant de calculer la dérivée seconde, ou d’ordre supérieur. Pour trouver la dérivée seconde, , on trouve d’abord la dérivée première . Ensuite, nous pouvons trouver la dérivée seconde en dérivant la dérivée première. Considérons un exemple où nous trouvons la dérivée seconde à partir d’une équation implicite.
Exemple 4: Dérivées secondes utilisant la dérivation implicite
Sachant que , déterminez par dérivation implicite.
Réponse
Nous commençons par dériver implicitement pour déterminer la dérivée première comme suit :
À ce stade, nous pouvons, soit dériver à nouveau, soit réorganiser pour obtenir une équation d’inconnue . Généralement, quand on dérive à nouveau, on obtient une expression de en fonction de . Pour cette raison, il est souvent utile de commencer par réarranger l’équation. En soustrayant à chaque membre de l’équation, on obtient
Si , on peut diviser par pour obtenir
À ce stade, nous pouvons utiliser la règle du quotient, pour dériver à nouveau et obtenir
On peut maintenant substituer dans l’expression, l’expression de que nous avons calculée plus tôt afin d’obtenir
En exprimant le numérateur sous la forme fractionnaire, nous avons
Cette formule est valable pour tous et tels que .
Regardons un exemple où nous calculons la dérivée troisième, , à partir d’une équation implicite.
Exemple 5: Dérivées d’ordre supérieur utilisant la dérivation implicite
Déterminez , sachant que .
Réponse
Nous commençons par dériver implicitement pour obtenir
À ce stade, nous pouvons soit dériver à nouveau, soit réorganiser pour obtenir une expression de . Généralement, quand on dérive à nouveau, on obtient une expression de en fonction de . Pour cette raison, il est souvent utile de commencer par réarranger l’équation. Par conséquent, en soustrayant à chaque membre de l’équation, nous avons
Ainsi, lorsque ,
On peut maintenant utiliser la règle du quotient, pour dériver à nouveau et obtenir
En substituant dans l’expression, l’expression de , nous avons
Comme , on peut réécrire ceci par
Nous pouvons maintenant dériver à nouveau pour obtenir une expression de comme suit :
En substituant dans l’équation, cela donne
Récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- Lorsqu’une fonction donnée est définie implicitement, nous pouvons dériver chaque terme de l’équation en utilisant le modèle suivant de la règle de dérivation en chaîne pour les termes incluant notre variable dépendante :
- Même lorsqu’il est possible de réécrire une relation avec une fonction explicite, il est souvent plus simple d’utiliser la dérivation implicite.
- Lorsque nous dérivons implicitement, en général, nous obtenons une expression de en fonction de et à la fois.
- On peut trouver des dérivées d’ordre supérieur par dérivation implicite. Dans de tels cas, pour simplifier les expressions, nous aurons souvent besoin de substituer les expressions des dérivées d’ordre inférieur, nous aurons également besoin de le faire dans l’équation qui définit implicitement la fonction.
