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Fiche explicative de la leçon : Dérivation implicite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment utiliser la dérivation implicite pour dériver des fonctions définies implicitement.

Jusqu’à présent, dans un cours de calcul, nous sommes en mesure de dériver de nombreux types de fonctions dans lesquelles une variable est exprimée explicitement en fonction d’une autre. Par exemple, 𝑦=1𝑥,𝑦=𝑒𝑥.cos

Généralement, ce sont des fonctions du type 𝑦=𝑓(𝑥). Cependant, certaines fonctions ne sont pas définies explicitement comme ceci, mais sont définies implicitement par une relation entre 𝑥 et 𝑦. Un exemple habituel serait l’équation d’un cercle 𝑥+𝑦=𝑟, qui définit implicitement une fonction. Dans ce cas, il est possible de résoudre l’équation d’inconnue 𝑦 pour obtenir deux fonctions explicites d’inconnue 𝑥;à savoir, 𝑦=𝑟𝑥,𝑦=𝑟𝑥.

Cependant, cela peut ne pas être possible en général. Par exemple, considérons la relation 𝑦𝑦=𝑥𝑥.sinsin

Il est impossible de trouver une expression littérale définissant explicitement 𝑦 en fonction de 𝑥. Cependant, en utilisant la dérivation implicite, nous sommes toujours en mesure de trouver une expression de la dérivée de 𝑦 en par rapport à 𝑥 même quand on ne peut pas réécrire une relation afin d’obtenir une fonction explicite. Comment allons-nous procéder?Nous devrons appliquer la règle de dérivation en chaîne.

Règle : Règle de dérivation en chaîne

Étant donnée une fonction 𝑓(𝑦) de variable 𝑦, sa dérivée par rapport à la variable 𝑥 est donnée par dddd𝑥𝑓(𝑦)=𝑓(𝑦)𝑦𝑥.

Ici 𝑓(𝑦) est la dérivée de la fonction 𝑓(𝑦) obtenue en utilisant les règles de dérivation.

Lorsque la variable de la fonction que nous dérivons est 𝑥, alors la dérivée dd𝑥 peut être calculée immédiatement en utilisant les règles de dérivation. Cependant, si la variable de la fonction que nous dérivons est 𝑦, alors la règle de dérivation en chaîne ci-dessus nous dit que la dérivée implique un terme supplémentaire, dd𝑦𝑥.

Nous allons montrer la méthode à l’aide d’un exemple.

Exemple 1: Dérivation implicite

Considérez l’équation 𝑥+𝑦=1.

  1. En utilisant la dérivation implicite, déterminez une expression de dd𝑦𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦.
  2. Pour le demi-cercle où 𝑦0, exprimez 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥;puis, dérivez cette expression pour obtenir une expression de dd𝑦𝑥 en fonction de 𝑥.

Réponse

Partie 1

Pour dériver implicitement, nous devons dériver les deux membres de l’équation par rapport à 𝑥 comme suit:dddd𝑥𝑥+𝑦=𝑥(1).

En utilisant la linéarité de la dérivée, nous pouvons réécrire ceci comme dddd𝑥𝑥+𝑥𝑦=0.

En utilisant la règle de dérivation des puissances, nous pouvons dériver le premier terme:

2𝑥+𝑥𝑦=0.dd(1)

Quant au second, comme 𝑦 est une fonction de 𝑦 et qu’on peut considérer 𝑦 comme une fonction de 𝑥, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne pour obtenir dddd𝑥𝑦=2𝑦𝑦𝑥.

En le substituant dans l’équation(1), nous avons 2𝑥+2𝑦𝑦𝑥=0.dd

Nous pouvons maintenant réorganiser pour isoler dd𝑦𝑥. En soustrayant 2𝑥 à chaque membre puis en divisant par deux, nous avons 𝑦𝑦𝑥=𝑥.dd

Quelque soit 𝑦0, on peut réécrire ceci comme dd𝑦𝑥=𝑥𝑦.

Partie 2

Nous commençons par réarranger l’équation qui nous a été donnée pour isoler 𝑦. En soustrayant 𝑥 à chaque membre de l’équation, nous avons 𝑦=1𝑥.

Comme nous ne sommes intéressés que par le demi-cercle où 𝑦0, on peut prendre la racine carrée positive des deux membres de l’équation pour obtenir 𝑦=1𝑥.

Maintenant, nous avons une formule explicite pour 𝑦 en fonction de 𝑥, nous pouvons dériver en utilisant les règles habituelles de dérivation. Notez que nous avons une composition de fonctions, ainsi nous devrons appliquer la règle de dérivation en chaîne. En posant 𝑢=1𝑥, nous avons 𝑦=𝑢. On dérive alors pour obtenir dddd𝑦𝑢=12𝑢,𝑢𝑥=2𝑥.

En appliquant la règle de dérivation en chaîne, dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥, nous avons dd𝑦𝑥=121𝑥(2𝑥)=𝑥1𝑥.

Notez que comme 𝑦=1𝑥, on pourrait l’exprimer comme suit:dd𝑦𝑥=𝑥𝑦, qui est la même réponse que celle obtenue dans la première partie de la question.

Le dernier exemple illustre un certain nombre de points importants:

  • Même lorsqu’il est possible de réécrire une relation à l’aide d’une fonction explicite, il est souvent plus simple d’utiliser la dérivation implicite.
  • Lorsque nous dérivons implicitement, en général, nous obtenons une expression de dd𝑦𝑥 en fonction à la fois de 𝑥 et de 𝑦.

Il est assez courant d’utiliser la dérivation implicite pour déterminer l’équation d’une tangente à une courbe définie implicitement. Dans les deux exemples suivants, nous montrerons comment utiliser la dérivation implicite pour résoudre des problèmes de ce type.

Exemple 2: Déterminer les tangentes à des courbes définies implicitement

L’équation 𝑦24𝑥+24𝑥=0 décrit une courbe dans le plan.

  1. Déterminez les coordonnées de deux points sur cette courbe, où 𝑥=12.
  2. Déterminez l’équation de la tangente aux points où 𝑥=12 et où l’ordonnée 𝑦 est positive.
  3. Déterminez les coordonnées d’un autre point, s’il existe, en lequel la tangente rencontre la courbe.

Réponse

Partie 1

Pour déterminer les points sur la courbe où 𝑥=12, nous substituons cette valeur dans l’égalité et nous résolvons l’équation d’inconnue 𝑦. Ainsi, 0=𝑦2412+2412=𝑦+312=𝑦9.

Par conséquent, 𝑦=9, ce qui implique que 𝑦=3 et 𝑦=3 sont les deux valeurs possibles pour 𝑦𝑥=12, que nous pouvons écrire avec les coordonnées 12;3 et 12;3.

Partie 2

Nous devons trouver l’équation de la tangente à la courbe en 12;3. Pour ce faire, nous commençons par trouver la dérivée en ce point car elle sera égale au coefficient directeur de la tangente. Ainsi, en dérivant implicitement, nous avons 2𝑦𝑦𝑥72𝑥+24=0.dd

Par conséquent, 2𝑦𝑦𝑥=72𝑥24.dd

Comme, pour le point qui nous intéresse, 𝑦0, on peut réécrire ceci comme dd𝑦𝑥=36𝑥12𝑦.

En substituant par 𝑥=12 et 𝑦=3, nous avons dd𝑦𝑥|||=36123=1244=1.()()

Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente en 12;3 est 1. Ainsi, en utilisant l’équation d’une droite sous la forme permettant de lire son coefficient directeur et les coordonnées d’un de ses points, 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥), on peut trouver l’équation de la tangente suivante:𝑦3=1𝑥12.

Nous pouvons simplifier cela par 𝑦=52𝑥.

Partie 3

Pour trouver les coordonnées d’un autre point où cette tangente coupe la courbe, on peut substituer 𝑦=52𝑥 dans l’équation de la courbe et essayer de résoudre cette équation d’inconnue 𝑥. On peut alors trouver la valeur correspondante de 𝑦. Par conséquent, 52𝑥24𝑥+24𝑥=0.

En développant les parenthèses, nous avons 2545𝑥+𝑥24𝑥+24𝑥=0.

Ainsi, 24𝑥𝑥19𝑥254=0.

On sait déjà que la tangente passe par le point 12;3. Par conséquent, 𝑥=12 est l’une des racines de cette équation. Nous pouvons donc factoriser cela. Nous pouvons réaliser cela à l’aide d’une division longue ou en identifiant les coefficients de chaque terme. On commence par écrire 𝑥+12𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=24𝑥𝑥19𝑥254.

On voit que le premier terme entre parenthèses doit être 24𝑥 pour nous assurer d’obtenir le bon coefficient pour le terme 𝑥. Ainsi, 𝑥+1224𝑥+𝑏𝑥+𝑐=24𝑥𝑥19𝑥254.

De même, nous pouvons voir que le terme constant entre parenthèses doit être 252. Par conséquent, 𝑥+1224𝑥+𝑏𝑥252=24𝑥𝑥19𝑥254.

Enfin, nous devons calculer le terme du milieu dans les parenthèses. Nous pouvons le faire en comparant les coefficients du terme 𝑥 de chaque membre de l’équation. Sur le membre de droite, nous avons le coefficient 1, alors que sur le membre de gauche, on a un coefficient 𝑏+12. Par conséquent, 𝑏=13 et 𝑥+1224𝑥13𝑥252=24𝑥𝑥19𝑥254.

Il est souvent judicieux de vérifier que cette valeur nous donne le bon coefficient pour le dernier terme du membre de droite, qui est 19𝑥. Par conséquent, en considérant le coefficient de 𝑥 dans le membre de gauche, nous avons 132252=19 comme convenu.

Nous avons maintenant une équation du second degré que nous pouvons résoudre. On peut utiliser la formule qui permet de calculer les solutions d’une équation du second degré, ou alors, nous pouvons remarquer directement que les solutions sont 𝑥=12 et 𝑥=2524. Par conséquent, la tangente coupe à nouveau la courbe au point d’abscisse 𝑥=2524. En utilisant l’équation de la tangente, on peut substituer cette valeur de 𝑥 pour déterminer la valeur correspondante de 𝑦 comme suit:𝑦=522524=3524.

Par conséquent, la tangente en 12;3 rencontre à nouveau la courbe au point 2524;3524.

Parfois, on peut nous demander de déterminer l’équation d’une tangente à partir de son coefficient directeur plutôt qu’au point de tangence. Dans l’exemple suivant, nous aborderons un problème de ce type.

Exemple 3: Déterminer les tangentes de coefficients directeurs donnés

Déterminez, pour 0<𝑥<𝜋, l’équation de la tangente à la courbe d’équation 9𝑦=(5𝑥+3𝑦)cos qui a un coefficient directeur égal à 512, en donnant votre équation en fonction de 𝜋.

Réponse

On nous a donné le coefficient directeur d’une tangente et nous aimerions trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 au point qui correspond à ce coefficient. Pour ce faire, nous commençons par dériver l’équation pour trouver une expression de la dérivée dd𝑦𝑥. En utilisant la dérivation implicite, 9𝑦𝑥=5+3𝑦𝑥(5𝑥+3𝑦).ddddsin

La dérivée étant égale au coefficient directeur de la tangente, on peut substituer 512 à dd𝑦𝑥 comme suit:9512=5+3512(5𝑥+3𝑦).sin

En simplifiant, on obtient 154=154(5𝑥+3𝑦)1=(5𝑥+3𝑦).sinsin

Par conséquent, 5𝑥+3𝑦=𝜋2.

Dans les exemples précédents, nous avons calculé la dérivée première dd𝑦𝑥 et nous avons utilisé cette dérivée pour déterminer le coefficient directeur de la tangente en un point. Parfois, il est intéressant de calculer la dérivée seconde, ou d’ordre supérieur. Pour trouver la dérivée seconde, dd𝑦𝑥, on trouve d’abord la dérivée première dd𝑦𝑥. Ensuite, nous pouvons trouver la dérivée seconde en dérivant la dérivée première. Considérons un exemple où nous trouvons la dérivée seconde à partir d’une équation implicite.

Exemple 4: Dérivées secondes utilisant la dérivation implicite

Sachant que 2𝑦5𝑥=4sincos, déterminez 𝑦 par dérivation implicite.

Réponse

Nous commençons par dériver implicitement pour déterminer la dérivée première comme suit:2(𝑦)𝑦𝑥+5𝑥=0.cosddsin

À ce stade, nous pouvons, soit dériver à nouveau, soit réorganiser pour obtenir une équation d’inconnue dd𝑦𝑥. Généralement, quand on dérive à nouveau, on obtient une expression de dd𝑦𝑥 en fonction de dd𝑦𝑥. Pour cette raison, il est souvent utile de commencer par réarranger l’équation. En soustrayant 5𝑥sin à chaque membre de l’équation, on obtient 2(𝑦)𝑦𝑥=5𝑥.cosddsin

Si cos𝑦0, on peut diviser par 2𝑦cos pour obtenir ddsincos𝑦𝑥=5𝑥2𝑦.

À ce stade, nous pouvons utiliser la règle du quotient, 𝑓𝑔=𝑓𝑔𝑓𝑔𝑔, pour dériver à nouveau et obtenir ddcoscossinsincoscoscossinsincos𝑦𝑥=10𝑥𝑦+10𝑥𝑦4𝑦=5𝑥𝑦+5𝑥𝑦2𝑦.dddd

On peut maintenant substituer dans l’expression, l’expression de dd𝑦𝑥 que nous avons calculée plus tôt afin d’obtenir ddcoscossinsincos𝑦𝑥=5𝑥𝑦+5𝑥𝑦2𝑦.sincos

En exprimant le numérateur sous la forme fractionnaire, nous avons ddcoscoscossinsincossinsincoscoscos𝑦𝑥=2𝑦=10𝑥𝑦25𝑥𝑦4𝑦=25𝑥𝑦10𝑥𝑦4𝑦.coscossinsinsincos

Cette formule est valable pour tous 𝑥 et 𝑦 tels que cos𝑦0.

Regardons un exemple où nous calculons la dérivée troisième, dd𝑦𝑥, à partir d’une équation implicite.

Exemple 5: Dérivées d’ordre supérieur utilisant la dérivation implicite

Déterminez dd𝑦𝑥, sachant que 6𝑥+6𝑦=25.

Réponse

Nous commençons par dériver 6𝑥+6𝑦=25 implicitement pour obtenir 12𝑥+12𝑦𝑦𝑥=0.dd

À ce stade, nous pouvons soit dériver à nouveau, soit réorganiser pour obtenir une expression de dd𝑦𝑥. Généralement, quand on dérive à nouveau, on obtient une expression de dd𝑦𝑥 en fonction de dd𝑦𝑥. Pour cette raison, il est souvent utile de commencer par réarranger l’équation. Par conséquent, en soustrayant 12𝑥 à chaque membre de l’équation, nous avons 12𝑦𝑦𝑥=12𝑥.dd

Ainsi, lorsque 𝑦0, dd𝑦𝑥=𝑥𝑦.

On peut maintenant utiliser la règle du quotient, 𝑓𝑔=𝑓𝑔𝑓𝑔𝑔, pour dériver à nouveau et obtenir dd𝑦𝑥=𝑦𝑥𝑦.dd

En substituant dans l’expression, l’expression de dd𝑦𝑥, nous avons dd𝑦𝑥=𝑦𝑥𝑦=𝑦+𝑥𝑦.

Comme 6𝑥+6𝑦=25, on peut réécrire ceci par dd𝑦𝑥=256𝑦=256𝑦.

Nous pouvons maintenant dériver à nouveau pour obtenir une expression de dd𝑦𝑥 comme suit:dddd𝑦𝑥=252𝑦𝑦𝑥.

En substituant dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 dans l’équation, cela donne dd𝑦𝑥=252𝑦𝑥𝑦=25𝑥2𝑦.

Récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Lorsqu’une fonction donnée est définie implicitement, nous pouvons dériver chaque terme de l’équation en utilisant le modèle suivant de la règle de dérivation en chaîne pour les termes incluant notre variable dépendante 𝑦:dddd𝑥(𝑓(𝑦))=𝑓(𝑦)𝑦𝑥.
  • Même lorsqu’il est possible de réécrire une relation avec une fonction explicite, il est souvent plus simple d’utiliser la dérivation implicite.
  • Lorsque nous dérivons implicitement, en général, nous obtenons une expression de dd𝑦𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦 à la fois.
  • On peut trouver des dérivées d’ordre supérieur par dérivation implicite. Dans de tels cas, pour simplifier les expressions, nous aurons souvent besoin de substituer les expressions des dérivées d’ordre inférieur, nous aurons également besoin de le faire dans l’équation qui définit implicitement la fonction.

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