Vidéo : Dérivation implicite

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation implicite pour dériver des fonctions définies implicitement.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser la dérivation implicite pour nous aider à trouver la dérivée de fonctions exprimées implicitement en fonction de 𝑥. La majorité des problèmes de dérivation que vous aurez rencontrés jusqu’ici impliqueront des fonctions écrites explicitement comme fonctions de 𝑥, telles que 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré sin 𝑥. Dans cette vidéo, nous allons explorer comment la dérivation implicite, qui est une extension de la règle de la chaîne, nous permet de dériver facilement des équations telles que l’équation cartésienne d’un cercle, 𝑥 carré plus 𝑦 carré est égal à un par exemple. Nous verrons également ce que cela signifie pour les dérivées de deuxième ordre et d’ordre supérieur.

La règle de la chaîne nous permet de dériver les fonctions composées. Il est dit que, pour deux fonctions dérivables, 𝑔 et ℎ, de telle sorte que 𝑓 est la fonction composée 𝑔 de ℎ de 𝑥, la dérivée de 𝑓 est la dérivée de ℎ de 𝑥 fois la dérivée de 𝑔 évaluée en ℎ de 𝑥. Il est souvent plus intuitif que d’écrire cela comme d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑢 par d𝑥 fois d𝑦 sur d𝑢, où 𝑦 est fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥. Montrons comment cette règle de chaîne peut nous aider à trouver la dérivée d’une fonction implicite.

Considérons l’équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale à un. En utilisant la dérivation implicite, détermine une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Et il y a une deuxième partie à cette question. Pour le demi-cercle où 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, exprime 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥, alors dériver cette expression pour obtenir une expression d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥.

Nous allons commencer par la première partie. Pour dériver la fonction implicitement, nous allons commencer par dériver les deux membres de l’équation par rapport à 𝑥. Cela va probablement paraître un peu étrange, mais attendez. Nous disons que la dérivée de 𝑥 carré plus 𝑦 carré par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de un par rapport à 𝑥. Et nous devons absolument faire cela des deux côtés de l’équation. Ensuite, nous dérivons ce que nous pouvons. Il est assez simple de dériver un par rapport à 𝑥. C’est tout simplement zéro. Mais comment pouvons-nous dérivons 𝑥 au carré plus 𝑦 carré ?

Eh bien, la dérivée de 𝑥 carré est deux 𝑥. Mais la dérivée de 𝑦 au carré est un peu plus étrange. Nous savons que 𝑦 au carré est fonction de 𝑦. Et, à son tour, 𝑦 est fonction de 𝑥. Donc, ici, nous pouvons utiliser la règle de la chaîne. Nous disons que la dérivée de 𝑦 carré par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 carré par rapport à 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. De plus, la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 est deux 𝑦. Et la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est simplement d𝑦 sur d𝑥. Donc notre équation devient maintenant deux 𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 égal à zéro.

Rappelez-vous, nous voulons une équation pour la dérivée. Nous allons donc faire de d𝑦 sur d𝑥 le sujet en soustrayant deux 𝑥 des deux côtés de notre équation. Cela nous donne deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins deux 𝑥. Ensuite, nous allons diviser par deux par 𝑦. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égale à moins deux 𝑥 divisé par deux 𝑦. Eh bien, les deux s’annulent. Et nous avons trouvé une expression d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦 ; c’est moins 𝑥 plus 𝑦.

Pour la deuxième partie de cette question, nous allons revenir à notre équation initiale. Et nous allons commencer par faire de 𝑦 le sujet de l’équation. Cela exprime 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥. Nous pouvons soustraire 𝑥 au carré des deux côtés. Et puis nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation. Maintenant, généralement, nous prenons la racine carrée positive et négative. Ici cependant, on nous dit le demi-cercle est tel que 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. Nous allons donc simplement considérer la racine carrée positive. Et nous avons une fonction explicite dans 𝑥.

Maintenant, en écrivant un moins 𝑥 carré à la puissance un demi, nous pouvons voir que nous pouvons utiliser la règle de puissance générale pour la dériver. Ceci signifie que si 𝑢 est une fonction en 𝑥, la dérivée de 𝑢 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑢 à la puissance 𝑛 moins un multiplié par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Et cela est bien sûr quand 𝑛 est un nombre réel. Ainsi, la dérivée d’un moins 𝑥 au carré à la puissance un demi est une fois et demie un moins 𝑥 au carré à la puissance moins un demi multipliée par d𝑢 par d𝑥. Mais, en réalité, 𝑢 est égal à un moins 𝑥 au carré. Ainsi, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est seulement moins deux 𝑥. Encore une fois, nous avons des deux à éliminer. Et notre expression d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 est moins 𝑥 sur la racine carrée d’un moins 𝑥 carré.

Notez que depuis que nous avons dit que 𝑦 était égale à la racine carrée d’un moins 𝑥 au carré, on aurait pu écrire cela comme d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 𝑥 sur 𝑦. Et c’est la même réponse que nous avons eu dans la première partie de cette question. Et, bien sûr, nous devons nous rappeler que 𝑦 ne peut pas être égal à zéro ici. Maintenant, cet exemple montre quelques points importants. Premièrement, même s’il était assez facile d’exprimer cette relation en tant que fonction explicite, il était plus simple de la dériver à l’aide de la dérivation implicite.

Et, en général, lorsque nous dérivons implicitement, nous pouvons utiliser la version suivante de la règle de chaîne. Ceci dit que la dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction de 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Il est vraiment utile de mettre en mémoire cette version de la règle de chaîne. Appliquons-la maintenant à un exemple plus compliqué.

Déterminer d𝑦 sur d𝑥 par dérivation implicite si moins 𝑒 de 𝑦 fois sin 𝑥 est égal à quatre 𝑥𝑦 plus deux 𝑥.

Pour dériver implicitement cette fonction, commençons par dériver les deux côtés de l’équation par rapport à 𝑥. Nous commençons par écrire ceci comme étant d sur d𝑥 de moins 𝑒 de 𝑦 fois le sin 𝑥 est égal à d sur d𝑥 de quatre 𝑥𝑦 plus deux 𝑥. Nous allons dériver chaque partie par rapport à 𝑥. Eh bien, la dérivée de deux 𝑥 est simple ; c’est simplement deux. Nous allons devoir utiliser la règle du produit combiné à la règle de la chaîne pour dériver quatre 𝑥𝑦 et moins 𝑒 de 𝑦 sin 𝑥. La version spéciale de la règle de chaîne dont nous avons besoin indique que la dérivée de 𝑓 de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et la règle du produit indique que la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 est égale à 𝑢 fois la dérivée de 𝑣, plus 𝑣 fois la dérivée de 𝑢.

Nous allons commencer par distinguer quatre 𝑥𝑦. Nous allons poser 𝑢 égal à quatre 𝑥 et 𝑣 égal à 𝑦. Alors, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est simplement quatre. La dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑦 qui est un fois d𝑦 sur d𝑥 qui est simplement d𝑦 sur d𝑥. 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 est alors quatre 𝑥 multiplié par d𝑦 sur d𝑥. Et 𝑣 multiplié par d𝑢 sur d𝑥 est égale à 𝑦 fois quatre. Et, par conséquent, le côté droit de notre équation est quatre 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 plus quatre 𝑦 plus deux. Répétons maintenant ce processus pour le moins 𝑒 à la puissance 𝑦 fois le sin 𝑥.

Cette fois-ci, posons 𝑢 est égal à moins 𝑒 à la puissance 𝑦 et 𝑣 est égal au sin 𝑥. La dérivée de sin 𝑥 est cos 𝑥. Ensuite, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de moins 𝑒 de 𝑦 par rapport à 𝑦, qui est moins 𝑒 de 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et ensuite, lorsque nous utilisons la règle du produit, nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 𝑒 de 𝑦 cos 𝑥 moins 𝑒 de 𝑦 sin 𝑥 d𝑦 sur d𝑥. Donc, notre équation est maintenant comme indiqué. Rappelez-vous, nous essayons de trouver une équation pour d𝑦 sur d𝑥. Nous allons donc réorganiser et faire de d𝑦 sur d𝑥 le sujet. Quand nous le faisons, nous voyons que moins 𝑒 aux 𝑦 cos 𝑥 moins quatre 𝑦 moins deux est égal à quatre 𝑥, plus 𝑒 au 𝑦 sin 𝑥 tout multiplié par d𝑦 sur d𝑥.

Maintenant, nous pouvons en fait prendre en compte moins un sur le côté gauche. Et puis, on divise par quatre 𝑥, plus 𝑒 au 𝑦 sin 𝑥. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 𝑒 de 𝑦 cos 𝑥 plus quatre 𝑦 plus deux sur quatre 𝑥, plus 𝑒 de 𝑦 sin 𝑥. Et, bien sûr, cette dérivée signifie lorsque le dénominateur n’est pas égal à zéro, lorsque quatre 𝑥, plus 𝑒 de 𝑦 sin 𝑥 n’est pas égal à zéro. Il est assez courant d’utiliser la dérivation implicite pour trouver l’équation d’une tangente à une courbe définie implicitement. Dans notre prochain exemple, nous verrons comment utiliser la dérivation implicite pour résoudre un problème de ce type.

L’équation 𝑦 au carré moins 24𝑥 au cube plus 24𝑥 est égal à zéro décrit une courbe dans le plan. 1) Détermine les coordonnées de deux points sur cette courbe, où 𝑥 est égal à moins un demi. 2) Détermine l’équation de la tangente aux points où 𝑥 est égal à moins un demi et la coordonnée 𝑦 est positive. 3) Détermine les coordonnées d’un autre point, s’il existe, où la tangente rencontre la courbe.

Pour la première partie, pour trouver les points où 𝑥 est égal à moins un demi, nous allons remplacer cette valeur de 𝑥 dans notre équation et résoudre pour 𝑦. C’est 𝑦 au carré moins 24 fois moins un demi au cube plus 24 fois moins un demi. Et c’est égal à zéro. Lorsque nous évaluons cela, nous obtenons 𝑦 au carré plus trois moins 12 égal à zéro ou 𝑦 carré moins neuf égal à zéro. Nous allons résoudre cette équation en ajoutant neuf des deux côtés.

Et notre dernière étape consiste à trouver la racine carrée des deux côtés de cette équation, sans oublier de prendre les racines carrées positives et négatives de neuf. La racine carrée de neuf est trois. Nous voyons donc que 𝑦 est égal à trois et moins trois, quand 𝑥 est égal à moins un demi. Sous forme de coordonnées, il s’agit de moins un demi, trois et moins un demi, moins trois.

Nous examinons maintenant la deuxième partie. Nous devons trouver l’équation de la tangente en un point où 𝑥 est égal à moins un demi et la coordonnée 𝑦 est positive. C’est la coordonnée moins un demi, trois. Cependant, nous devons d’abord trouver l’inclinaison de la tangente à la courbe. Ce sera la dérivée de l’équation pour la courbe évaluée à 𝑥 égale à moins un demi et à 𝑥 égale à trois. Nous allons donc dériver notre équation implicitement. C’est d𝑦 sur d𝑥 de 𝑦 carré moins 24𝑥, plus 24𝑥 est égal à d sur d𝑥 de zéro. La dérivée de 𝑦 carré est la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Il est deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. La dérivée de moins 24 𝑥 au cube est moins trois fois 24𝑥 au carré. C’est moins 72 au carré. La dérivée de 24𝑥 est 24. Et la dérivée de zéro est zéro.

Nous voyons donc que deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins 72𝑥 au carré plus 24 est égal à zéro. Nous avons besoin d’une équation pour d𝑦 sur d𝑥. Donc, nous allons réorganiser pour faire de d𝑦 sur d𝑥 le sujet. Nous ajoutons 72𝑥 au carré des deux côtés de cette équation et soustrayons 24. Ensuite, nous allons diviser par deux 𝑦. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 72𝑥 au carré moins 24 sur deux 𝑦, ce qui se simplifie en 36𝑥 au carré moins 12 sur 𝑦. Rappelez-vous, nous voulons trouver la pente de la tangente à la courbe de moins un demi, trois. Nous allons donc substituer 𝑥 égal à moins un demi et 𝑦 à trois dans l’équation de la dérivée. Lorsque nous le faisons, nous voyons que la pente de notre tangente est 36 fois moins un demi au carré moins 12 sur trois, ce qui est moins un.

Enfin, nous substituons ce que nous savons de notre tangente à l’équation d’une droite. Et nous obtenons 𝑦 moins trois égal à moins un fois 𝑥 moins moins un demi. En distribuant les parenthèses et en simplifiant puis en réorganisant pour 𝑦, nous obtenons 𝑦 est égal à cinq sur deux moins 𝑥.

Et maintenant, nous considérons la troisième partie. Nous devons trouver un point, s’il existe, où cette tangente rencontre à nouveau la courbe. Nous voulons donc résoudre simultanément les équations 𝑦 au carré moins 24𝑥 au cube plus 24𝑥 est égal à zéro et 𝑦 égal cinq sur deux moins 𝑥. Nous pouvons y parvenir en substituant 𝑦 est égal à cinq sur deux moins 𝑥 dans l’équation d’origine de la courbe. Cela nous donne cinq sur deux moins 𝑥 le tout au carré moins 24𝑥 au cube plus 24𝑥 est égal à zéro. En développant les parenthèses et en les multipliant par moins un, on aboutit à l’équation montrée.

Ensuite, nous pourrions résoudre ce problème en utilisant une calculatrice scientifique. Alternativement, nous savons que est 𝑥 égal à moins un demi est une racine de cette équation. Et nous pouvons donc factoriser 𝑥 plus un demi. Et nous pouvons le faire en utilisant une longue division ou des coefficients correspondants. La première étape vers l’égalisation des coefficients consisterait à écrire l’équation présentée. Et c’est en dehors du sujet de cette vidéo pour passer beaucoup de temps à effectuer, nous trouverions que 𝑎 est égale à 24, 𝑏 est moins 13 et 𝑐 est moins 25 sur deux. Et vous pouvez mettre la vidéo en pause ici si vous le souhaitez et voir si vous pouvez compléter cette étape vous-même.

Notre dernière étape consiste à résoudre l’équation du second degré 24𝑥 carré moins 13𝑥 moins 25 sur deux. Et nous pourrions le faire en utilisant la formule du discriminant ou en complétant le carré. Lorsque nous résolvons cela, nous voyons que 𝑥 est égale à moins un demi. Donc, c’est une racine double. Et 𝑥 est égale à 25 sur 24. Nous trouvons les coordonnées, donc nous substituons 𝑥 égale à 25 sur 24 dans l’équation cinq sur deux moins 𝑥. Et cela nous donne une valeur 𝑦 de 35 sur 24. Ainsi, la tangente avec l’équation 𝑦 est égale à cinq sur deux moins 𝑥 rencontre la courbe en moins un demi, trois et vingt-cinq vingt-quatrième, trente-cinq vingt-quatrième. Dans notre tout dernier exemple, nous verrons comment une dérivation implicite peut nous aider à trouver des dérivées d’ordre supérieur.

Étant donné que les deux sin 𝑦 moins cinq cos 𝑥 est égal à moins quatre, détermine la dérivée seconde de 𝑦 par dérivation implicite.

Pour trouver la dérivée seconde de 𝑦, parfois appelé 𝑦 double prime, nous allons avoir besoin d’effectuer la dérivation de notre fonction deux fois. Remarquez comment la fonction elle-même est exprimée implicitement en fonction de 𝑥. Nous allons donc utiliser la dérivation implicite et commencer par trouver la dérivée des deux côtés. Maintenant, la dérivée de moins quatre par rapport à 𝑥 est assez facile à calculer. C’est juste zéro. De même, on peut trouver la dérivée de moins cinq cos 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est cinq sin 𝑥. Mais qu’en est-il de la dérivée de deux sin 𝑦 par rapport à 𝑥 ? Nous utilisons ici une version spéciale de la règle de chaîne. Ceci dit que la dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.

De plus, la dérivée de deux sin 𝑦 par rapport à 𝑦 est deux cos 𝑦. Donc, notre équation est deux cos 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus cinq sin 𝑥. Et c’est égal à zéro. Nous pouvons trouver la dérivée première puis en soustrayant cinq sin 𝑥 des deux côtés de l’équation et en divisant par deux cos 𝑦. Rappelez-vous, cependant, nous cherchions à trouver la dérivée seconde. Donc, ici, nous allons avoir besoin d’utiliser la règle du quotient pour dériver moins cinq sin 𝑥 sur deux cos 𝑦. Selon notre notation, nous pouvons poser 𝑢 égal à moins cinq 𝑥 et 𝑣 égal à deux cos 𝑦. d𝑢 sur d𝑥 est moins cinq cos 𝑥. Ensuite, puisque la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑦 est moins deux sin 𝑦, nous pouvons voir que d𝑣 sur d𝑥 est moins deux sin 𝑦 d𝑦 sur d𝑥.

Nous substituons chacun de ceux-ci dans la formule pour la règle du quotient. Nous simplifions ensuite et nous repérons que d𝑦 sur d𝑥 est moins cinq sin 𝑥 sur deux cos 𝑦. Nous pouvons donc substituer cela à la formule de la dérivée seconde. Pour simplifier un peu, on multiplie le numérateur et le dénominateur de notre fraction par deux cos 𝑦. Et nous allons chercher à simplifier un peu plus. En distribuant ce moins un, nous pouvons voir que la dérivée seconde de notre fonction est de 25 sin carré 𝑥 sin 𝑦 moins 10 cos 𝑥 cos carré 𝑦 le tout sur cos au cube 𝑦. Et cette formule est valable aussi longtemps que cos 𝑦 n’est pas égal à zéro.

Dans cette vidéo, nous avons vu que lorsqu’une fonction définie implicitement est donnée, nous pouvons utiliser une version spéciale de la règle de chaîne pour la dériver. La dérivée d’une fonction dans 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Nous avons également vu que s’il était possible de réécrire une relation sous forme de fonction explicite, il était parfois plus simple d’utiliser la dérivation implicite. Nous avons vu que lorsque nous dérivons implicitement, nous obtenons une expression d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Nous avons également vu que nous pouvons trouver des dérivées d’ordre supérieur en utilisant une dérivation implicite. Et dans ces cas, nous devrons substituer des expressions aux dérivées d’ordre inférieur pour nous aider à simplifier les expressions.

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