Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă utiliser la dĂ©rivation implicite pour trouver la dĂ©rivĂ©e des fonctions exprimĂ©es implicitement comme des fonctions de đ„. La majoritĂ© des problĂšmes de dĂ©rivation que vous avez rencontrĂ©s jusquâĂ prĂ©sent impliquaient des fonctions dĂ©finies explicitement comme des fonctions de đ„, telles que đŠ Ă©gale trois carrĂ© sinus đ„. Dans cette vidĂ©o, nous allons explorer comment la dĂ©rivation implicite, qui est une extension de la formule de la formule de la chaine, nous permet de dĂ©river facilement des Ă©quations telles que lâĂ©quation cartĂ©sienne dâun cercle, đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© Ă©gale un par exemple. Nous nous pencherons Ă©galement sur ce que cela implique pour la dĂ©rivĂ©e seconde et les dĂ©rivĂ©es dâordre supĂ©rieur.
La formule de la chaine nous permet de dĂ©river les fonctions composĂ©es. Elle stipule que pour deux fonctions dĂ©rivables, đ et â, telles que đ est la fonction composĂ©e đ de â de đ„, la dĂ©rivĂ©e de đ de est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de â de đ„ multipliĂ©e par la dĂ©rivĂ©e de đ Ă©valuĂ©e en â de đ„. Il est souvent plus intuitif de lâĂ©crire comme dđŠ sur dđ„ Ă©gal dđą sur dđ„ fois dđŠ sur dđą, oĂč đŠ est une fonction de đą et đą est une fonction de đ„. Voyons comment la formule de la chaine peut nous aider Ă trouver la dĂ©rivĂ©e dâune fonction implicite.
Soit lâĂ©quation đ„ au carrĂ© plus đŠ au carrĂ© Ă©gale un. En utilisant la dĂ©rivation implicite, trouvez une expression de dđŠ sur dđ„ en fonction de đ„ et đŠ. Et il y a une deuxiĂšme partie Ă cette question. Pour le demi-cercle oĂč đŠ est supĂ©rieur ou Ă©gal Ă zĂ©ro, exprimez đŠ explicitement en fonction de đ„ puis dĂ©rivez cette expression pour obtenir une expression de dđŠ sur dđ„ en fonction de đ„.
Nous allons commencer par la premiĂšre partie. Pour dĂ©river implicitement la fonction, nous commençons par dĂ©river les deux membres de lâĂ©quation par rapport Ă đ„. Cela peut probablement sembler un peu Ă©trange, mais restez avec moi. La dĂ©rivĂ©e de đ„ au carrĂ© plus đŠ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est alors Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de un par rapport Ă đ„. Et nous devons absolument dĂ©river les deux membres de lâĂ©quation. On dĂ©rive alors ce que lâon peut. Il est assez simple de dĂ©river un par rapport Ă đ„. Cela donne tout simplement zĂ©ro. Mais comment peut-on dĂ©river đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© ?
Eh bien, la dĂ©rivĂ©e de đ„ au carrĂ© est deux đ„. Mais la dĂ©rivĂ©e de đŠ au carrĂ© est un peu plus Ă©trange. On sait que đŠ au carrĂ© est une fonction de đŠ. Et, Ă son tour, đŠ est une fonction de đ„. Donc ici, on peut utiliser la formule de la chaine. La dĂ©rivĂ©e de đŠ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de đŠ au carrĂ© par rapport Ă đŠ multipliĂ©e par la dĂ©rivĂ©e de đŠ par rapport Ă đ„. La dĂ©rivĂ©e de đŠ au carrĂ© par rapport Ă đŠ est deux . Et la dĂ©rivĂ©e de đŠ par rapport Ă đ„ est simplement dđŠ sur dđ„. Donc lâĂ©quation devient maintenant deux đ„ plus deux đŠ dđŠ sur dđ„ Ă©gal zĂ©ro.
On rappelle que lâon cherche une expression de la dĂ©rivĂ©e. On isole donc dđŠ sur dđ„ en soustrayant dâabord deux đ„ aux deux membres de lâĂ©quation. Cela donne deux đŠ dđŠ sur dđ„ Ă©gale moins deux đ„. On divise ensuite par deux đŠ. Et on voit que dđŠ sur dđ„ Ă©gale moins deux đ„ divisĂ© par deux đŠ. Les facteurs deux se simplifient. Et nous avons trouvĂ© une expression de dđŠ sur dđ„ en fonction de đ„ et đŠÂ : moins sur đŠ.
Pour la deuxiĂšme partie de cette question, nous revenons Ă lâĂ©quation dâorigine. Et nous commençons par isoler đŠ dans lâĂ©quation. Cela revient Ă exprimer đŠ explicitement en fonction de đ„. On peut soustraire đ„ au carrĂ© aux deux membres. Puis on prend la racine carrĂ©e des deux membres de lâĂ©quation. On doit gĂ©nĂ©ralement considĂ©rer la racine carrĂ©e positive et la nĂ©gative. Ici cependant, il est indiquĂ© que appartient au demi-cercle tel que đŠ est supĂ©rieur ou Ă©gal Ă zĂ©ro. On ne conserve donc que la racine carrĂ©e positive. Et nous obtenons une fonction explicite en fonction de đ„.
En lâĂ©crivant maintenant comme un moins đ„ carrĂ© puissance un demi, on voit que lâon peut utiliser la formule gĂ©nĂ©rale de la dĂ©rivĂ©e dâune puissance. Cela signifie que si đą est une fonction de đ„, la dĂ©rivĂ©e de đą puissance đ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă đ fois đą puissance đ moins un fois la dĂ©rivĂ©e de đą par rapport Ă đ„. Cette formule est bien sĂ»r valable lorsque đ est un nombre rĂ©el. Donc la dĂ©rivĂ©e de un moins đ„ carrĂ© puissance un demi est Ă©gale Ă un demi fois un moins đ„ carrĂ© puissance moins un demi fois dđą sur dđ„. Mais, en fait, đą est Ă©gale Ă un moins đ„ carrĂ©. Donc la dĂ©rivĂ©e de đą par rapport Ă đ„ est simplement moins deux đ„. On peut Ă nouveau simplifier les facteurs deux. Et notre expression dđŠ sur dđ„ en fonction de đ„ est moins đ„ sur racine carrĂ©e de un moins đ„ carrĂ©.
Notez que comme đŠ Ă©gale racine carrĂ©e de un moins đ„ carrĂ©, on aurait pu Ă©crire dđŠ sur dđ„ Ă©gale moins đ„ sur đŠ. Et il sâagit de la mĂȘme rĂ©ponse que nous avions obtenue dans la premiĂšre partie de cette question. Nous devons cependant rappeler que đŠ ne peut pas ĂȘtre Ă©gal Ă zĂ©ro ici. Cet exemple montre quelques points importants. Tout dâabord, mĂȘme sâil Ă©tait assez facile dâexprimer cette relation comme une fonction explicite, il Ă©tait plus simple de la dĂ©river en utilisant la dĂ©rivation implicite.
Et en gĂ©nĂ©ral, lorsque nous dĂ©rivons implicitement, nous pouvons utiliser la version suivante de la formule de la chaine. Elle stipule que la dĂ©rivĂ©e dâune fonction de đŠ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de cette fonction de đŠ par rapport Ă đŠ multipliĂ©e par dđŠ sur dđ„. Il est vraiment utile de mĂ©moriser cette version de la formule de la chaine. Appliquons-la maintenant Ă un exemple plus compliquĂ©.
DĂ©terminez dđŠ sur dđ„ en dĂ©rivant implicitement moins exponentielle đŠ sinus de đ„ Ă©gal quatre đ„đŠ plus deux đ„.
Pour dĂ©river implicitement cette Ă©quation, nous commençons par dĂ©river les deux membres de lâĂ©quation par rapport Ă đ„. On Ă©crit alors d sur dđ„ de moins exponentielle sinus đ„ Ă©gale d sur dđ„ de quatre đ„đŠ plus deux đ„. DĂ©rivons chaque terme par rapport Ă đ„. La dĂ©rivĂ©e de deux đ„ est simplement Ă©gale Ă deux. On doit combiner la formule de la dĂ©rivĂ©e dâun produit et la formule de la chaine pour dĂ©river quatre đ„đŠ et moins exponentielle đŠ sinus đ„. La version adaptĂ©e de la formule de la chaine dont on a besoin stipule que la dĂ©rivĂ©e de đ de đŠ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de par rapport Ă đŠ fois dđŠ sur dđ„. Et la formule de la dĂ©rivĂ©e dâun produit stipule que la dĂ©rivĂ©e de đą đŁ est Ă©gale Ă đą fois la dĂ©rivĂ©e de đŁ plus đŁ fois la dĂ©rivĂ©e de đą.
Nous commençons par dĂ©river quatre đ„đŠ. Soit đą Ă©gale quatre đ„ et đŁ Ă©gale đŠ. Alors la dĂ©rivĂ©e de đą par rapport Ă đ„ est simplement quatre. La dĂ©rivĂ©e de đŁ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de đŠ par rapport Ă đŠ, soit un, fois dđŠ sur dđ„. đą fois dđŁ sur dđ„ est alors Ă©gal Ă quatre đ„ fois dđŠ sur dđ„. Et đŁ fois dđą sur dđ„ est Ă©gal Ă đŠ fois quatre. Par consĂ©quent, le membre droit de lâĂ©quation est quatre đ„ dđŠ sur dđ„ plus quatre đŠ plus deux. RĂ©pĂ©tons maintenant ce processus pour moins exponentielle đŠ fois sinus đ„.
Cette fois, soit đą Ă©gale moins exponentielle đŠ et đŁ Ă©gale sinus đ„. La dĂ©rivĂ©e de sinus đ„ est cosinus đ„. Et la dĂ©rivĂ©e de đą par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de moins exponentielle đŠ par rapport Ă đŠ, qui est moins exponentielle , fois dđŠ sur dđ„. Et lorsque lâon utilise la formule de la dĂ©rivĂ©e dâun produit, on voit que dđŠ sur dđ„ Ă©gale moins exponentielle đŠ cosinus đ„ moins exponentielle đŠ sinus đ„ dđŠ sur dđ„. LâĂ©quation est donc maintenant celle-ci. On rappelle que lâon essaie de trouver une expression de dđŠ sur dđ„. On va donc rĂ©organiser et isoler dđŠ sur dđ„. On voit alors que moins exponentielle đŠ cosinus đ„ moins quatre đŠ moins deux Ă©gale quatre đ„ plus exponentielle đŠ sinus đ„, le tout multipliĂ© par dđŠ sur dđ„.
On peut maintenant factoriser par moins un dans le membre gauche. Puis on divise par quatre đ„ plus exponentielle đŠ sinus đ„. Et nous trouvons que dđŠ sur dđ„ est Ă©gale Ă moins exponentielle đŠ cosinus đ„ plus quatre đŠ plus deux sur quatre đ„ plus exponentielle đŠ sinus đ„. Bien sĂ»r, cette dĂ©rivĂ©e nâest dĂ©finie que lorsque le dĂ©nominateur nâest pas Ă©gal Ă zĂ©ro, câest-Ă -dire lorsque quatre đ„ plus exponentielle đŠ sinus đ„ est diffĂ©rent de zĂ©ro. Il est assez frĂ©quent dâutiliser la dĂ©rivation implicite pour trouver lâĂ©quation dâune tangente Ă une courbe dĂ©finie implicitement. Dans lâexemple suivant, nous allons voir comment utiliser la dĂ©rivation implicite pour rĂ©soudre un problĂšme de ce type.
LâĂ©quation đŠ carrĂ© moins 24đ„ au cube plus 24đ„ Ă©gal zĂ©ro dĂ©crit une courbe dans le plan. 1) Trouvez les coordonnĂ©es de deux points sur cette courbe oĂč đ„ est Ă©gale Ă moins un demi. 2) DĂ©terminez lâĂ©quation de la tangente au points oĂč đ„ est Ă©gale Ă moins un demi et oĂč lâordonnĂ©e đŠ est positive. 3) Trouvez les coordonnĂ©es dâun autre point, sâil existe, oĂč la tangente rencontre la courbe.
Pour la premiĂšre partie, pour trouver les points oĂč đ„ est Ă©gal Ă moins un sur 2, nous allons remplacer par cette valeur de đ„ dans lâĂ©quation et dĂ©terminer đŠ. Cela donne đŠ carrĂ© moins 24 fois moins un demi au cube plus 24 fois moins un demi. Et cela est Ă©gal Ă zĂ©ro. Lorsque lâon effectue les calculs, on obtient đŠ carrĂ© plus trois moins 12 Ă©gal zĂ©ro, soit đŠ carrĂ© moins neuf Ă©gale zĂ©ro. On rĂ©sout cette Ă©quation en ajoutant neuf aux deux membres.
Et la derniĂšre Ă©tape consiste Ă prendre la racine carrĂ©e des deux membres de cette Ă©quation, en se rappelant de considĂ©rer les racines carrĂ©es positive et nĂ©gative de neuf. La racine carrĂ©e de neuf est trois. Nous trouvons donc que đŠ est Ă©gale Ă trois ou moins trois lorsque đ„ Ă©gale moins un demi. En termes de coordonnĂ©es, ce sont les points moins un demi, trois et moins un demi, moins trois.
Nous abordons maintenant la deuxiĂšme partie. Nous devons trouver lâĂ©quation de la tangente en un point oĂč đ„ est Ă©gal Ă moins un demi et oĂč lâordonnĂ©e đŠ est positive. Il sâagit du point moins un demi, trois. Nous devons dâabord trouver le coefficient directeur de la tangente Ă la courbe. Il est Ă©gal Ă la dĂ©rivĂ©e de lâĂ©quation de la courbe Ă©valuĂ©e en đ„ Ă©gale moins un demi et đŠ Ă©gale trois. Nous allons donc dĂ©river implicitement lâĂ©quation. Câest-Ă -dire d sur dđ„ de đŠ carrĂ© moins 24đ„ cube plus 24đ„ Ă©gale d sur dđ„ de zĂ©ro. La dĂ©rivĂ©e de đŠ carrĂ© est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de đŠ carrĂ© par rapport Ă đŠ fois la dĂ©rivĂ©e de đŠ par rapport Ă đ„. Soit deux đŠ dđŠ sur dđ„. La dĂ©rivĂ©e de moins 24đ„ cube est trois fois moins 24đ„ carrĂ©. Cela donne moins 72đ„ carrĂ©. La dĂ©rivĂ©e de 24đ„ est 24. Et la dĂ©rivĂ©e de zĂ©ro est zĂ©ro.
On voit alors que deux đŠ dđŠ sur dđ„ moins 72đ„ carrĂ© plus 24 est Ă©gal Ă zĂ©ro. On cherche une Ă©quation de dđŠ sur dđ„. On rĂ©organise les termes alors pour isoler dđŠ sur dđ„. On ajoute 72đ„ carrĂ© aux deux membres de cette Ă©quation et on soustrait 24. On divise ensuite par deux đŠ. Et on trouve que dđŠ sur dđ„ est Ă©gal Ă 72đ„ carrĂ© moins 24 sur deux đŠ, ce qui se simplifie en 36đ„ carrĂ© moins 12 sur đŠ. On rappelle que lâon recherche le coefficient directeur de la tangente Ă la courbe en moins un demi, trois. On remplace alors đ„ par moins un demi et đŠ par trois dans lâĂ©quation de la dĂ©rivĂ©e. On voit alors que le coefficient directeur de la tangente est 36 fois moins un demi au carrĂ© moins 12 le tout sur trois, ce qui est Ă©gal Ă moins un.
Enfin, on remplace par les informations que lâon a obtenues sur la tangente dans lâĂ©quation dâune droite. Et on obtient đŠ moins trois Ă©gale moins un fois đ„ moins moins un demi. En dĂ©veloppant et en simplifiant puis en isolant đŠ, nous obtenons đŠ Ă©gale cinq sur deux moins đ„.
Et nous pouvons maintenant passer Ă la troisiĂšme partie. Nous devons trouver un point, sâil existe, oĂč cette tangente rencontre Ă nouveau la courbe. Nous cherchons donc Ă rĂ©soudre le systĂšme dâĂ©quations đŠ carrĂ© moins 24đ„ cube plus 24đ„ Ă©gal zĂ©ro et đŠ Ă©gale cinq sur deux moins đ„. On peut complĂ©ter cela en remplaçant đŠ par cinq sur deux moins đ„ dans lâĂ©quation initiale de la courbe. Cela donne cinq sur deux moins đ„ au carrĂ© moins 24đ„ cube plus 24đ„ Ă©gal zĂ©ro. En dĂ©veloppant les parenthĂšses et en multipliant par moins un, on obtient cette Ă©quation.
Nous pourrions ensuite rĂ©soudre cette Ă©quation en utilisant une calculatrice scientifique. Alternativement, nous savons que đ„ Ă©gale moins un demi est une racine de cette Ă©quation. Et nous pouvons donc la factoriser par đ„ plus un demi. Nous pouvons faire cela en utilisant une division euclidienne ou par identification des coefficients. La premiĂšre Ă©tape pour identifier les coefficients serait dâĂ©crire cette Ă©quation. Et bien que le fait de passer beaucoup de temps Ă identifier ces coefficients sort du cadre de cette vidĂ©o, ce calcul nous permet de trouver que đ est Ă©gal Ă 24, đ est Ă©gal Ă moins 13 et đ est Ă©gal Ă moins 25 sur deux. NâhĂ©sitez pas Ă mettre la vidĂ©o en pause si vous le souhaitez pour voir si vous arrivez Ă effectuer cette Ă©tape par vous-mĂȘme.
La derniĂšre Ă©tape consiste Ă rĂ©soudre lâĂ©quation du second degrĂ© 24đ„ carrĂ© moins 13đ„ moins 25 sur deux. Et nous pouvons le faire en utilisant la formule des racines du second degrĂ© ou en Ă©crivant lâĂ©quation sous forme canonique. Lorsque nous la rĂ©solvons, nous trouvons đ„ Ă©gale moins un demi. Il sâagit donc dâune racine double. Et đ„ Ă©gale 25 sur 24. Nous recherchons les coordonnĂ©es, donc on remplace đ„ par 25 sur 24 dans lâĂ©quation cinq sur deux moins đ„. Et cela donne une valeur đŠ de 35 sur 24. Par consĂ©quent, la tangente dâĂ©quation đŠ Ă©gale cinq sur deux moins đ„ rencontre la courbe en moins un demi, trois et en vingt-cinq sur vingt-quatre, trente-cinq sur vingt-quatre. Dans le dernier exemple, nous allons voir comment la dĂ©rivation implicite peut nous aider Ă dĂ©terminer des dĂ©rivĂ©es dâordre supĂ©rieur.
Sachant que deux sinus đŠ moins cinq cosinus đ„ est Ă©gal Ă moins quatre, dĂ©terminez la dĂ©rivĂ©e seconde de đŠ par dĂ©rivation implicite.
Pour trouver la dĂ©rivĂ©e seconde de đŠ, parfois appelĂ©e đŠ double prime, nous allons devoir dĂ©river notre Ă©quation deux fois. Remarquez comment la fonction elle-mĂȘme est exprimĂ©e implicitement par des fonctions de đ„. Nous allons donc utiliser la dĂ©rivation implicite en commençant par calculer la dĂ©rivĂ©e des deux membres. La dĂ©rivĂ©e de moins quatre par rapport Ă đ„ est assez facile Ă calculer. Elle est simplement Ă©gale Ă zĂ©ro. De mĂȘme, on peut trouver la dĂ©rivĂ©e de moins cinq cosinus đ„ par rapport Ă đ„. Elle est Ă©gale Ă cinq sinus đ„. Mais quâen est-il de la dĂ©rivĂ©e de deux sinus đŠ par rapport Ă đ„ ? On utilise ici la version spĂ©ciale de la formule de la dĂ©rivĂ©e dâune composĂ©e. Elle stipule que la dĂ©rivĂ©e dâune fonction de đŠ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de cette fonction par rapport Ă đŠ fois dđŠ sur dđ„.
La dĂ©rivĂ©e de deux sinus đŠ par rapport Ă đŠ est deux cosinus đŠ. Donc le membre gauche est deux cosinus đŠ dđŠ sur dđ„ plus cinq sinus đ„. Et il est Ă©gal Ă zĂ©ro. On peut alors trouver la dĂ©rivĂ©e premiĂšre en soustrayant cinq sinus đ„ des deux membres de lâĂ©quation et en divisant par deux cosinus đŠ. On rappelle cependant que lâon cherche la dĂ©rivĂ©e seconde. On va donc devoir utiliser la formule de la dĂ©rivĂ©e dâun quotient pour dĂ©river moins cinq sinus đ„ sur deux cosinus đŠ. En accord avec cette notation, on dĂ©finit đą Ă©gale moins cinq sinus đ„ et đŁ Ă©gale deux cosinus đŠ. dđą sur dđ„ est moins cinq cosinus đ„. Ensuite, comme la dĂ©rivĂ©e de đŁ par rapport Ă đŠ est moins deux sinus đŠ, on peut voir que dđŁ sur dđ„ est Ă©gal Ă moins deux sinus đŠ dđŠ sur dđ„.
On remplace ces expressions dans la formule de la dĂ©rivĂ©e dâun quotient. On simplifie et on rappelle que dđŠ sur dđ„ Ă©gale moins cinq sinus đ„ sur deux cosinus đŠ. On peut donc la remplacer dans la formule de la dĂ©rivĂ©e seconde. Pour simplifier cela, on multiplie le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur de la fraction par deux cosinus đŠ. Et on essaie de simplifier davantage. En distribuant le moins un, nous trouvons que la dĂ©rivĂ©e seconde de la fonction est 25 sinus carrĂ© đ„ sinus đŠ moins 10 cosinus đ„ cosinus carrĂ© đŠ, le tout sur quatre cosinus cube đŠ. Et cette formule est dĂ©finie tant que cosinus đŠ nâest pas Ă©gal Ă zĂ©ro.
Dans cette vidĂ©o, nous avons appris que lorsquâune fonction est dĂ©finie implicitement, nous pouvons utiliser une version spĂ©ciale de la formule de la dĂ©rivĂ©e dâune composĂ©e pour la dĂ©river. La dĂ©rivĂ©e dâune fonction de đŠ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă la dĂ©rivĂ©e de cette fonction de đŠ par rapport Ă đŠ fois dđŠ sur dđ„. Nous avons Ă©galement vu que mĂȘme sâil est possible de rĂ©Ă©crire une relation comme une fonction explicite, il est parfois plus simple dâutiliser la dĂ©rivation implicite. On a vu Ă©galement que lorsque nous dĂ©rivons implicitement, nous pouvons obtenir une expression de dđŠ sur dđ„ en fonction de đ„ et đŠ. Nous avons enfin vu que nous pouvons trouver des dĂ©rivĂ©es dâordre supĂ©rieur en utilisant la dĂ©rivation implicite. Dans ce cas, nous devons remplacer les expressions des dĂ©rivĂ©es dâordre infĂ©rieur pour simplifier les expressions.