Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation implicite pour trouver la dérivée des fonctions exprimées implicitement comme des fonctions de 𝑥. La majorité des problèmes de dérivation que vous avez rencontrés jusqu’à présent impliquaient des fonctions définies explicitement comme des fonctions de 𝑥, telles que 𝑦 égale trois carré sinus 𝑥. Dans cette vidéo, nous allons explorer comment la dérivation implicite, qui est une extension de la formule de la formule de la chaine, nous permet de dériver facilement des équations telles que l’équation cartésienne d’un cercle, 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale un par exemple. Nous nous pencherons également sur ce que cela implique pour la dérivée seconde et les dérivées d’ordre supérieur.
La formule de la chaine nous permet de dériver les fonctions composées. Elle stipule que pour deux fonctions dérivables, 𝑔 et ℎ, telles que 𝑓 est la fonction composée 𝑔 de ℎ de 𝑥, la dérivée de 𝑓 de est égale à la dérivée de ℎ de 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑔 évaluée en ℎ de 𝑥. Il est souvent plus intuitif de l’écrire comme d𝑦 sur d𝑥 égal d𝑢 sur d𝑥 fois d𝑦 sur d𝑢, où 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥. Voyons comment la formule de la chaine peut nous aider à trouver la dérivée d’une fonction implicite.
Soit l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale un. En utilisant la dérivation implicite, trouvez une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Et il y a une deuxième partie à cette question. Pour le demi-cercle où 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, exprimez 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥 puis dérivez cette expression pour obtenir une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥.
Nous allons commencer par la première partie. Pour dériver implicitement la fonction, nous commençons par dériver les deux membres de l’équation par rapport à 𝑥. Cela peut probablement sembler un peu étrange, mais restez avec moi. La dérivée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est alors égale à la dérivée de un par rapport à 𝑥. Et nous devons absolument dériver les deux membres de l’équation. On dérive alors ce que l’on peut. Il est assez simple de dériver un par rapport à 𝑥. Cela donne tout simplement zéro. Mais comment peut-on dériver 𝑥 carré plus 𝑦 carré ?
Eh bien, la dérivée de 𝑥 au carré est deux 𝑥. Mais la dérivée de 𝑦 au carré est un peu plus étrange. On sait que 𝑦 au carré est une fonction de 𝑦. Et, à son tour, 𝑦 est une fonction de 𝑥. Donc ici, on peut utiliser la formule de la chaine. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 multipliée par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 est deux . Et la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est simplement d𝑦 sur d𝑥. Donc l’équation devient maintenant deux 𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 égal zéro.
On rappelle que l’on cherche une expression de la dérivée. On isole donc d𝑦 sur d𝑥 en soustrayant d’abord deux 𝑥 aux deux membres de l’équation. Cela donne deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 égale moins deux 𝑥. On divise ensuite par deux 𝑦. Et on voit que d𝑦 sur d𝑥 égale moins deux 𝑥 divisé par deux 𝑦. Les facteurs deux se simplifient. Et nous avons trouvé une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦 : moins sur 𝑦.
Pour la deuxième partie de cette question, nous revenons à l’équation d’origine. Et nous commençons par isoler 𝑦 dans l’équation. Cela revient à exprimer 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥. On peut soustraire 𝑥 au carré aux deux membres. Puis on prend la racine carrée des deux membres de l’équation. On doit généralement considérer la racine carrée positive et la négative. Ici cependant, il est indiqué que appartient au demi-cercle tel que 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. On ne conserve donc que la racine carrée positive. Et nous obtenons une fonction explicite en fonction de 𝑥.
En l’écrivant maintenant comme un moins 𝑥 carré puissance un demi, on voit que l’on peut utiliser la formule générale de la dérivée d’une puissance. Cela signifie que si 𝑢 est une fonction de 𝑥, la dérivée de 𝑢 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑢 puissance 𝑛 moins un fois la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Cette formule est bien sûr valable lorsque 𝑛 est un nombre réel. Donc la dérivée de un moins 𝑥 carré puissance un demi est égale à un demi fois un moins 𝑥 carré puissance moins un demi fois d𝑢 sur d𝑥. Mais, en fait, 𝑢 est égale à un moins 𝑥 carré. Donc la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est simplement moins deux 𝑥. On peut à nouveau simplifier les facteurs deux. Et notre expression d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 est moins 𝑥 sur racine carrée de un moins 𝑥 carré.
Notez que comme 𝑦 égale racine carrée de un moins 𝑥 carré, on aurait pu écrire d𝑦 sur d𝑥 égale moins 𝑥 sur 𝑦. Et il s’agit de la même réponse que nous avions obtenue dans la première partie de cette question. Nous devons cependant rappeler que 𝑦 ne peut pas être égal à zéro ici. Cet exemple montre quelques points importants. Tout d’abord, même s’il était assez facile d’exprimer cette relation comme une fonction explicite, il était plus simple de la dériver en utilisant la dérivation implicite.
Et en général, lorsque nous dérivons implicitement, nous pouvons utiliser la version suivante de la formule de la chaine. Elle stipule que la dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction de 𝑦 par rapport à 𝑦 multipliée par d𝑦 sur d𝑥. Il est vraiment utile de mémoriser cette version de la formule de la chaine. Appliquons-la maintenant à un exemple plus compliqué.
Déterminez d𝑦 sur d𝑥 en dérivant implicitement moins exponentielle 𝑦 sinus de 𝑥 égal quatre 𝑥𝑦 plus deux 𝑥.
Pour dériver implicitement cette équation, nous commençons par dériver les deux membres de l’équation par rapport à 𝑥. On écrit alors d sur d𝑥 de moins exponentielle sinus 𝑥 égale d sur d𝑥 de quatre 𝑥𝑦 plus deux 𝑥. Dérivons chaque terme par rapport à 𝑥. La dérivée de deux 𝑥 est simplement égale à deux. On doit combiner la formule de la dérivée d’un produit et la formule de la chaine pour dériver quatre 𝑥𝑦 et moins exponentielle 𝑦 sinus 𝑥. La version adaptée de la formule de la chaine dont on a besoin stipule que la dérivée de 𝑓 de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et la formule de la dérivée d’un produit stipule que la dérivée de 𝑢 𝑣 est égale à 𝑢 fois la dérivée de 𝑣 plus 𝑣 fois la dérivée de 𝑢.
Nous commençons par dériver quatre 𝑥𝑦. Soit 𝑢 égale quatre 𝑥 et 𝑣 égale 𝑦. Alors la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est simplement quatre. La dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑦, soit un, fois d𝑦 sur d𝑥. 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est alors égal à quatre 𝑥 fois d𝑦 sur d𝑥. Et 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est égal à 𝑦 fois quatre. Par conséquent, le membre droit de l’équation est quatre 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 plus quatre 𝑦 plus deux. Répétons maintenant ce processus pour moins exponentielle 𝑦 fois sinus 𝑥.
Cette fois, soit 𝑢 égale moins exponentielle 𝑦 et 𝑣 égale sinus 𝑥. La dérivée de sinus 𝑥 est cosinus 𝑥. Et la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de moins exponentielle 𝑦 par rapport à 𝑦, qui est moins exponentielle , fois d𝑦 sur d𝑥. Et lorsque l’on utilise la formule de la dérivée d’un produit, on voit que d𝑦 sur d𝑥 égale moins exponentielle 𝑦 cosinus 𝑥 moins exponentielle 𝑦 sinus 𝑥 d𝑦 sur d𝑥. L’équation est donc maintenant celle-ci. On rappelle que l’on essaie de trouver une expression de d𝑦 sur d𝑥. On va donc réorganiser et isoler d𝑦 sur d𝑥. On voit alors que moins exponentielle 𝑦 cosinus 𝑥 moins quatre 𝑦 moins deux égale quatre 𝑥 plus exponentielle 𝑦 sinus 𝑥, le tout multiplié par d𝑦 sur d𝑥.
On peut maintenant factoriser par moins un dans le membre gauche. Puis on divise par quatre 𝑥 plus exponentielle 𝑦 sinus 𝑥. Et nous trouvons que d𝑦 sur d𝑥 est égale à moins exponentielle 𝑦 cosinus 𝑥 plus quatre 𝑦 plus deux sur quatre 𝑥 plus exponentielle 𝑦 sinus 𝑥. Bien sûr, cette dérivée n’est définie que lorsque le dénominateur n’est pas égal à zéro, c’est-à-dire lorsque quatre 𝑥 plus exponentielle 𝑦 sinus 𝑥 est différent de zéro. Il est assez fréquent d’utiliser la dérivation implicite pour trouver l’équation d’une tangente à une courbe définie implicitement. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la dérivation implicite pour résoudre un problème de ce type.
L’équation 𝑦 carré moins 24𝑥 au cube plus 24𝑥 égal zéro décrit une courbe dans le plan. 1) Trouvez les coordonnées de deux points sur cette courbe où 𝑥 est égale à moins un demi. 2) Déterminez l’équation de la tangente au points où 𝑥 est égale à moins un demi et où l’ordonnée 𝑦 est positive. 3) Trouvez les coordonnées d’un autre point, s’il existe, où la tangente rencontre la courbe.
Pour la première partie, pour trouver les points où 𝑥 est égal à moins un sur 2, nous allons remplacer par cette valeur de 𝑥 dans l’équation et déterminer 𝑦. Cela donne 𝑦 carré moins 24 fois moins un demi au cube plus 24 fois moins un demi. Et cela est égal à zéro. Lorsque l’on effectue les calculs, on obtient 𝑦 carré plus trois moins 12 égal zéro, soit 𝑦 carré moins neuf égale zéro. On résout cette équation en ajoutant neuf aux deux membres.
Et la dernière étape consiste à prendre la racine carrée des deux membres de cette équation, en se rappelant de considérer les racines carrées positive et négative de neuf. La racine carrée de neuf est trois. Nous trouvons donc que 𝑦 est égale à trois ou moins trois lorsque 𝑥 égale moins un demi. En termes de coordonnées, ce sont les points moins un demi, trois et moins un demi, moins trois.
Nous abordons maintenant la deuxième partie. Nous devons trouver l’équation de la tangente en un point où 𝑥 est égal à moins un demi et où l’ordonnée 𝑦 est positive. Il s’agit du point moins un demi, trois. Nous devons d’abord trouver le coefficient directeur de la tangente à la courbe. Il est égal à la dérivée de l’équation de la courbe évaluée en 𝑥 égale moins un demi et 𝑦 égale trois. Nous allons donc dériver implicitement l’équation. C’est-à-dire d sur d𝑥 de 𝑦 carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égale d sur d𝑥 de zéro. La dérivée de 𝑦 carré est égale à la dérivée de 𝑦 carré par rapport à 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. La dérivée de moins 24𝑥 cube est trois fois moins 24𝑥 carré. Cela donne moins 72𝑥 carré. La dérivée de 24𝑥 est 24. Et la dérivée de zéro est zéro.
On voit alors que deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins 72𝑥 carré plus 24 est égal à zéro. On cherche une équation de d𝑦 sur d𝑥. On réorganise les termes alors pour isoler d𝑦 sur d𝑥. On ajoute 72𝑥 carré aux deux membres de cette équation et on soustrait 24. On divise ensuite par deux 𝑦. Et on trouve que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 72𝑥 carré moins 24 sur deux 𝑦, ce qui se simplifie en 36𝑥 carré moins 12 sur 𝑦. On rappelle que l’on recherche le coefficient directeur de la tangente à la courbe en moins un demi, trois. On remplace alors 𝑥 par moins un demi et 𝑦 par trois dans l’équation de la dérivée. On voit alors que le coefficient directeur de la tangente est 36 fois moins un demi au carré moins 12 le tout sur trois, ce qui est égal à moins un.
Enfin, on remplace par les informations que l’on a obtenues sur la tangente dans l’équation d’une droite. Et on obtient 𝑦 moins trois égale moins un fois 𝑥 moins moins un demi. En développant et en simplifiant puis en isolant 𝑦, nous obtenons 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥.
Et nous pouvons maintenant passer à la troisième partie. Nous devons trouver un point, s’il existe, où cette tangente rencontre à nouveau la courbe. Nous cherchons donc à résoudre le système d’équations 𝑦 carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égal zéro et 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥. On peut compléter cela en remplaçant 𝑦 par cinq sur deux moins 𝑥 dans l’équation initiale de la courbe. Cela donne cinq sur deux moins 𝑥 au carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égal zéro. En développant les parenthèses et en multipliant par moins un, on obtient cette équation.
Nous pourrions ensuite résoudre cette équation en utilisant une calculatrice scientifique. Alternativement, nous savons que 𝑥 égale moins un demi est une racine de cette équation. Et nous pouvons donc la factoriser par 𝑥 plus un demi. Nous pouvons faire cela en utilisant une division euclidienne ou par identification des coefficients. La première étape pour identifier les coefficients serait d’écrire cette équation. Et bien que le fait de passer beaucoup de temps à identifier ces coefficients sort du cadre de cette vidéo, ce calcul nous permet de trouver que 𝑎 est égal à 24, 𝑏 est égal à moins 13 et 𝑐 est égal à moins 25 sur deux. N’hésitez pas à mettre la vidéo en pause si vous le souhaitez pour voir si vous arrivez à effectuer cette étape par vous-même.
La dernière étape consiste à résoudre l’équation du second degré 24𝑥 carré moins 13𝑥 moins 25 sur deux. Et nous pouvons le faire en utilisant la formule des racines du second degré ou en écrivant l’équation sous forme canonique. Lorsque nous la résolvons, nous trouvons 𝑥 égale moins un demi. Il s’agit donc d’une racine double. Et 𝑥 égale 25 sur 24. Nous recherchons les coordonnées, donc on remplace 𝑥 par 25 sur 24 dans l’équation cinq sur deux moins 𝑥. Et cela donne une valeur 𝑦 de 35 sur 24. Par conséquent, la tangente d’équation 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥 rencontre la courbe en moins un demi, trois et en vingt-cinq sur vingt-quatre, trente-cinq sur vingt-quatre. Dans le dernier exemple, nous allons voir comment la dérivation implicite peut nous aider à déterminer des dérivées d’ordre supérieur.
Sachant que deux sinus 𝑦 moins cinq cosinus 𝑥 est égal à moins quatre, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par dérivation implicite.
Pour trouver la dérivée seconde de 𝑦, parfois appelée 𝑦 double prime, nous allons devoir dériver notre équation deux fois. Remarquez comment la fonction elle-même est exprimée implicitement par des fonctions de 𝑥. Nous allons donc utiliser la dérivation implicite en commençant par calculer la dérivée des deux membres. La dérivée de moins quatre par rapport à 𝑥 est assez facile à calculer. Elle est simplement égale à zéro. De même, on peut trouver la dérivée de moins cinq cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥. Elle est égale à cinq sinus 𝑥. Mais qu’en est-il de la dérivée de deux sinus 𝑦 par rapport à 𝑥 ? On utilise ici la version spéciale de la formule de la dérivée d’une composée. Elle stipule que la dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.
La dérivée de deux sinus 𝑦 par rapport à 𝑦 est deux cosinus 𝑦. Donc le membre gauche est deux cosinus 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus cinq sinus 𝑥. Et il est égal à zéro. On peut alors trouver la dérivée première en soustrayant cinq sinus 𝑥 des deux membres de l’équation et en divisant par deux cosinus 𝑦. On rappelle cependant que l’on cherche la dérivée seconde. On va donc devoir utiliser la formule de la dérivée d’un quotient pour dériver moins cinq sinus 𝑥 sur deux cosinus 𝑦. En accord avec cette notation, on définit 𝑢 égale moins cinq sinus 𝑥 et 𝑣 égale deux cosinus 𝑦. d𝑢 sur d𝑥 est moins cinq cosinus 𝑥. Ensuite, comme la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑦 est moins deux sinus 𝑦, on peut voir que d𝑣 sur d𝑥 est égal à moins deux sinus 𝑦 d𝑦 sur d𝑥.
On remplace ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient. On simplifie et on rappelle que d𝑦 sur d𝑥 égale moins cinq sinus 𝑥 sur deux cosinus 𝑦. On peut donc la remplacer dans la formule de la dérivée seconde. Pour simplifier cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par deux cosinus 𝑦. Et on essaie de simplifier davantage. En distribuant le moins un, nous trouvons que la dérivée seconde de la fonction est 25 sinus carré 𝑥 sinus 𝑦 moins 10 cosinus 𝑥 cosinus carré 𝑦, le tout sur quatre cosinus cube 𝑦. Et cette formule est définie tant que cosinus 𝑦 n’est pas égal à zéro.
Dans cette vidéo, nous avons appris que lorsqu’une fonction est définie implicitement, nous pouvons utiliser une version spéciale de la formule de la dérivée d’une composée pour la dériver. La dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction de 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Nous avons également vu que même s’il est possible de réécrire une relation comme une fonction explicite, il est parfois plus simple d’utiliser la dérivation implicite. On a vu également que lorsque nous dérivons implicitement, nous pouvons obtenir une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Nous avons enfin vu que nous pouvons trouver des dérivées d’ordre supérieur en utilisant la dérivation implicite. Dans ce cas, nous devons remplacer les expressions des dérivées d’ordre inférieur pour simplifier les expressions.
