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Vidéo de la leçon : Dériver des fonctions implicites Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation implicite pour dériver des fonctions définies implicitement.

17:02

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la dérivation implicite pour trouver la dérivée des fonctions exprimées implicitement comme des fonctions de 𝑥. La majorité des problèmes de dérivation que vous avez rencontrés jusqu’à présent impliquaient certainement des fonctions définies explicitement comme des fonctions de 𝑥, telles que 𝑦 égale trois carré sinus de 𝑥. Dans cette vidéo, nous allons explorer comment la dérivation implicite, qui est une extension de la formule de la dérivée d’une composée, nous permet de dériver facilement des équations telles que l’équation cartésienne d’un cercle, 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale un par exemple. Nous nous pencherons également sur ce que cela implique pour la dérivée seconde et les dérivées d’ordre supérieur.

La formule de la dérivée d’une composée nous permet de dériver les fonctions composées. Elle stipule que pour deux fonctions dérivables, 𝑔 et ℎ, telles que 𝑓 est la fonction composée 𝑔 de ℎ, la dérivée de 𝑓 de est égale à la dérivée de ℎ de 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑔 évaluée en ℎ de 𝑥. Il est souvent plus intuitif de l’écrire par d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑢 sur d𝑥 fois d𝑦 sur d𝑢, où 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥. Voyons comment la formule de la dérivée d’une composée peut nous aider à trouver la dérivée d’une fonction implicite.

Soit l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale un. En utilisant la dérivation implicite, trouvez une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Et il y a une deuxième partie à cette question. Pour le demi-cercle où 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, exprimez 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥 puis dérivez cette expression pour obtenir une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥.

Nous allons commencer par la première partie. Pour dériver implicitement la fonction, nous commençons par dériver les deux côtés de l’équation par rapport à 𝑥. Cela peut probablement sembler un peu étrange, mais restez avec moi. La dérivée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est alors égale à la dérivée de un par rapport à 𝑥. Et nous devons absolument dériver les deux membres de l’équation. On dérive alors ce que l’on peut. Il est assez simple de dériver un par rapport à 𝑥. Cela donne tout simplement zéro. Mais comment peut-on dériver 𝑥 carré plus 𝑦 carré?

Eh bien, la dérivée de 𝑥 au carré est deux 𝑥. Mais la dérivée de 𝑦 au carré est un peu plus étrange. On sait que 𝑦 au carré est une fonction de 𝑦. Et, à son tour, 𝑦 est une fonction de 𝑥. Donc on peut utiliser la formule de la dérivée d’une composée. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 multipliée par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 est deux . Et la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est simplement d𝑦 sur d𝑥. Donc l’équation devient maintenant deux 𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 égale zéro.

On rappelle que l’on cherche une expression de la dérivée. On isole donc d𝑦 sur d𝑥 en soustrayant d’abord deux 𝑥 aux deux membres de l’équation. Cela donne deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 égale moins deux 𝑥. On divise ensuite par deux 𝑦. Et on voit que d𝑦 sur d𝑥 égale moins deux 𝑥 divisé par deux 𝑦. Les facteurs deux s’annulent. Et nous avons trouvé une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦: moins sur 𝑦.

Pour la deuxième partie de cette question, nous revenons à l’équation d’origine. Et nous commençons par isoler 𝑦 dans l’équation. Cela revient à exprimer 𝑦 explicitement en fonction de 𝑥. On peut soustraire 𝑥 au carré aux deux membres. Puis on prend la racine carrée des deux membres de l’équation. On doit généralement conserver la racine carrée positive et la négative. Ici cependant, il est indiqué que appartient au demi-cercle tel que 𝑦 est supérieur ou égal à zéro. On ne conserve donc que la racine carrée positive. Et nous obtenons une fonction explicite en fonction de 𝑥.

En l’écrivant comme un moins 𝑥 carré puissance un sur deux, on voit que l’on peut utiliser la formule générale de la dérivée d’une puissance. Cela signifie que si 𝑢 est une fonction de 𝑥, la dérivée de 𝑢 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑢 puissance 𝑛 moins un fois la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Cette formule est bien sûr valable lorsque 𝑛 est un nombre réel. Donc la dérivée de un moins 𝑥 carré puissance un sur 2 égale un sur deux fois un moins 𝑥 carré puissance moins un sur 2 fois d𝑢 sur d𝑥. On rappelle que 𝑢 est égale à un moins 𝑥 carré. Donc la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est simplement égale à moins deux 𝑥. On peut à nouveau annuler les facteurs 2. Et l’expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 est moins 𝑥 sur racine carrée de un moins 𝑥 carré.

Notez que comme 𝑦 égale racine carrée de un moins 𝑥 carré, on aurait pu écrire d𝑦 sur d𝑥 égale moins 𝑥 sur 𝑦. Et il s’agit de la même réponse que nous avions obtenue dans la première partie de cette question. Nous devons cependant spécifier que 𝑦 ne peut pas être égal à zéro ici. Cet exemple montre quelques points importants. Tout d’abord, même s’il était assez facile d’exprimer cette relation comme une fonction explicite, il était plus simple de la dériver en utilisant la dérivation implicite.

Et en général, lorsque nous dérivons implicitement, nous pouvons utiliser la version suivante de la formule de la dérivée d’une composée. Elle stipule que la dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction de 𝑦 par rapport à 𝑦 multipliée par d𝑦 sur d𝑥. Il est vraiment utile de mémoriser cette version de la formule de la dérivée d’une composée. Appliquons-la maintenant à un exemple plus complexe.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥 en dérivant implicitement moins exponentielle de 𝑦 sinus de 𝑥 égale quatre 𝑥𝑦 plus deux 𝑥.

Pour dériver implicitement cette équation, nous commençons par dériver les deux membres de l’équation par rapport à 𝑥. On écrit alors d sur d𝑥 de moins exponentielle de sin 𝑥 égale d sur d𝑥 de quatre 𝑥𝑦 plus deux 𝑥. Dérivons chaque terme par rapport à 𝑥. La dérivée de deux 𝑥 est simplement égale à deux. On doit combiner la formule de la dérivée d’un produit et la formule de la dérivée d’une composée pour dériver quatre 𝑥𝑦 et moins exponentielle de 𝑦 sin 𝑥. La version de la formule de la dérivée d’une composée dont on a besoin stipule que la dérivée de 𝑓 de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et la formule de la dérivée d’un produit stipule que la dérivée de 𝑢 𝑣 est égale à 𝑢 fois la dérivée de 𝑣 plus 𝑣 fois la dérivée de 𝑢.

Nous commençons par dériver quatre 𝑥𝑦. Soit 𝑢 égale quatre 𝑥 et 𝑣 égale 𝑦. Alors la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est simplement quatre. La dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑦, soit un, fois d𝑦 sur d𝑥. 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 est alors égal à quatre 𝑥 fois d𝑦 sur d𝑥. Et 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est égal à 𝑦 fois quatre. Par conséquent, le membre droit de l’équation est quatre 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 plus quatre 𝑦 plus deux. Répétons maintenant ce processus pour moins exponentielle de 𝑦 sin 𝑥.

Cette fois, on définit 𝑢 égale moins exponentielle de 𝑦 et 𝑣 égale sin 𝑥. La dérivée de sin 𝑥 est cos 𝑥. Et la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de moins exponentielle de 𝑦 par rapport à 𝑦, qui est moins exponentielle de , fois d𝑦 sur d𝑥. Et lorsque l’on utilise la formule de la dérivée d’un produit, on voit que d𝑦 sur d𝑥 égale moins exponentielle de 𝑦 cos 𝑥 moins exponentielle de 𝑦 sin 𝑥 d𝑦 sur d𝑥. L’équation est donc maintenant celle-ci. On rappelle que l’on essaie de trouver une expression de d𝑦 sur d𝑥. On va donc réorganiser et isoler d𝑦 sur d𝑥. On voit alors que moins exponentielle de 𝑦 cos 𝑥 moins quatre 𝑦 moins deux égale quatre 𝑥 plus exponentielle de 𝑦 sin 𝑥, le tout multiplié par d𝑦 sur d𝑥.

On peut maintenant factoriser par moins un sur le membre gauche. Puis on divise par quatre 𝑥 plus exponentielle de 𝑦 sin 𝑥. Et nous trouvons que d𝑦 sur d𝑥 égale moins exponentielle de 𝑦 cos 𝑥 plus quatre 𝑦 plus deux sur quatre 𝑥 plus exponentielle de 𝑦 sin 𝑥. Bien sûr, cette dérivée n’est définie que lorsque le dénominateur n’est pas égal à zéro, c’est-à-dire lorsque quatre 𝑥 plus exponentielle de 𝑦 sin 𝑥 est différent de zéro. Il est assez fréquent d’utiliser la dérivation implicite pour trouver l’équation d’une tangente à une courbe définie implicitement. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la dérivation implicite pour résoudre un problème de ce type.

L’équation 𝑦 carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égale zéro décrit une courbe dans le plan. 1) Trouvez les coordonnées de deux points sur cette courbe où 𝑥 égale moins un sur deux. 2) Déterminez l’équation de la tangente au point où 𝑥 égale moins un sur deux et où l’ordonnée 𝑦 est positive. 3) Trouvez les coordonnées d’un autre point, s’il existe, où la tangente rencontre la courbe.

Pour la première partie, trouver les points où 𝑥 est égal à moins un sur 2, nous allons substituer cette valeur de 𝑥 dans l’équation et déterminer 𝑦. Cela donne 𝑦 carré moins 24 fois moins un sur 2 au cube plus 24 fois moins un sur 2. Et cela est égal à zéro. Lorsque l’on évalue les termes en , on obtient 𝑦 carré plus trois moins 12 égale zéro, soit 𝑦 carré moins neuf égale zéro. On résout cette équation en ajoutant neuf aux deux membres.

Et la dernière étape consiste à prendre la racine carrée des deux membres de cette équation, en se rappelant de prendre les racines carrées positive et négative de neuf. La racine carrée de neuf est trois. Nous trouvons donc que 𝑦 égale trois ou moins trois lorsque 𝑥 égale moins un sur 2. Sous forme de coordonnées, ce sont les points moins un sur 2, trois et moins un sur 2, moins trois.

Nous abordons maintenant la deuxième partie. Nous devons trouver l’équation de la tangente en un point où 𝑥 est égal à moins un sur 2 et où l’ordonnée 𝑦 est positive. Il s’agit du point moins un sur 2, trois. Nous devons d’abord trouver le coefficient directeur de la tangente à la courbe. Il est égal à la dérivée de l’équation de la courbe évaluée en 𝑥 égale moins un sur 2 et 𝑦 égale trois. Nous allons donc dériver implicitement l’équation. C’est-à-dire d sur d𝑥 de 𝑦 carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égale d sur d𝑥 de zéro. La dérivée de 𝑦 carré est égale à la dérivée de 𝑦 carré par rapport à 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit 2 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. La dérivée de moins 24𝑥 cube est trois fois moins 24𝑥 carré. Cela donne moins 72𝑥 carré. La dérivée de 24𝑥 est 24. Et la dérivée de zéro est zéro.

On a donc: deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins 72𝑥 carré plus 24 égale zéro. On cherche une équation de d𝑦 sur d𝑥. On réorganise donc pour isoler d𝑦 sur d𝑥. On ajoute 72𝑥 carré aux deux membres de cette équation et on soustrait 24. On divise ensuite par deux 𝑦. Et on trouve que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 72𝑥 carré moins 24 sur deux 𝑦, ce qui se simplifie par 36𝑥 carré moins 12 sur 𝑦. On rappelle que l’on recherche le coefficient directeur de la tangente à la courbe en moins un demi, trois. On substitue donc 𝑥 égale moins un sur 2 et 𝑦 égale trois dans l’équation de la dérivée. On voit alors que le coefficient directeur de la tangente est 36 fois moins un sur 2 au carré moins 12 sur trois, ce qui est égal à moins un.

Enfin, on substitue les informations que l’on a obtenues sur la tangente dans l’équation d’une droite. Et on obtient 𝑦 moins trois égale moins un fois 𝑥 moins moins un sur 2. En distribuant les parenthèses et en simplifiant puis en isolant 𝑦, nous obtenons 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥.

Et nous pouvons maintenant passer à la troisième partie. Nous devons trouver un point, s’il existe, où cette tangente rencontre à nouveau la courbe. Nous cherchons donc à résoudre le système d’équations 𝑦 carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égale zéro et 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥. On substitue alors 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥 dans l’équation initiale de la courbe. Cela donne cinq sur deux moins 𝑥 au carré moins 24𝑥 cube plus 24𝑥 égale zéro. En développant les parenthèses et en multipliant par moins un, on obtient cette équation.

Nous pourrions ensuite résoudre cette équation en utilisant une calculatrice scientifique. Alternativement, nous savons que 𝑥 égale moins un sur deux est une racine de cette équation. Et nous pouvons donc la factoriser par 𝑥 plus un sur 2. Nous pouvons pour cela utiliser une division euclidienne ou l’égalité des coefficients. La première étape de la méthode d’égalité des coefficients est d’écrire cette équation. La longue résolution de cette équation sort du cadre de cette vidéo mais elle nous permet de trouver que 𝑎 égale 24, 𝑏 égale moins 13 et 𝑐 égale moins 25 sur deux. N’hésitez pas à mettre la vidéo en pause si vous le souhaitez pour voir si vous arrivez à effectuer cette étape par vous-même.

La dernière étape consiste à résoudre l’équation du second degré 24𝑥 carré moins 13𝑥 moins 25 sur deux. Et nous pouvons le faire en utilisant la formule des racines du second degré ou en écrivant l’équation sous forme canonique. Lorsque nous la résolvons, nous trouvons 𝑥 égale moins un sur 2. Il s’agit donc d’une racine double. Et 𝑥 égale 25 sur 24. Nous recherchons les coordonnées, donc on substitue 𝑥 égale 25 sur 24 dans l’équation cinq sur deux moins 𝑥. Et cela donne une valeur 𝑦 de 35 sur 24. Par conséquent, la tangente d’équation 𝑦 égale cinq sur deux moins 𝑥 rencontre la courbe en moins un demi, trois et en vingt-cinq sur vingt-quatre, trente-cinq sur vingt-quatre. Dans le dernier exemple, nous allons voir comment la dérivation implicite peut nous aider à déterminer des dérivées d’ordre supérieur.

Sachant que deux sinus de 𝑦 moins cinq cosinus de 𝑥 est égal à moins quatre, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par dérivation implicite.

Pour trouver la dérivée seconde de 𝑦, nous allons devoir dériver l’équation deux fois. Remarquez comment la fonction elle-même est exprimée implicitement par des fonctions de 𝑥. Nous allons donc utiliser la dérivation implicite en commençant par calculer la dérivée des deux membres. La dérivée de moins quatre par rapport à 𝑥 est assez facile à calculer. Elle est simplement égale à zéro. De même, on peut trouver la dérivée de moins cinq cos 𝑥 par rapport à 𝑥. Elle est égale à cinq sin 𝑥. Mais qu’en est-il de la dérivée de deux sin 𝑦 par rapport à 𝑥? On utilise ici la version spéciale de la formule de la dérivée d’une composée. Elle stipule que la dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.

La dérivée de deux sin 𝑦 par rapport à 𝑦 est deux cos 𝑦. Donc le membre gauche est deux cos 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus cinq sin 𝑥. Et il est égal à zéro. On peut alors trouver la dérivée première en soustrayant cinq sin 𝑥 aux deux membres de l’équation et en divisant par deux cos 𝑦. On rappelle cependant que l’on cherche la dérivée seconde. On va donc devoir utiliser la formule de la dérivée d’un quotient pour dériver moins cinq sin 𝑥 sur deux cos 𝑦. En accord avec cette notation, on définit 𝑢 égale moins cinq sin 𝑥 et 𝑣 égale deux cos 𝑦. d𝑢 sur d𝑥 est moins cinq cos 𝑥. Ensuite, comme la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑦 est moins deux sin 𝑦, on peut voir que d𝑣 sur d𝑥 est égal à moins deux sin 𝑦 d𝑦 sur d𝑥.

On substitue ces expressions dans la formule de la dérivée d’un quotient. On simplifie et on rappelle que d𝑦 sur d𝑥 égale moins cinq sin 𝑥 sur deux cos 𝑦. On peut donc le substituer dans la formule de la dérivée seconde. Pour simplifier cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par deux cos 𝑦. Et on essaie de simplifier davantage. En distribuant le moins un, nous trouvons que la dérivée seconde de la fonction est 25 sin carré 𝑥 sin 𝑦 moins 10 cos 𝑥 cos carré 𝑦, le tout sur quatre cos cube 𝑦. Et cette formule est définie tant que cos 𝑦 n’est pas égal à zéro.

Dans cette vidéo, nous avons appris que lorsqu’une fonction est définie implicitement, nous pouvons utiliser une version spéciale de la formule de la dérivée d’une composée pour la dériver. La dérivée d’une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cette fonction de 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Nous avons également vu que même s’il est possible de réécrire une relation comme une fonction explicite, il est parfois plus simple d’utiliser la dérivation implicite. Lorsque nous dérivons implicitement, nous pouvons obtenir une expression de d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑥 et 𝑦. Nous avons enfin vu que nous pouvons trouver des dérivées d’ordre supérieur en utilisant la dérivation implicite. Dans ce cas, nous devons substituer les expressions des dérivées d’ordre inférieur pour simplifier les expressions.

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