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Trouvez la valeur de tangente 270 degrés moins 𝜃 sachant que le cosinus de 𝜃 est égal à moins quatre cinquièmes, où 𝜃 est strictement supérieur à 90 degrés et strictement inférieur à 180 degrés.
Nous commençons par utiliser le fait que 𝜃 est compris entre 90 et 180 degrés et que le cosinus de 𝜃 est de moins quatre cinquièmes pour calculer la valeur de tangente 𝜃. En utilisant notre diagramme de CAST, nous voyons que l’angle 𝜃 se situe dans le deuxième quadrant. Nous savons que le sinus de n’importe quel angle de ce quadrant est positif, alors que le cosinus et la tangente de tout angle compris entre 90 et 180 degrés sont négatifs. Cela signifie que tangente 𝜃 doit être négative. En utilisant notre connaissance des triplets de Pythagore, nous voyons que la tangente de l’angle 𝛼 sur notre diagramme est de trois quarts. Cela signifie que la tangente de l’angle 𝜃 est de moins trois quarts.
Considérons maintenant l’expression qui nous est donnée dans cette question, la tangente de 270 degrés moins 𝜃. En utilisant la périodicité de la fonction tangente, nous savons que la tangente de 𝜃 plus ou moins 180 degrés est égale à la tangente de 𝜃. Puisque 270 degrés est égal à 180 degrés plus 90 degrés, nous pouvons réécrire notre expression comme la tangente de 180 degrés plus 90 degrés moins 𝜃. Et puisque la tangente de 180 degrés plus 𝜃 est égale à tangente 𝜃, notre expression est égale à la tangente de 90 degrés moins 𝜃.
Rappelant les identités des angles complémentaires, la tangente de 90 degrés moins 𝜃 est égale à la cotangente de 𝜃. Et en utilisant notre connaissance des fonctions trigonométriques inverses, nous savons que cela est égal à un sur tangente 𝜃. Nous pouvons maintenant substituer notre valeur de tangente 𝜃 dans l’expression. Nous devons diviser un par moins trois quarts. Et puisque la division par une fraction est la même chose que la multiplication par l’inverse de cette fraction, cela est égal à un multiplié par moins quatre tiers. Si 𝜃 est compris entre 90 degrés et 180 degrés avec cosinus de 𝜃 égale moins quatre cinquièmes, alors la tangente de 270 degrés moins 𝜃 est de moins quatre tiers.
