Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les identités des angles complémentaires et de parité pour déterminer les valeurs d’expressions trigonométriques.
Nous avons étudié différentes identités et propriétés des fonctions trigonométriques que nous pouvons utiliser pour nous aider à simplifier et à résoudre des équations. Avant de voir comment nous pouvons appliquer ces propriétés et identités, nous allons commencer par récapituler les résultats que nous avons démontrés jusqu’à présent.
Commençons par les définitions de certaines fonctions trigonométriques.
Définition : Identités trigonométriques
Pour tout angle mesuré en degrés ou en radians,
- ;
- ;
- ;
- .
Nous savons également que les fonctions trigonométriques sont périodiques.
Définition : Identités périodiques
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
On pourrait aussi écrire des identités similaires pour des angles mesurés en radians.
Nous pouvons également obtenir quelques identités en utilisant le théorème de Pythagore et les définitions des rapports trigonométriques.
Définition : Identités de Pythagore
Pour tout angle mesuré en degrés ou en radians,
- ;
- ;
- .
Nous pouvons montrer que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire en considérant les symétriques des points sur le cercle trigonométrique, ce qui nous donne les identités suivantes.
Définition : Identités de parité des fonctions trigonométriques
Pour tout angle mesuré en degrés ou en radians,
- , où le sinus est une fonction impaire ;
- , où le cosinus est une fonction paire ;
- , où la tangente est une fonction impaire.
On peut trouver les identités suivantes en considérant des rotations des points sur le cercle trigonométrique ou en considérant l’angle correspondant dans un triangle rectangle.
Définition : identités des angles complémentaires
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
On pourrait aussi écrire ces identités en radians en utilisant .
Il existe en fait de nombreuses autres identités que nous pouvons utiliser en combinant ces résultats. Cela nous permet de reformuler des équations sous une forme plus facile à résoudre.
Commençons par un exemple où nous devons utiliser les identités des angles complémentaires pour résoudre une équation trigonométrique.
Exemple 1: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique à l’aide des identités des angles complémentaires
Déterminez la valeur de sachant que , où .
Réponse
Dans cette question, on sait que le sinus de l’angle est égal à et que . On doit utiliser ces informations pour évaluer . On pourrait le faire graphiquement en utilisant les définitions des fonctions sinus et cosinus ; cependant, il est en réalité beaucoup plus facile de reformuler cette expression en utilisant les identités des angles complémentaires.
Cette expression peut être évaluée en utilisant les identités des angles complémentaires de nombreuses façons ; on en détaille une ci-dessous.
Tout d’abord, on rappelle que l’une des identités des angles complémentaires indique que pour tout angle ,
On souhaite l’utiliser sur l’expression , on doit donc trouver un moyen de soustraire l’angle à . On peut le faire en rappelant qu’additionner revient à soustraire :
On applique ensuite l’identité des angles complémentaires avec :
On sait ensuite que la fonction sinus est impaire, ce qui signifie que
Par conséquent, .
On peut également voir graphiquement pourquoi cela est vrai en remarquant que l’angle est dans le premier quadrant et que les coordonnées d’un point du cercle trigonométrique centré à l’origine sont .
Pour utiliser cela pour trouver , l’angle est avec une rotation supplémentaire de dans le sens direct.
Alors, l’angle de ce segment avec l’axe des positifs est , donc est l’abscisse de ce point pivoté.
On peut alors voir que l’abscisse peut être déterminée à partir du triangle d’origine.
Cela confirme la réponse précédente : pour l’angle fourni,
Dans l’exemple précédent, nous avons combiné une identité des angles complémentaires et le fait que la fonction sinus était impaire pour montrer que
Cela nous donne une nouvelle identité ; en fait, nous pouvons combiner n’importe laquelle des identités des angles complémentaires avec la parité de la fonction pour construire les identités suivantes.
Définition : Autres identités des angles complémentaires
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- ;
On pourrait également écrire ces identités en radians en utilisant .
Nous obtenons également des identités similaires en utilisant les fonctions trigonométriques inverses.
Dans le prochain exemple, nous allons devoir combiner plusieurs identités des angles complémentaires différentes, rendant l’approche graphique beaucoup plus compliquée.
Exemple 2: Utiliser les identités des angles complémentaires et les identités périodiques pour évaluer une expression
Déterminez la valeur de sachant que , où .
Réponse
Dans cette question, on a une expression impliquant plusieurs termes trigonométriques composés et il est demandé de l’évaluer en utilisant le fait que et .
On pourrait être tenté de le faire en utilisant une approche graphique, mais on devrait tracer trois schémas (un pour chaque terme). On va à la place essayer de simplifier cette expression en utilisant des identités trigonométriques.
On simplifie chacun des trois termes séparément en commençant par .
On peut simplifier ce terme en utilisant l’identité des angles complémentaires
Cependant, les angles entre parenthèses ne correspondent pas. On peut contourner cela en réécrivant comme :
On peut maintenant appliquer l’identité des angles complémentaires avec :
On ne peut pas évaluer directement cette expression mais on peut la simplifier en utilisant une autre identité des angles complémentaires et la parité de la fonction cosinus.
Le cosinus étant une fonction paire,
On souhaite ensuite appliquer l’identité des angles complémentaires suivante
On peut le faire en définissant , ce qui donne
Le premier terme est maintenant évalué. On évalue maintenant .
Pour ce faire, on pourrait vouloir utiliser les identités des angles complémentaires ; cependant, il est plus facile dans ce cas d’utiliser la propriété périodique de la fonction tangente :
On pourrait s’inquiéter comme on soustrait l’angle ; on peut cependant appliquer cette identité avec :
On applique ensuite à nouveau l’identité, cette fois avec :
On peut simplifier cela davantage en se rappelant que la fonction tangente est impaire :
Par conséquent, on doit déterminer la valeur de . Pour ce faire, on utilise le fait que est dans le premier quadrant et que . On rappelle que le sinus d’un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à cet angle à la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
La valeur est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur du côté adjacent dans ce triangle rectangle. On peut trouver le côté inconnu en utilisant le théorème de Pythagore :
Cela donne alors .
Il convient également de rappeler que l’on sait que cette valeur est positive car on travaille dans le premier quadrant.
Par conséquent, on a montré que , ce qui signifie que le deuxième terme de l’expression est égal à .
Il reste enfin à évaluer le dernier terme de cette expression, .
On utilise d’abord le fait que la fonction sinus est périodique avec une période de , ce qui signifie que l’on peut soustraire cette valeur à l’argument :
On utilise ensuite le fait que la fonction sinus est impaire :
On peut ensuite utiliser l’identité des angles complémentaires en soustrayant - :
On peut simplifier cela davantage en utilisant le fait que la fonction cosinus est paire :
Ensuite, pour évaluer , on utilise le triangle : 
Par conséquent, on a montré que
On peut enfin utiliser ces trois résultats pour évaluer l’ensemble de l’expression :
Dans l’exemple précédent, nous avons pu utiliser la périodicité de la fonction sinus, la parité des fonctions trigonométriques et une identité des angles complémentaires pour montrer que
On peut suivre le même processus pour démontrer les identités suivantes.
Définition : Autres identités des angles complémentaires
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
On pourrait aussi écrire ces identités en radians en utilisant .
Une fois encore, on pourrait construire des identités similaires pour les fonctions trigonométriques inverses de la même manière ou en utilisant ces trois identités.
De même,
On peut suivre la même méthode pour démontrer ce qui suit.
Définition : Autres identités des angles complémentaires
Pour tout angle mesuré en degrés,
- ;
- ;
- .
On pourrait aussi écrire ces identités en radians en utilisant .
On peut trouver des identités similaires à celles ci-dessus pour les fonctions trigonométriques inverses. On peut également trouver de nombreuses autres identités en combinant ces propriétés de différentes manières.
Dans le prochain exemple, nous allons montrer qu’il est également possible d’utiliser les identités des angles complémentaires quand on traite des fonctions trigonométriques inverses.
Exemple 3: Utiliser les identités des angles complémentaires pour évaluer une fonction cosécante
Déterminez la valeur de sachant que , où est le plus petit angle positif.
Réponse
On souhaite évaluer , sachant que et que est le plus petit angle positif. On dispose de quelques options pour évaluer cette expression : on pourrait essayer une approche graphique ou utiliser des identités trigonométriques pour rendre cette expression plus facile à évaluer. Il y a plusieurs façons d’utiliser les identités trigonométriques pour résoudre cette question, on en détaillera deux ici.
Méthode 1 :
Comme les angles impliqués sont semblables aux identités des angles complémentaires, on va essayer de reformuler cette expression.
Premièrement, on rappelle que la cosécante est l’inverse de la fonction sinus :
On souhaite ensuite utiliser l’identité des angles complémentaires
On peut le faire en reformulant l’argument :
On peut ensuite appliquer l’identité des angles complémentaires avec :
Pour simplifier encore cette expression, on souhaite appliquer une autre identité des angles complémentaires. Cependant, si on fait cela maintenant, on obtiendra un résultat qui n’est pas utile. Au lieu de cela, on simplifie l’argument en utilisant le fait que le cosinus est une fonction paire :
On peut alors appliquer l’autre identité des angles complémentaires de manière très similaire :
On reformule l’argument :
On utilise ensuite l’identité des angles complémentaires avec :
On souhaitera peut-être simplifier d’avantage l’argument, mais on rappelle que la question indique que . On peut écrire le dénominateur de cette manière en utilisant le fait que la fonction sinus est impaire :
Méthode 2 :
Alternativement, on peut commencer par reformuler la cosécante en utilisant sa définition :
Utiliser la périodicité du sinus donne ensuite
On peut simplifier davantage en utilisant le fait que la fonction sinus est impaire :
On souhaite maintenant appliquer l’identité des angles complémentaires
On utilise ensuite le fait que le cosinus est une fonction paire pour simplifier d’avantage :
On peut alors réécrire cela en fonction de en utilisant l’identité des angles complémentaires , cela donne
Enfin, on sait que ; par conséquent,
Ainsi, si est le plus petit angle positif, où , alors .
Jusqu’à présent tous les exemples ont impliqué des identités des angles complémentaires. Étudions un exemple où nous devons appliquer d’autres identités pour évaluer une expression trigonométrique.
Exemple 4: Utiliser les identités de parité et des angles complémentaires pour évaluer une fonction trigonométrique d’un angle donné
Le triangle est rectangle en . Trouvez sachant que .
Réponse
On souhaite trouver la valeur de sachant que , tout en se référant au schéma. Pour ce faire, on veut d’abord trouver une expression de en fonction de . On peut la déterminer à partir du schéma. Tout d’abord, parce que la somme des angles dans le triangle doit être égale à .
Ensuite, on peut voir que et se situent sur une droite, donc la somme de ces angles est égale à . Cela signifie que
Par conséquent,
Pour évaluer cette expression, on va utiliser les identités des angles complémentaires. Pour utiliser les identités des angles complémentaires, on peut commencer par reformuler l’argument :
On l’écrit alors en fonction de la tangente :
Une façon d’évaluer cette expression est d’utiliser l’identité des angles complémentaires de la fonction tangente qui stipule que
En appliquant cela à l’expression recherchée, on obtient
On souhaite ensuite l’écrire en fonction de ; on peut le faire en utilisant le fait que la cotangente est une fonction impaire :
Par conséquent, on a montré que .
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment évaluer une expression impliquant plusieurs angles.
Exemple 5: Évaluer des expressions trigonométriques en utilisant les relations entre les fonctions trigonométriques d’angles complémentaires
Déterminez la valeur de .
Réponse
On ne peut pas évaluer cette expression directement, ce qui signifie que l’on doit d’abord la simplifier. En observant les arguments de l’expression trigonométrique donnée, on peut voir que et . En d’autres termes, ces angles sont complémentaires.
Lorsque l’on travaille sur des angles complémentaires, il peut être judicieux d’utiliser les identités des angles complémentaires.
On commence par ; on peut l’écrire comme
On peut ensuite utiliser l’identité des angles complémentaires avec :
On peut alors substituer cela dans l’expression donnée :
On peut simplifier le facteur commun car .
On peut faire de même pour reformuler . Tout d’abord, on reformule l’argument :
On souhaite ensuite utiliser l’identité des angles complémentaires
On définit :
Enfin, on substitue cela dans l’expression recherchée :
Notez qu’il est important de vérifier que lorsque l’on simplifie ce facteur commun. Pour ce faire, on rappelle que la tangente est positive dans le premier quadrant du cercle trigonométrique donc , ce qui signifie que son inverse est également positif.
Par conséquent, on a montré que
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Nous pouvons utiliser les identités des angles complémentaires pour nous aider à évaluer des expressions trigonométriques.
- Nous pouvons également combiner les identités des angles complémentaires avec toutes les autres identités trigonométriques pour nous aider à simplifier les expressions.
- Nous pouvons combiner toutes les propriétés et identités des fonctions trigonométriques pour trouver plus d’identités pour les fonctions trigonométriques.
