Vidéo de la leçon: Évaluer des fonctions trigonométriques à l’aide des identités des angles complémentaires Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les identités des angles complémentaires et les identités de parité pour calculer les valeurs de fonctions trigonométriques. Les fonctions trigonométriques ont de nombreuses propriétés et identités différentes qui nous aident à simplifier et à résoudre des équations. Dans cette leçon, nous allons rappeler les identités des angles complémentaires et les identités de parité, puis les utiliser pour résoudre des problèmes.

Rappelons tout d’abord les identités des angles complémentaires qui stipulent que sinus 90 degrés moins 𝜃 est égale à cosinus 𝜃. cosinus 90 degrés moins 𝜃 est égale à sinus 𝜃. Et tangente 90 degrés moins 𝜃 est égale à cotangente 𝜃. Rappelons que si nous travaillons en radians, nous devons remplacer 90 degrés par 𝜋 sur deux.

Nous pouvons démontrer graphiquement ces identités des angles complémentaires en utilisant le cercle trigonométrique. Pour un angle 𝜃 donné sur le cercle trigonométrique, on peut affirmer qu’il forme un triangle rectangle ayant une hypoténuse de longueur un et des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏. On sait que sinus 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, soit 𝑎 sur un dans ce cas. Donc sinus 𝜃 égale 𝑎. Le cosinus 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, soit 𝑏 sur un, donc 𝑏. Et la tangente de 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent, 𝑎 sur 𝑏. Nous souhaitons maintenant établir une relation entre 𝜃 et 90 moins 𝜃.

Dans le cercle trigonométrique sur ce repère, l’angle entre θ et 90 degrés peut être noté 90 moins 𝜃. Et nous pouvons ainsi créer un deuxième triangle rectangle dans le premier quadrant, qui a aussi une hypoténuse de longueur un et des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏. En observant le nouveau triangle jaune, si on prend le sinus de 90 moins 𝜃, il est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, qui est dans ce cas 𝑏 sur un. Par conséquent, sinus 90 moins 𝜃 est égale à 𝑏. Et le cosinus de 90 moins 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Dans ce cas, il est égal à 𝑎. Et la tangente de 90 degrés moins 𝜃 est égale à 𝑏 sur 𝑎, et nous avons donc démontré ainsi ces identités d’angles complémentaires. Sinus 𝜃 et cosinus 90 degrés moins 𝜃 sont tous les deux égaux à 𝑎, ce que nous nous attendions d’après l’identité des angles complémentaires.

Nous avons également démontré que cosinus 𝜃 et sinus 90 degrés moins 𝜃 sont égales à 𝑏. C’est-à-dire que sinus 90 degrés moins 𝜃 égal cosinus 𝜃. L’identité des angles complémentaires pour la tangente est légèrement différente. Notez que tangent 90 degrés moins 𝜃 est égal à 𝑏 sur 𝑎. Mais tangente 𝜃 est égal à 𝑎 sur 𝑏. Si on prend l’inverse de tangente 𝜃, c’est-à-dire un sur tangente 𝜃, cela est égal à 𝑏 sur 𝑎. Puis on sait que l’inverse de tangente 𝜃 est égal à cotangente 𝜃 car cotangente 𝜃 est égal au côté adjacent sur le côté opposé, ce qui démontre cette troisième identité des angles complémentaires tangente 90 moins 𝜃 égal cotangent 𝜃.

Rappelons maintenant les identités de parité des fonctions trigonométriques. Les identités de parité sont les suivantes. Sinus moins 𝜃 égal moins sinus 𝜃, ce qui fait de sinus une fonction impaire. Cosinus moins θ égal cosinus 𝜃, ce qui fait de cosinus une fonction paire. Et tangente moins 𝜃 égale moins tangente 𝜃, ce qui fait de tangente une fonction impaire. Nous pouvons à nouveau les démontrer avec le cercle trigonométrique. Pour un angle 𝜃, dans le premier quadrant du cercle trigonométrique, nous pouvons tracer un triangle rectangle de côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏, puis tracer aussi l’angle moins 𝜃. On rappelle que ce signe moins indique qu’on mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, et l’angle est donc situé dans le quatrième quadrant. À nouveau, nous voyons que cet angle peut former un triangle rectangle ayant des côtés de longueur 𝑎 et 𝑏 et une hypoténuse de longueur un.

Afin de calculer sinus moins 𝜃, nous raisonnons sur les signes des fonctions trigonométriques dans les quatre quadrants. Dans le quatrième quadrant, seule la fonction cosinus est positive. Les fonctions sinus et tangente sont négatives. Comme le sinus est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, il est égal à moins 𝑏 dans le quatrième quadrant. Le cosinus est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, soit 𝑎 sur un. Et dans le quatrième quadrant, le cosinus est positif. Donc cosinus moins 𝜃 égal plus 𝑎. De même, tangente moins 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent et est négative dans le quatrième quadrant, ce qui nous donne tangente moins 𝜃 égale moins 𝑏 sur 𝑎.

Si on cherche le sinus 𝜃 qui est situé dans le premier quadrant, on voit qu’il est égal à 𝑏 sur un. Cosinus 𝜃 est égal à 𝑎 sur un, et tangente 𝜃 est égale à 𝑏 sur 𝑎. Notez que pour le cosinus, cosinus moins 𝜃 égal 𝑎 et cosinus plus 𝜃 égal 𝑎. Nous reconnaissons donc qu’il s’agit d’une fonction paire et retrouvons l’identité de parité. Mais qu’en est-il des deux autres fonctions impaires? Si on multiplie sinus 𝜃 et 𝑏 par moins un, on voit que moins sinus 𝜃 égal moins 𝑏. De même, si on multiplie tangente θ par moins un, on obtient moins tangente 𝜃. On doit également multiplier l’autre membre de l’équation par moins un, ce qui donne moins 𝑏 sur 𝑎. Et nous trouvons donc que sinus moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃 et que tangente moins 𝜃 est égale à moins tangente 𝜃.

Étudions maintenant un exemple où nous devons utiliser ces identités pour résoudre une équation trigonométrique.

Déterminez la valeur de cosinus 90 degrés plus 𝜃 sachant que sinus 𝜃 égal trois cinquièmes, où 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés.

On nous donne le sinus de l’angle 𝜃, et nous devons calculer le cosinus de 90 degrés plus 𝜃. Nous pourrions le faire avec un graphique. Cependant, une approche beaucoup plus simple consiste à reformuler cette expression en utilisant des identités d’angles complémentaires. Il y a en fait plusieurs façons de la reformuler en utilisant ces identités. Nous allons en présenter une. Si nous souhaitons utiliser cette identité d’angles complémentaires sur cosinus de 90 degrés plus 𝜃, nous pouvons réécrire ceci comme cosinus 90 degrés moins moins 𝜃. Puis, en utilisant l’identité d’angles complémentaires, on peut dire que cosinus 90 degrés moins moins 𝜃 est égal à sinus moins 𝜃.

En regardant sinus moins 𝜃, on rappelle que la fonction sinus est impaire. Et que sinus moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Et nous connaissons la valeur de sinus 𝜃. Dans ce cas, sinus 𝜃 est égal à trois cinquièmes, ce qui signifie que sinus moins 𝜃 est égal à moins trois cinquièmes. Nous avons commencé avec cosinus 90 degrés plus 𝜃. Et en utilisant les identités d’angles complémentaires et les identités de parité, nous avons pu déterminer que cela est égal à moins trois cinquièmes. Avant de poursuivre, nous pouvons montrer une représentation graphique de cela. Nous traçons un cercle trigonométrique avec un angle 𝜃, sachant que 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés. Et si sinus 𝜃 est égal à trois cinquièmes, alors le côté opposé sur l’hypoténuse doit être égal à trois cinquièmes.

Nous recherchons cosinus 90 degrés plus 𝜃. Si on ajoute 90 degrés à cet angle, le rayon est toujours égal à un car il s’agit du cercle trigonométrique. Et comme on a effectué une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, la distance entre le nouveau point et l’axe des ordonnées est de trois cinquièmes. Et quand on travaille dans le cercle trigonométrique, le cosinus d’un angle est égal à l’abscisse 𝑥 du point, qui est égale à moins trois cinquièmes dans ce cas, ce qui confirme que cosinus 90 degrés plus 𝜃 est égal à moins trois cinquièmes.

Dans l’exemple suivant, nous allons combiner plusieurs fonctions trigonométriques. Cela rend l’approche graphique beaucoup plus compliquée et nous devrons donc combiner plusieurs identités d’angles complémentaires pour simplifier.

Trouvez la valeur de sinus 180 degrés moins 𝑥 plus tangente 360 degrés moins 𝑥 plus sept sinus 270 degrés moins 𝑥 sachant que sinus 𝑥 est égal à trois cinquièmes, où 𝑥 est compris entre zéro et 90 degrés.

Nous avons une expression que nous voulons simplifier et qui comporte trois termes. Et nous savons que sinus 𝑥 est égal à trois cinquièmes. Pour simplifier la totalité de l’expression, nous allons considérer chacun de ces termes à tour de rôle, en commençant par sinus 180 degrés moins 𝑥. Une des identités d’angles complémentaires indique que sinus 90 degrés moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. Le terme en sinus ne ressemble pas exactement à ceci, mais on peut le réécrire comme sinus 90 degrés plus 90 degrés moins 𝑥. On recherche quelque chose de la forme 90 degrés moins 𝜃. Et cela signifie qu’on peut le reformuler l’angle par 90 degrés moins 𝑥 moins 90 degrés, où on pose 𝜃 égal 𝑥 moins 90 degrés. Alors cela sera égal à cosinus 𝜃, où θ est égal à 𝑥 moins 90 degrés. Cela semble très proche de cosinus 90 degrés moins 𝜃. Mais pour simplifier cette partie de la fonction, on rappelle d’abord que la fonction cosinus est paire.

On sait que cosinus moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. Cela signifie que cosinus 𝑥 moins 90 est égal à cosinus moins 𝑥 moins 90, soit cosinus 90 degrés moins 𝑥. Cosinus 90 degrés moins 𝜃 est égal à sinus 𝜃. Et nous pouvons donc dire que sinus 180 degrés moins 𝑥 est égal à sinus 𝑥. Cela simplifie le premier terme. Pour le deuxième terme, au lieu d’utiliser les identités d’angles complémentaires, on rappelle que la fonction tangente est périodique et que tangente 𝜃 plus ou moins 180 degrés est égale à tangente 𝜃. On essaie de réécrire ce terme sous une forme adaptée et on peut donc dire qu’il est égal à tangente 180 degrés plus 180 degrés moins 𝑥. Si on pose 𝜃 égal à 180 degrés moins 𝑥, on a maintenant tangente 𝜃 plus 180 degrés, qui est égale à tangente 180 degrés moins 𝑥.

On souhaite utiliser cette périodicité une seconde fois, alors on pose 𝜃 égal à moins 𝑥. On a alors tangente 180 degrés moins 𝑥 égale à tangente moins 𝑥 plus 180 degrés. Et cette périodicité nous permet de simplifier ceci en tangente moins 𝑥. On sait que la fonction tangente est impaire donc tangente moins 𝑥 est égale à moins tangente 𝑥. Notre expression est maintenant sin us 𝑥 moins tan 𝑥. Et nous devons simplifier ce troisième terme. Cette fois-ci, on utilise la périodicité du sinus selon laquelle sinus 𝜃 plus ou moins 360 degrés est égal à sinus 𝜃. Si on pose 𝜃 égal à 270 moins 𝑥, on peut soustraire 360 degrés à l’argument du sinus. 270 moins 360 égal moins 90. L’argument à l’intérieur du sinus devient moins 90 degrés moins 𝑥. Comme le sinus est une fonction impaire, sept sinus moins 90 degrés moins 𝑥 est égal à moins sept sinus 90 degrés plus 𝑥.

Pour utiliser l’identité d’angles complémentaires ici, on réécrit cela comme 90 moins moins 𝑥, ce qui se simplifie en moins sept cosinus moins 𝑥. Et comme le cosinus est une fonction paire, moins sept fois cosinus moins 𝑥 sera égal moins sept fois cosinus 𝑥. La nouvelle expression est alors sinus 𝑥 moins tangente 𝑥 moins sept cosinus 𝑥. Et puisque nous savons que 𝑥 est un angle aigu, nous pouvons déterminer les autres valeurs en utilisant la trigonométrie dans les triangles rectangle. Nous dessinons un triangle rectangle avec un angle 𝑥 dont le sinus est égal à trois cinquièmes. Le sinus est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. On peut considérer alors qu’il s’agit d’un triangle rectangle ayant des côtés de longueurs proportionnels à trois quatre et cinq.

Nous pourrions bien sûr utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer cet angle inconnu. Mais comme il a son sinus égal à trois sur cinq, alors considérant cette proportion et ces longueurs, ce troisième côté doit être égal à quatre. Sinus 𝑥 égale trois cinquièmes moins tan 𝑥 - qui est égal au côté opposé sur le côté adjacent, trois quatrième - moins sept fois le cosinus, qui est égal à quatre sur cinq, le côté adjacent sur l’hypoténuse. Et trois cinquièmes moins trois quatrièmes moins sept fois quatre cinquièmes est égal à moins vingt-trois quatrièmes.

Étudions un dernier exemple où nous devons utiliser les identités d’angles complémentaires pour évaluer des relations dans un triangle.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵. Calculez cotangente 𝛼 sachant que cotangente 𝜃 est égale à quatre tiers.

Comme 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle, nous pouvons également dire que 𝐴𝐵𝐷 est un triangle rectangle. Et cela signifie que nous pouvons dire que l’angle 𝐴𝐷𝐵 est égal à 90 degrés moins 𝜃. Cela signifie également que nous pouvons dire que 𝛼 plus 90 degrés moins 𝜃 est égal à 180 degrés car 𝐵𝐶 est une ligne droite. Puis, si on soustrait 90 degrés aux deux membres de cette équation, on obtient 90 degrés égale 𝛼 moins 𝜃. Et ajouter 𝜃 aux deux membres donne 𝛼 égale 90 degrés plus 𝜃, ce qui signifie que cotangente 𝛼 est égale à cotangente 90 degrés plus 𝜃. Il semble maintenant que nous nous rapprochons de la solution car nous connaissons la cotangente de 𝜃. D’après l’identité d’angles complémentaires, on sait que tangente 90 degrés moins 𝜃 est égale à cotangente 𝜃 ; on souhaite donc reformuler cotangente 90 degrés plus 𝜃.

On peut la réécrire comme cotangente 90 degrés moins moins 𝜃. Puis on l’écrit en fonction de la tangente car la cotangente est l’inverse de la tangente. On peut dire que c’est égal à un sur tangente 90 degrés moins moins 𝜃 et que tangente 90 degrés moins moins 𝜃 se simplifie en cotangente moins 𝜃. On a maintenant un sur cotangente moins 𝜃, qui est égal à tangente moins 𝜃. Et comme tangente est une fonction impaire, tangente moins 𝜃 égale moins tangente 𝜃 ; ce qui signifie qu’on peut simplifier ceci en moins tangente 𝜃.

En revenant au schéma, si cotangente 𝜃 est égal à quatre tiers, et donc si 𝐴𝐵 est égal à quatre et 𝐵𝐷 est égal à trois, alors tangente 𝜃 est le côté opposé sur le côté adjacent, qui est ici les trois quarts. Et nous avons besoin de moins la tangente, soit moins trois quatrièmes. Nous avons montré que cotangente 𝛼 est égale à moins tangente 𝜃 et que sa valeur est donc moins trois quatrièmes.

Avant de terminer, passons rapidement en revue quelques points clés. Les identités d’angles complémentaires et les identités de parité facilitent la simplification des expressions trigonométriques. Ces identités peuvent être combinées avec d’autres identités et propriétés trigonométriques pour évaluer des expressions. Voici les trois identités d’angles complémentaires et les trois identités de parité que nous avons étudiées.