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Vidéo de la leçon : Évaluer des fonctions trigonométriques à l’aide des identités des angles complémentaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les identités des angles complémentaires et les identités de parité pour calculer les valeurs de fonctions trigonométriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les identités des angles complémentaires et les identités de parité pour calculer les valeurs de fonctions trigonométriques. Les fonctions trigonométriques ont de nombreuses propriétés et identités différentes qui nous aident à simplifier et à résoudre des équations. Dans cette leçon, nous allons rappeler les identités des angles complémentaires et les identités de parité, puis les utiliser pour résoudre des problèmes.

Rappelons tout d’abord les identités des angles complémentaires qui stipulent que sinus de 90 degrés moins 𝜃 égale cosinus de 𝜃. cosinus de 90 degrés moins 𝜃 égale sinus de 𝜃. Et tangente de 90 degrés moins 𝜃 égale cotangente de 𝜃. Dans le cas où nous travaillons en radians, nous devons substituer 𝜋 sur deux à 90 degrés.

Nous pouvons démontrer graphiquement ces identités des angles complémentaires en utilisant le cercle trigonométrique. Pour un angle 𝜃 dans le cercle trigonométrique, on peut considérer qu’il forme un triangle rectangle avec une hypoténuse de un et des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏. On sait que le sinus de 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, soit 𝑎 sur un dans ce cas. Donc sin 𝜃 égale 𝑎. Le cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, 𝑏 sur un, donc 𝑏. Et la tangente de 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent, 𝑎 sur 𝑏. Nous souhaitons maintenant établir une relation entre 𝜃 et 90 moins 𝜃.

Dans le cercle trigonométrique sur ce repère, l’angle entre θ et 90 degrés peut être noté 90 moins 𝜃. Et nous pouvons ainsi créer un deuxième triangle rectangle dans le premier quadrant, qui a toujours une hypoténuse de longueur 1 et des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏. En observant le nouveau triangle en jaune, le sinus de 90 moins 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, qui est dans ce cas 𝑏 sur un. Par conséquent, sin de 90 moins 𝜃 égale 𝑏. Le cosinus de 90 moins 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Dans ce cas, il est égal à 𝑎. Et la tangente de 90 degrés moins 𝜃 est alors égale à 𝑏 sur 𝑎 ; nous avons donc démontré ces identités d’angles complémentaires. sin 𝜃 et cos de 90 degrés moins 𝜃 sont tous les deux égaux à 𝑎, comme nous l’attendions d’après l’identité des angles complémentaires.

Nous avons également démontré que cos 𝜃 et sin de 90 degrés moins 𝜃 égalent 𝑏. C’est-à-dire que sin de 90 degrés moins 𝜃 égale cos 𝜃. L’identité des angles complémentaires pour la tangente est légèrement différente. Notez que tan de 90 degrés moins 𝜃 égale 𝑏 sur 𝑎. Mais tan 𝜃 égale 𝑎 sur 𝑏. Si on prend l’inverse de tan 𝜃, c’est-à-dire un sur tan 𝜃, cela est égal à 𝑏 sur 𝑎. Puis on reconnaît que l’inverse de la tangente de 𝜃 est égal à la cotangente de 𝜃 car la cotangente de 𝜃 est égale au côté adjacent sur le côté opposé, ce qui démontre cette troisième identité des angles complémentaires: tan de 90 moins 𝜃 égale cot 𝜃.

Rappelons maintenant les identités de parité des fonctions trigonométriques. Les identités de parité sont les suivantes. sinus de moins 𝜃 égale moins sinus de 𝜃, ce qui fait du sinus une fonction impaire. cosinus de moins θ égale cosinus de 𝜃, ce qui fait du cosinus une fonction paire. Et tangente de moins 𝜃 égale moins tangente de 𝜃, ce qui fait de la tangente une fonction impaire. Nous pouvons à nouveau les démontrer avec le cercle trigonométrique. Pour un angle 𝜃, dans le premier quadrant du cercle trigonométrique, nous pouvons créer un triangle rectangle avec des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏, puis tracer l’angle moins 𝜃. On rappelle que son signe négatif indique qu’il est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre, et l’angle est donc situé dans le quatrième quadrant. À nouveau, nous voyons que cet angle peut former un triangle rectangle avec des côtés de longueur 𝑎 et 𝑏 et une hypoténuse de un.

Afin de calculer sinus de moins 𝜃, nous utilisons le diagramme CEST qui nous aide à déterminer les signes des fonctions trigonométriques dans les quatre quadrants. Dans le quatrième quadrant, seule la fonction cosinus est positive. Les fonctions sinus et tangente sont négatives. Comme le sinus est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, il est égal à moins 𝑏 dans le quatrième quadrant. Le cosinus est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, qui est 𝑎 sur un. Et dans le quatrième quadrant, le cosinus est positif. Donc cos de moins 𝜃 égale plus 𝑎. De même, tangente de moins 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent et est négative dans le quatrième quadrant, ce qui nous donne tan de moins 𝜃 égale moins 𝑏 sur 𝑎.

Si on cherche le sinus de 𝜃 qui est situé dans le premier quadrant, on voit qu’il est égal à 𝑏 sur un. Cos 𝜃 égale 𝑎 sur un, et tan 𝜃 égale 𝑏 sur 𝑎. Notez que pour le cosinus, cos de moins 𝜃 égale 𝑎 et cos de plus 𝜃 égale 𝑎. Nous reconnaissons donc qu’il s’agit d’une fonction paire et retrouvons l’identité de parité. Mais qu’en est-il des deux autres fonctions impaires? Si on multiplie sin 𝜃 et 𝑏 par moins un, on voit que moins sin 𝜃 égale moins 𝑏. De même, si on multiplie tan θ par moins un, on obtient moins tan 𝜃. On doit également multiplier l’autre membre de l’équation par moins un, ce qui donne moins 𝑏 sur 𝑎. Et nous trouvons donc que sin de moins 𝜃 égale moins sin 𝜃 et que tan de moins 𝜃 égale moins tan 𝜃.

Étudions maintenant un exemple où nous devons utiliser ces identités pour résoudre une équation trigonométrique.

Déterminez la valeur de cosinus de 90 degrés plus 𝜃 sachant que sinus de 𝜃 égale trois sur 5, où 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés.

Nous connaissons le sinus de l’angle 𝜃, et nous devons calculer cos de 90 degrés plus 𝜃. Nous pourrions le faire avec un graphique. Cependant, une approche beaucoup plus simple consiste à reformuler cette expression en utilisant des identités d’angles complémentaires. Il y a en fait plusieurs façons de la reformuler en utilisant ces identités. Nous allons en présenter une. Si nous souhaitons utiliser cette identité des angles complémentaires sur cos de 90 degrés plus 𝜃, nous pouvons le reformuler par cos de 90 degrés moins moins 𝜃. Puis, en utilisant l’identité des angles complémentaires, on peut dire que cos de 90 degrés moins moins 𝜃 égale sin de moins 𝜃.

Pour sin de moins 𝜃, on rappelle que la fonction sinus est impaire. Et que sin de moins 𝜃 égale moins sin 𝜃. Et nous connaissons la valeur de sin 𝜃. Dans ce cas, sin 𝜃 égale trois sur 5, ce qui signifie que sin de moins 𝜃 égale moins trois sur 5. Nous avons commencé avec cos de 90 degrés plus 𝜃. Et en utilisant les identités des angles complémentaires et les identités de parité, nous avons pu déterminer que cela est égal à moins trois sur 5. Avant de poursuivre, nous pouvons montrer une représentation graphique de cela. Nous traçons un cercle trigonométrique avec un angle 𝜃, sachant que 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés. Si sin 𝜃 égale trois sur 5, alors le côté opposé sur l’hypoténuse doit être égal à trois sur 5.

Nous recherchons cos de 90 degrés plus 𝜃. Si on ajoute 90 degrés à cet angle, le rayon est toujours égal à un car il s’agit du cercle trigonométrique. Et comme on a effectué une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, la distance entre le nouveau point et l’axe des ordonnées est de trois sur 5. Dans le cercle trigonométrique, le cosinus d’un angle est égal à l’abscisse du point, qui est égale à moins trois sur 5 dans ce cas; ce qui confirme que cos de 90 degrés plus 𝜃 égale moins trois sur 5.

Dans l’exemple suivant, nous allons combiner plusieurs fonctions trigonométriques. Cela rend l’approche graphique beaucoup plus compliquée et nous devrons donc utiliser plusieurs identités des angles complémentaires pour simplifier.

Calculez la valeur de sinus de 180 degrés moins 𝑥 plus tangente de 360 degrés moins 𝑥 plus sept sinus de 270 degrés moins 𝑥 sachant que sinus de 𝑥 égale trois sur 5, où 𝑥 est compris entre zéro et 90 degrés.

L’expression que nous voulons simplifier comporte trois termes. Et nous savons que le sin 𝑥 égale trois sur 5. Pour simplifier la totalité de l’expression, nous allons considérer chacun de ces termes à tour de rôle, en commençant par sin de 180 degrés moins 𝑥. Une des identités des angles complémentaires indique que sin de 90 degrés moins 𝜃 égale cos 𝜃. Le terme en sinus ne ressemble pas exactement à ceci, mais on peut le reformuler comme sin de 90 degrés plus 90 degrés moins 𝑥. On recherche quelque chose de la forme 90 degrés moins 𝜃. Et cela signifie qu’on peut le reformuler par 90 degrés moins 𝑥 moins 90 degrés, où on définit 𝜃 égale 𝑥 moins 90 degrés. On obtient alors cos 𝜃, où θ égale 𝑥 moins 90 degrés. Cela semble très proche de cos de 90 degrés moins 𝜃. Pour simplifier cette partie de la fonction, on rappelle d’abord que la fonction cosinus est paire.

Donc cos de moins 𝜃 égale cos 𝜃. Cela signifie que cos de 𝑥 moins 90 égale cos de moins 𝑥 moins 90, soit cos de 90 degrés moins 𝑥. Cos de 90 degrés moins 𝜃 égal sin 𝜃. Et nous pouvons donc dire que sin de 180 degrés moins 𝑥 égale sin 𝑥. Cela simplifie le premier terme. Pour le deuxième terme, au lieu d’utiliser les identités des angles complémentaires, on rappelle que la fonction tangente est périodique et que tan de 𝜃 plus ou moins 180 degrés égale tan 𝜃. On essaie de reformuler ce terme sous une forme adaptée; et on peut donc dire qu’il est égal à tan de 180 degrés plus 180 degrés moins 𝑥. Si on définit 𝜃 égale 180 degrés moins 𝑥, on a maintenant tan de 𝜃 plus 180 degrés, qui est égale à tan de 180 degrés moins 𝑥.

On utilise cette périodicité une seconde fois en définissant 𝜃 égale moins 𝑥. tan de 180 degrés moins 𝑥 égale tan de moins 𝑥 plus 180 degrés. Et la périodicité nous permet de simplifier par tan de moins 𝑥. On sait que la fonction tangente est impaire donc tan de moins 𝑥 égale moins tan 𝑥. Notre expression est maintenant sin 𝑥 moins tan 𝑥. Et nous devons simplifier le troisième terme. Cette fois, on utilise la périodicité du sinus selon laquelle sin de 𝜃 plus ou moins 360 degrés égale sin 𝜃. Si on définit 𝜃 égale 270 moins 𝑥, on peut soustraire 360 degrés à l’argument du sinus. 270 moins 360 égale moins 90. L’argument à l’intérieur du sinus devient moins 90 degrés moins 𝑥. Comme le sinus est une fonction impaire, sept sin de moins 90 degrés moins 𝑥 égale moins sept sin de 90 degrés plus 𝑥.

Pour utiliser l’identité des angles complémentaires, on le reformule par 90 moins moins 𝑥, ce qui se simplifie par moins sept cos de moins 𝑥. Et comme le cosinus est une fonction paire, moins sept cos de moins 𝑥 égale moins sept cos 𝑥. La nouvelle expression est alors sin 𝑥 moins tan 𝑥 moins sept cos 𝑥. Et puisque nous savons que 𝑥 est un angle aigu, nous pouvons déterminer les autres valeurs en utilisant la trigonométrie des triangles rectangle. Nous dessinons un triangle rectangle avec un angle 𝑥 dont le sinus est égal à trois sur 5. Le sinus est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. On reconnaît alors qu’il s’agit d’un triangle rectangle dans les proportions trois-quatre-cinq.

Nous pourrions bien sûr utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer cet angle inconnu. Mais comme son sinus est égal à trois sur cinq, nous savons que ce troisième côté doit être un multiple de quatre. sin 𝑥 égale trois sur 5 moins tan 𝑥 - qui est égal au côté opposé sur le côté adjacent, trois sur 4 - moins sept fois le cosinus, qui est égal à quatre sur cinq, le côté adjacent sur l’hypoténuse. Et trois sur 5 moins trois sur 4 moins sept fois quatre sur 5 égale moins vingt-trois sur 4.

Étudions un dernier exemple où nous devons utiliser les identités des angles complémentaires pour évaluer des relations dans un triangle.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵. Calculez cotangente de 𝛼 sachant que cotangente de 𝜃 égale quatre sur 3.

Comme 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle, nous pouvons également dire que 𝐴𝐵𝐷 est un triangle rectangle. Et cela signifie que nous pouvons identifier que l’angle 𝐴𝐷𝐵 est égal à 90 degrés moins 𝜃. Cela signifie également que nous pouvons dire que 𝛼 plus 90 degrés moins 𝜃 égale 180 degrés car 𝐵D𝐶 est un angle plat. Puis, si on soustrait 90 degrés aux deux membres de cette équation, on obtient 90 degrés égale 𝛼 moins 𝜃. Et ajouter 𝜃 aux deux membres donne 𝛼 égale 90 degrés plus 𝜃, ce qui signifie que cot 𝛼 égale cot de 90 degrés plus 𝜃. Il semble maintenant que nous nous rapprochons de la solution car nous connaissons la cotangente de 𝜃. D’après l’identité des angles complémentaires, on sait que tan de 90 degrés moins 𝜃 égale cot 𝜃 ; on souhaite donc reformuler cot de 90 degrés plus 𝜃.

On peut le reformuler par cot de 90 degrés moins moins 𝜃. Puis on l’écrit en fonction de la tangente car la cotangente est l’inverse de la tangente. On peut dire que c’est égal à un sur tan de 90 degrés moins moins 𝜃 et que tan de 90 degrés moins moins 𝜃 se simplifie par cot de moins 𝜃. On a maintenant un sur cot de moins 𝜃, qui est égal à tan de moins 𝜃. Et comme tan est une fonction impaire, tan de moins 𝜃 égale moins tan 𝜃 ; ce qui signifie que l’on peut simplifier par moins tan 𝜃.

En revenant au schéma où cotangente de 𝜃 égale quatre sur 3, tangente de 𝜃 est son inverse et est donc égale à trois sur 4. Et nous avons besoin de moins la tangente, soit moins trois sur 4. Nous avons montré que la cotangente de 𝛼 est égale à moins la tangente de 𝜃 et que sa valeur est donc moins trois sur 4.

Avant de terminer, passons rapidement en revue quelques points clés. Les identités des angles complémentaires et les identités de parité facilitent la simplification des expressions trigonométriques. Ces identités peuvent être combinées avec d’autres identités et propriétés trigonométriques pour évaluer des expressions. Voici les trois identités des angles complémentaires et les trois identités de parité que nous avons explorées.

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