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Si une courbe représente une fonction, combien de points d’intersection a-t-elle avec une droite verticale ?
Pour répondre à cette question, nous allons devoir commencer par rappeler ce que nous entendons par fonction. Une fonction associe chaque élément d’un ensemble à exactement un élément d’un second ensemble. Et puisque nous associons les éléments d’un ensemble à un autre, nous considérons que le premier ensemble est notre ensemble de départ et que notre second ensemble est l’ensemble d’arrivée. Nous pouvons donc penser à cette définition en termes d’antécédents et d’images. Une fonction prendra un antécédent et l’enverra exactement sur une image. Nous voulons voir en quoi cette définition est liée à la courbe représentative d’une fonction et au nombre d’intersections qu’elle aura avec une droite verticale.
Pour ce faire, commençons par rappeler comment nous représentons graphiquement une fonction. Et une manière de le faire est de considérer un exemple. Considérons la droite d’équation 𝑦 égal 𝑥 plus un. Dans un graphique, les abscisses 𝑥 des points de la courbe représentent les antécédents et les ordonnées 𝑦 représentent les images correspondantes. Ainsi, chaque point de la courbe de cette fonction aura des coordonnées de la forme 𝑥, 𝑓 de 𝑥 ou autrement dit 𝑥, 𝑥 plus un. Considérons maintenant une droite verticale sur notre graphique, par exemple, la droite d’équation 𝑥 égal moins deux. Sur ce graphique, nous pouvons voir qu’il n’y a qu’un seul point d’intersection. Et nous savons comment trouver l’ordonnée 𝑦 de ce point d’intersection. L’abscisse 𝑥 de ce point est moins deux. Ainsi, l’ordonnée 𝑦 correspondante du point d’intersection est la valeur de 𝑓 évaluée en moins deux. Et moins deux plus un égal moins un.
Nous pouvons ainsi remarquer quelque chose d’intéressant. Chaque intersection entre cette droite verticale et la courbe représentative de la fonction nous donne une image de moins deux par la fonction. Cela nous permet de prouver qu’il n’y a pas de deuxième point d’intersection entre la droite verticale et la courbe représentative de notre fonction, puisque chaque point d’intersection aura des coordonnées de la forme moins deux, 𝑓 de moins deux. Et la définition d’une fonction nous dit qu’il n’y a qu’une seule image. Nous pourrions être tentés de répondre à notre question en disant simplement qu’il y a qu’un point d’intersection. Cependant, nous devons être très prudents. En vérité nous avons seulement montré qu’il y a au plus un point d’intersection. En fait, nous pouvons prouver qu’il n’y a pas nécessairement de point d’intersection.
Par exemple, considérons la courbe de la fonction d’équation 𝑦 égal racine de 𝑥. Nous savons qu’il n’y a pas de point d’intersection entre la droite verticale d’équation 𝑥 égal moins un et la courbe d’équation 𝑦 égal racine de 𝑥. Et cela parce qu’aucune valeur négative de 𝑥 n’est dans l’ensemble de définition de notre fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. Cependant, cette fonction prend toujours un antécédent et nous donne exactement une image, donc c’est toujours une fonction. Il est donc possible que la droite verticale et la courbe de notre fonction ne se croisent pas du tout, mais elles ne peuvent pas se croiser deux fois ou plus. Par conséquent, nous avons montré que la courbe d’une fonction et une droite verticale se croisent au plus une fois.
