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A l’université, il y avait 560 façons de sélectionner 13 étudiants pour participer à un séminaire. Déterminez le nombre d’élèves à l’université.
Dans cette question, on nous a donné le nombre de façons différentes de choisir 13 élèves sur le nombre total d’élèves dans une université. Commençons par poser le nombre total d’élèves que nous avons à l’université comme étant 𝑛. La question nous parle en fait de combinaisons. Il s’agit d’une façon de calculer le nombre total d’issues d’un événement où l’ordre n’a pas d’importance. Nous disons que le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments sur un total de 𝑛 éléments où l’ordre n’est pas important est 𝑟 parmi 𝑛, où 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑟 multiplié par factorielle 𝑛 moins 𝑟.
Dans cette question, nous avons déjà défini 𝑛 comme le nombre total d’étudiants. On nous dit qu’il y a 560 façons de sélectionner 13 de ces étudiants. Ainsi, 𝑟 est égal à 13 et 13 parmi 𝑛 est égal à 560. Cela signifie que factorielle 𝑛 divisé par factorielle 13 multiplié par factorielle 𝑛 moins 13 est égal à 560.
Nous avons maintenant une équation en fonction de 𝑛. Comment résoudre cette équation ? Bien, nous pourrions imaginer le développement de factorielle 𝑛. Nous savons que cela donne 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux, ainsi de suite. Si nous continuons comme ceci jusqu’à aller à 𝑛 moins 13, nous pourrions simplifier en divisant par factorielle 𝑛 moins 13 le numérateur et le dénominateur de notre fraction. Le problème est que nous avons alors 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux jusqu’à 𝑛 moins 12, ce qui n’est toujours pas une équation particulièrement agréable à résoudre. Par conséquent, puisque 13 parmi 𝑛 n’est pas un nombre particulièrement élevé, nous allons simplement essayer des valeurs jusqu’à tomber sur la bonne.
Nous pourrions commencer par supposer qu’il y a 14 étudiants dans la classe et essayer 𝑛 est égal à 14. Cependant, il convient de rappeler que 𝑛 moins un parmi 𝑛 est simplement égal à 𝑛. Cela signifie que 13 parmi 14 est égal à 14 et non à 560. Considérons plutôt 𝑛 est égal à 15. En utilisant la formule générale, 13 parmi 15 est égal à factorielle 15 divisé par factorielle 13 multiplié par factorielle deux. Nous savons que nous pouvons écrire factorielle 15 comme 15 multiplié par 14 multiplié par factorielle 13. En divisant le numérateur et le dénominateur par factorielle 13, nous avons 15 multiplié par 14 divisé par factorielle deux. Puisque factorielle deux est égal à deux, nous avons 15 multiplié par 14 divisé par deux, c’est-à-dire 105. 13 parmi 15 vaut 105 et non 560. S’il y avait 15 élèves dans la classe, il y aurait 105 façons de sélectionner 13 élèves.
Essayons ensuite avec 𝑛 est égal à 16. 13 parmi 16 est égal à factorielle 16 divisé par factorielle 13 multiplié par trois factorielle. Le numérateur peut être simplifié comme précédemment. Nous pouvons, encore une fois, diviser le haut et le bas de notre fraction par factorielle 13, ce qui nous laisse avec 16 multiplié par 15 multiplié par 14 divisé par six. Cela équivaut à 560.
Nous pouvons donc en conclure que le nombre de façons différentes de sélectionner 13 étudiants sur un total de 16 étudiants est de 560. Il y a donc 16 élèves dans l’université.
