Transcription de la vidéo
Considérons deux vecteurs 𝐂 égal 15𝐢 plus sept 𝐣 et 𝐃 égal quatre 𝐢 plus neuf 𝐣. Calculez 𝐂 vectoriel 𝐃. Calculez 𝐃 vectoriel 𝐂.
Nous sommes chargés de calculer les produits vectoriels, en utilisant les vecteurs 𝐂 et 𝐃 définis au-dessus. Chaque fois que nous devons effectuer plusieurs calculs, ça peut être intéressant de prendre un moment pour voir si ces calculs sont liés. Dans ce cas particulier, les calculs sont directement liés. C’est une propriété du produit vectoriel que changer l’ordre des deux vecteurs ne change que le signe de la réponse finale. Algébriquement, nous écrivons 𝐂 vectoriel 𝐃 est égal à moins 𝐃 vectoriel 𝐂. Donc, nous n’avons besoin que de calculer l’un de ces produits vectoriels, soit 𝐂 vectoriel 𝐃 ou 𝐃 vectoriel 𝐂, car nous pouvons alors trouver l’autre immédiatement en inversant le signe.
Bon, donc au lieu de deux produits vectoriels, nous pouvons en fait répondre aux deux parties de cette question après avoir calculé un seul produit vectoriel. Voyons donc comment faire le produit vectoriel de deux vecteurs. Nous pouvons écrire une formule simple pour ce produit vectoriel en notant que 𝐂 et 𝐃 sont écrits en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, et 𝐢 et 𝐣 pointent, respectivement, vers la direction des 𝑥-positifs et des 𝑦-positifs des axes cartésiens. Pour comprendre pourquoi cela est important, nous avons dessiné un ensemble d’axes cartésiens en trois dimensions, où 𝑥 augmente en bas à gauche, 𝑦 augmente à droite et 𝑧 augmente vers le haut. Notons, bien sûr, que ce n’est qu’une image en deux dimensions de ce qui est en réalité un objet en trois dimensions.
En tout cas, le vecteur 𝐢 est défini comme pointant dans la direction 𝑥 positive et de norme un. Le vecteur 𝐣 est défini comme pointant dans la direction 𝑦 positive et de norme un. Et comme nous pouvons le voir, cela laisse de la place pour un troisième vecteur unitaire pointant dans la direction 𝑧 positive également avec une norme un, et nous appelons ce vecteur 𝐤. Maintenant, le produit vectoriel de deux vecteurs non parallèles est toujours perpendiculaire au plan qui contient ces deux vecteurs. Puisque les vecteurs 𝐂 et 𝐃 sont tous deux exprimés en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, ils existent tous deux dans le plan 𝑥𝑦. Et donc leur produit vectoriel doit être perpendiculaire au plan 𝑥𝑦, c’est-à-dire dans la direction 𝐤 positive ou éventuellement dans la direction négative.
Maintenant, rappelez-vous que 𝐂 croix 𝐃 et 𝐃 croix 𝐂 ne diffèrent que par un signe négatif. Ainsi, l’un d’entre eux sera dans le sens de 𝐤 positive et l’autre sera dans le sens de 𝐤 négative. Maintenant, parce que ces produits vectoriels seront dans le sens négatif de 𝐤, nous pouvons écrire la formule simple 𝐂 vectoriel 𝐃 est la composante 𝑥 de 𝐂 fois la composante 𝑦 de 𝐃 moins la composante 𝑦 de 𝐂 fois la composante 𝑥 de 𝐃 dans la direction 𝐤. Si la quantité entre parenthèses est positive, la direction sera positive selon 𝐤. Et si la quantité entre parenthèses est négative, la direction sera négative selon 𝐤.
Nous pouvons également voir à partir de cette formule pourquoi changer l’ordre des vecteurs change le signe du produit vectoriel. Lorsque nous échangeons 𝐂 et 𝐃 à gauche de cette équation, nous devons également échanger les deux termes entre parenthèses. Mais échanger ces deux termes équivaut à multiplier le tout par moins un. Nous devons également mentionner que lorsque nous écrivons un vecteur sous forme de somme en termes de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, la composante 𝑥 est le nombre multipliant le vecteur unitaire 𝐢, et la composante 𝑦 est le nombre multipliant le vecteur unitaire 𝐣. C’est parfaitement logique. Comme nous pouvons le voir sur la figure en bas à gauche, 𝐢 est suivant l’axe des 𝑥 et 𝐣 est suivant l’axe des 𝑦.
Maintenant, tout ce que nous devons faire est de remplacer les nombres et de calculer. En commençant par 𝐂 vectoriel 𝐃, nous avons 15 fois neuf, ce qui est 𝐶 𝑥 fois 𝐷 𝑦, moins sept fois quatre, ce qui est 𝐶 𝑦 fois 𝐷 𝑥, dans le sens 𝐤. 15 fois neuf est 135, et sept fois quatre est 28. Donc, nous avons 135 moins 28, ce qui est 107, dans le sens 𝐤. Cela nous donne 𝐂 vectoriel 𝐃, et tout ce que nous devons faire pour trouver 𝐃 vectoriel 𝐂 est multiplier par moins un. Ainsi, 𝐂 vectoriel 𝐃 est 107𝐤, et 𝐃 vectoriel 𝐂 est moins 107𝐤. Ou de manière équivalente, 𝐂 vectoriel 𝐃 est 107 dans le sens 𝐤, et 𝐃 vectoriel 𝐂 est 107 dans le sens moins 𝐤.
