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Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la loi de probabilité a pour densité la fonction 𝑓 de 𝑥 représentée par le graphique suivant. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit compris entre un demi et deux.
Dans cet exemple, nous voulons trouver la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue 𝑥, où l’événement est que 𝑋 est compris entre un demi et deux. Pour ce faire, nous rappelons que la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue est donnée par l’aire sous le graphique de la fonction de densité sur l’intervalle donné. Nous pouvons le voir sur notre graphique en coloriant la région sous le graphique entre 𝑋 égale un demi et 𝑋 égale deux. Nous notons que l’aire dont nous avons besoin est l’aire d’un trapèze et l’aire d’un trapèze est donnée par un sur deux multiplié par 𝑏 indice un plus 𝑏 indice deux multiplié par ℎ, où 𝑏 indice un et 𝑏 indice deux sont les longueurs des deux côtés parallèles et ℎ est la hauteur du trapèze.
Dans notre cas, nous voyons que 𝑏 indice un a une longueur de un tiers et notre hauteur ℎ vaut deux moins un demi, soit 1,5, qui peut être écrit comme la fraction trois sur deux. Ainsi, pour trouver l’aire de notre trapèze, nous devons trouver la longueur 𝑏 deux. Il s’agit de la coordonnée 𝑦 du point sur la courbe en 𝑋 est égal à un demi. Maintenant, ce point se trouve sur une droite entre les deux points de coordonnées zéro, zéro et deux, un tiers. Puisque un demi est exactement à un quart du chemin entre 𝑋 est égal à zéro et 𝑋 est égal à deux, la coordonnée 𝑦 en 𝑋 est égale à un demi doit se trouver à un quart du chemin entre 𝑦 est égal à zéro et 𝑦 est un tiers. Cela donne que 𝑦 est égal à un sur quatre multiplié par un sur trois moins zéro, soit un sur 12.
Rappelez-vous, ceci est notre longueur 𝑏 deux. Ainsi, pour notre trapèze, nous avons la longueur du côté 𝑏 un est égal à un tiers. La hauteur vaut de 1,5 ou trois sur deux, et 𝑏 deux vaut un sur 12. Ainsi, l’aire de notre trapèze, et donc la probabilité, est égale à un sur deux multiplié par un tiers plus un douzième multiplié par trois sur deux. En mettant notre somme sur un dénominateur commun de 12, cela nous donne un sur deux multiplié par cinq douzièmes multiplié par trois sur deux. L’aire est donc de cinq sur 16 unités carrées.
La probabilité que la variable aléatoire continue 𝑋 se situe entre un demi et deux est donc de cinq sur 16.
