Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à décrire la fonction de densité d’une variable aléatoire continue et à l’utiliser pour trouver la probabilité d’un événement.
Les variables aléatoires continues peuvent prendre une infinité de valeurs réelles dans un ensemble continu. La probabilité qu’une variable aléatoire continue prenne une valeur en particulier est égale à 0 ; autrement dit, pour toute valeur de . Le fait que les variables aléatoires continues aient une probabilité nulle de prendre une valeur en particulier les distingue des variables aléatoires discrètes.
Une variable aléatoire continue est caractérisée par sa fonction de densité de probabilité ; une fonction de densité de probabilité est une fonction positive dont l’aire totale sous la courbe est égale à 1. L’aire sous la courbe de la fonction de densité représente la probabilité de tout l’univers des possibles. On rappelle la règle de probabilité des événements incompatibles : la somme des probabilités de tous les événements incompatibles de l’univers est égale à 1. Il découle de cette règle que l’aire totale sous la courbe d’une fonction de densité est toujours égale à 1.
Définition : Fonction de densité de probabilité
Une fonction est une fonction de densité de probabilité si
- pour toute valeur de ;
- l’aire totale sous le graphe est égale à 1.
Considérons la fonction de densité , dont on donne le graphe ci-dessous.
On observe que la fonction n’est jamais négative et que l’aire totale sous sa courbe est égale à 1. Par conséquent, d’après la définition donnée ci-dessus, ce graphe est celui d’une fonction de densité.
Si une fonction de densité comprend une constante inconnue, on peut souvent utiliser l’une et/ou l’autre des conditions données ci-dessus dans la définition d’une fonction de densité pour identifier la constante.
Dans notre premier exemple, nous identifierons quelle valeur attribuer à la constante inconnue d’une fonction pour que celle-ci vérifie les conditions des fonctions de densité.
Exemple 1: Utiliser la fonction de densité d’une variable aléatoire continue pour évaluer une inconnue
Soit une variable aléatoire continue ayant pour fonction de densité
Déterminez la valeur de .
Réponse
Dans cet exemple, on nous dit que est la fonction de densité d’une variable aléatoire continue. On rappelle qu’une fonction est une fonction de densité si
- pour toute valeur de ;
- l’aire totale sous le graphe est égale à 1.
Puisque notre fonction est une fonction de densité, elle doit vérifier ces deux conditions. Examinons la première condition.
On sait que en dehors de l’intervalle , donc la condition est vérifiée en dehors de cet intervalle. Il ne nous reste donc plus qu’à vérifier que pour toutes les valeurs de de l’intervalle .
Pour appartenant à l’intervalle , on sait que . Étant donné que est positif sur cet intervalle, on doit avoir pour que la condition soit vérifiée. Par conséquent, on déduit de la première condition que .
Examinons maintenant la seconde condition, selon laquelle l’aire totale sous le graphe doit être égale à 1. On s’aperçoit immédiatement qu’on ne peut avoir , car on aurait alors pour tout et l’aire sous le graphe serait par conséquent égale à 0.
On en déduit que et par conséquent que le graphe de sur l’intervalle est une droite dont la pente est positive. Traçons un tel graphe.
On peut voir que l’aire sous le graphe est celle d’un trapèze. On rappelle que l’on peut calculer l’aire d’un trapèze en utilisant la formule
Par conséquent, pour calculer l’aire de ce trapèze, on devra d’abord déterminer les longueurs de sa grande base et de sa petite base, ainsi que sa hauteur. On peut trouver les coordonnées des sommets du trapèze en substituant et dans la fonction . On obtient
Par conséquent, les coordonnées des sommets sont respectivement et ; ainsi, nous connaissons maintenant les longueurs de la petite et de la grande base du trapèze. Enfin, la hauteur est la longueur du côté du trapèze confondu avec l’axe des , qui vaut . On peut ajouter ces valeurs à notre figure.
On remplace par ces valeurs dans la formule de l’aire d’un trapèze et on obtient
Ainsi, l’aire de ce trapèze est de . Cette aire doit être égale à 1, donc on doit avoir et par conséquent .
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la valeur d’une constante inconnue dans une fonction de densité. Voyons maintenant comment calculer la probabilité d’un événement à partir d’une fonction de densité.
Comment déterminer la probabilité d’un événement à partir d’une fonction de densité
Soit une variable aléatoire continue ayant pour fonction de densité et un intervalle représentant un événement. Alors, la probabilité de l’événement est égale à l’aire sous la courbe sur l’intervalle .
Lorsque la courbe d’une fonction de densité dessine une forme géométrique simple tel qu’un triangle, un trapèze ou un rectangle, on peut trouver les probabilités des événements en utilisant la formule géométrique de calcul d’aire adaptée.
Voyons un exemple dans lequel nous trouverons la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue dont le graphe de la fonction de densité dessine un trapèze.
Exemple 2: Calculer la probabilité liée à une variable aléatoire continue en utilisant des graphes
Soit une variable aléatoire continue dont on donne le graphe de la fonction de densité dans la figure ci-dessous. Trouvez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue ; l’événement est donné par
On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’un événement est donnée par l’aire sous le graphe de la fonction de densité sur l’intervalle représentant l’événement. Commençons par mettre en évidence la région sous la courbe sur l’intervalle .
On peut trouver la probabilité de notre événement en trouvant l’aire de la région mise en évidence sur la figure ci-dessus ; on constate que cette région est un trapèze. On rappelle que l’on peut calculer l’aire d’un trapèze en utilisant la formule
Par conséquent, pour calculer l’aire de ce trapèze, on devra d’abord déterminer les longueurs de sa grande base et de sa petite base, ainsi que sa hauteur.
On peut voir sur le graphe que la longueur de la grande base du trapèze est de et que sa hauteur est de . Il ne nous reste plus qu’à trouver la petite base du trapèze, qui est la coordonnée du point du graphe situé en .
Ce point se trouve sur le segment d’extrémités et . Comme est exactement à mi-chemin entre et , la coordonnée en est la moyenne des coordonnées des deux extrémités. On a donc
Par conséquent, les coordonnées de ce point sont . Ajoutons les longueurs correspondantes sur notre figure.
Le graphe de notre fonction de densité est un trapèze avec une grande base de , une petite base de et une hauteur de 1. L’aire du trapèze est donc
Par conséquent, on trouve . On notera qu’il s’agit d’une réponse valide pour une probabilité car est bien compris entre 0 et 1.
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue dont on nous donnait le graphe de la fonction de densité. Dans les prochains exemples, nous trouverons la probabilité pour une variable aléatoire continue dont on nous donne la fonction de densité sous sa forme algébrique.
Exemple 3: Utiliser la fonction de densité d’une variable aléatoire continue pour trouver des probabilités
Soit une variable aléatoire continue ayant pour fonction de densité
Trouvez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue ; l’événement est donné par
Commençons par tracer le graphe de la fonction de densité.
On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’un événement est donnée par l’aire sous le graphe de la fonction de densité sur l’intervalle représentant l’événement. Il nous faut donc trouver l’aire sous ce graphe sur l’intervalle . Cependant, notre fonction étant égale à 0 pour , il suffit de trouver l’aire sur l’intervalle . On met en évidence cette partie du graphe sur la figure ci-dessous.
L’aire du rectangle mis en évidence sur la figure ci-dessus est égale à la probabilité de notre événement. On peut voir que la longueur de la base de ce rectangle est donnée par
La hauteur de ce rectangle est de . On peut multiplier ces deux nombres pour trouver l’aire du rectangle ; on obtient
Par conséquent, on obtient . On notera qu’il s’agit d’une réponse valide pour une probabilité car est bien compris entre 0 et 1.
Une fonction de densité peut aussi être une fonction définie par morceaux comportant de nombreuses sous-fonctions. Si l’on souhaite juste trouver la probabilité d’un événement, il suffit de tracer la portion du graphe correspondant à cet événement.
Voyons un exemple dans lequel nous trouverons la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue dont la fonction de densité comporte trois sous-fonctions.
Exemple 4: Utiliser la fonction de densité d’une variable aléatoire continue pour trouver des probabilités
Soit une variable aléatoire continue ayant pour fonction de densité
Trouvez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue ; l’événement est donné par
On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’un événement est donnée par l’aire sous le graphe de la fonction de densité sur l’intervalle représentant l’événement. Il nous faut donc trouver l’aire sous ce graphe sur l’intervalle . Nous n’avons besoin que de l’aire sur cet intervalle et il n’est, par conséquent, pas nécessaire de déterminer le graphe de la fonction en dehors de cet intervalle. Il suffit en fait de tracer le graphe de la sous-fonction suivante :
Commençons par tracer cette portion du graphe de notre fonction de densité.
Mettons en évidence la région sur l’intervalle .
L’aire du rectangle mis en évidence sur la figure ci-dessus est égale à la probabilité de notre événement. On peut voir que la longueur de la base de ce rectangle est donnée par
La hauteur de ce rectangle est de . On peut multiplier ces deux nombres pour trouver l’aire du rectangle ; on obtient
Par conséquent, on obtient
On notera qu’il s’agit d’une réponse valide pour une probabilité car est bien compris entre 0 et 1.
Dans le dernier exemple, nous trouverons la probabilité d’un événement en déterminant l’aire d’une région trapézoïdale sous le graphe de la fonction de densité.
Exemple 5: Utiliser la fonction de densité d’une variable aléatoire continue pour trouver des probabilités
Soit une variable aléatoire continue ayant pour fonction de densité
Trouvez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons trouver la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue ; l’événement est donné par
Commençons par tracer le graphe de notre fonction de densité.
On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’un événement est donnée par l’aire sous le graphe de la fonction de densité sur l’intervalle représentant l’événement. Il nous faut donc trouver l’aire sous ce graphe sur l’intervalle . Cependant, cette fonction étant égale à 0 pour , il suffit de trouver l’aire sur l’intervalle . Nous mettons en évidence cette partie du graphe sur la figure ci-dessous.
On peut trouver la probabilité de notre événement en trouvant l’aire de la région mise en évidence sur la figure ci-dessus. On rappelle que l’on peut calculer l’aire d’un trapèze en utilisant la formule
Par conséquent, pour calculer l’aire de ce trapèze, on devra d’abord déterminer les longueurs de sa grande base et de sa petite base, ainsi que sa hauteur. On peut trouver les coordonnées des sommets du trapèze en substituant et dans la fonction . On obtient
Par conséquent, les coordonnées des sommets sont respectivement et ; ainsi, nous connaissons maintenant les longueurs de la petite et de la grande base du trapèze. Enfin, la hauteur est la longueur du côté du trapèze confondu avec l’axe des , qui vaut . On peut ajouter ces valeurs à notre figure.
L’aire du trapèze est donc
Par conséquent, on obtient . On notera qu’il s’agit d’une réponse valide pour une probabilité car est bien compris entre 0 et 1.
Pour finir, récapitulons quelques concepts importants abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- Une variable aléatoire continue peut prendre pour valeur n’importe quel réel d’un ensemble continu.
- Une fonction est une fonction de densité si
- pour toute valeur de ;
- l’aire totale sous le graphe est égale à 1.
- Soit une variable aléatoire continue ayant pour fonction de densité et un intervalle représentant un événement. Alors, la probabilité de l’événement est égale à l’aire sous la courbe sur l’intervalle .
