Vidéo de la leçon: Variables aléatoires continues Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment décrire la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire continue, et comment l'utiliser pour déterminer la probabilité d'un certain événement. Nous commencerons par rappeler les propriétés des variables aléatoires discrètes, avant de définir celles des variables aléatoires continues. Puis nous utiliserons les propriétés des variables aléatoires continues dans quelques exemples afin de déterminer une constante inconnue et des probabilités d’événements à partir d’une fonction de densité.

On rappelle qu’une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne peut prendre que des valeurs discrètes. Il peut s’agir soit d’un nombre fini soit d’un nombre infini dénombrable de valeurs. On peut déterminer la probabilité que 𝑋 prenne une valeur en particulier grâce à sa fonction de distribution 𝑓 de 𝑥. La somme des probabilités est égale à un. Imaginons par exemple que 𝑋 soit le nombre obtenu en lançant une fois un dé équilibré. Dans ce cas, les valeurs possibles de 𝑥 sont un, deux, trois, quatre, cinq et six. La probabilité que 𝑋 soit égal à l’une de ces valeurs est de un sur six. Et cela correspond à la valeur de la fonction de distribution 𝑓 de 𝑥 quand 𝑋 est égal à 𝑥𝑖. La somme de tous les 𝑓 de 𝑥𝑖 est égale à un.

On a vu que les valeurs prises par une variable aléatoire discrète sont discrètes. En revanche, une variable aléatoire continue peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle donné. Cela signifie qu’entre deux valeurs quelconques de 𝑥, il existe un nombre infini d’autres valeurs de 𝑥. Une variable aléatoire continue 𝑋 est caractérisée par une fonction de densité de probabilité 𝑓 de 𝑥, qui vérifie deux conditions. Tout d’abord, 𝑓 de 𝑥 doit être supérieur ou égal à zéro pour tout 𝑥. Ensuite, l’aire totale sous la courbe représentative de de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 doit être égale à un. Donc, dans le cas d’une variable aléatoire continue, la fonction n’est jamais strictement négative et l’aire totale sous la courbe représentative de la fonction est égale à un. Dans le premier exemple, nous verrons comment utiliser cette définition pour déterminer une constante inconnue dans une fonction.

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 si 𝑥 est compris entre un et cinq, et à zéro sinon. Déterminez la valeur de 𝑎.

Dans cet exemple, on nous dit que 𝑓 de 𝑥 est la fonction de densité d’une variable aléatoire continue. Et on nous demande de déterminer la constante 𝑎. Rappelons pour cela les propriétés des fonctions de densité. 𝑓 de 𝑥 est une fonction de densité si 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro pour toute valeur de 𝑥 et si l’aire totale sous la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est égale à un. Commençons par examiner la première condition, à savoir la condition de positivité.

On sait que 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro en dehors de l’intervalle compris entre un et cinq. Ce qui signifie que la première condition est vérifiée pour 𝑥 n’appartenant pas à l’intervalle compris entre un et cinq. Pour 𝑥 appartenant à l’intervalle compris entre un à cinq, on sait que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥. Et on sait que 𝑥 est supérieur à zéro dans cet intervalle. Cela implique que 𝑎 doit nécessairement être supérieur ou égal à zéro, car 𝑓 est une fonction de densité. Donc, pour que la première condition soit vérifiée, 𝑎 doit être supérieur ou égal à zéro. Passons à présent à la seconde condition, selon laquelle l’aire totale sous la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 doit être égale à un. On note que pour que cette condition soit vérifiée, 𝑎 ne peut pas être égal à zéro, car si c’était le cas, 𝑓 de 𝑥 serait égal à zéro pour tout 𝑥. Et l’aire sous la courbe serait alors égale à zéro.

Donc, pour remplir la condition selon laquelle l’aire totale sous la courbe doit être égale à un, 𝑎 ne peut pas être égal à zéro. Cela implique que 𝑎 doit être strictement positif. Et puisque la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 pour 𝑥 compris entre un et cinq, alors la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥 est une droite de pente strictement positive sur l’intervalle compris entre un et cinq. On peut voir sur la figure que l’aire sous la courbe est celle d’un trapèze. On rappelle que l’aire d’un trapèze est égale à un demi fois la longueur de la grande base plus la longueur de la petite base, fois la hauteur. Donc, pour déterminer l’aire de ce trapèze, c’est-à-dire l’aire sous la courbe, on doit déterminer les longueurs de sa petite base, de sa grande base et sa hauteur.

On va commencer par déterminer les coordonnées des sommets du trapèze. Pour cela, on remplace 𝑥 par à un, puis par cinq, dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de un est égal à 𝑎 fois un, c’est-à-dire 𝑎. Et 𝑓 de cinq est égal à 𝑎 fois cinq, c’est-à-dire cinq 𝑎. Par conséquent, les coordonnées de nos sommets sont un, 𝑎 et cinq, cinq 𝑎. Donc, la petite base de notre trapèze mesure et la grande base cinq 𝑎.

La hauteur de notre trapèze correspond à la longueur de son côté confondu avec l’axe des 𝑥. Elle mesure cinq moins un, soit quatre. On a déterminé que la petite base mesure 𝑎, la grande base cinq 𝑎 et la hauteur quatre, et on peut maintenant remplacer ces valeurs dans notre formule d’aire. On obtient que l’aire est égale à un demi fois cinq 𝑎 plus 𝑎, fois quatre. C’est égal à deux fois six 𝑎, c’est-à-dire 12𝑎.

Pour que la seconde condition soit vérifiée, l’aire sous le graphe doit être égale à un, donc 12𝑎 doit être égal à un. On peut trouver la valeur de 𝑎 en divisant les deux membres de cette équation par 12. On obtient que 𝑎 est égal à un sur 12.

Dans cet exemple, nous avons déterminé une constante inconnue dans l’expression d’une fonction de densité. Voyons maintenant comment calculer une probabilité pour une variable aléatoire continue.

Lorsqu’on calcule une probabilité pour une variable aléatoire continue 𝑋, on considère la probabilité que 𝑋 appartienne à un certain intervalle. Si l’on note cet intervalle 𝐼, la probabilité que 𝑋 soit compris entre 𝑥 un et 𝑥 deux est égale à l’aire sous la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle compris entre 𝑥 un et 𝑥 deux. Donc, la probabilité est l’aire sous la courbe représentative de la fonction de densité 𝑓 de 𝑥.

On rappelle que l’aire totale sous la courbe représentative de la fonction de densité est égale à un. Et la somme de toutes les probabilités de l’univers des possibles doit être égale à un. Mais à la différence des variables aléatoires discrètes, on ne peut pas spécifier la probabilité qu’une variable aléatoire continue 𝑋 prenne une valeur en particulier. En effet, l’aire sous la courbe pour une valeur 𝑋 donnée n’existe pas vraiment. Cela correspondrait à l’aire d’une ligne infiniment fine. À la place, on calcule la probabilité que 𝑋 soit compris entre deux valeurs de 𝑥. Et cela correspond à l’aire sous la courbe entre ces deux valeurs.

Lorsque la courbe représentative de notre fonction de densité dessine une forme géométrique simple, comme un triangle, un trapèze ou un rectangle, on peut utiliser la formule de l’aire de la forme géométrique en question pour déterminer nos probabilités. Voyons un exemple.

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 est représentée par la figure ci-dessous. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit compris entre quatre et cinq.

Dans cet exemple, on doit déterminer la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue, l’événement étant «𝑋 est compris entre quatre et cinq». On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité de l’événement «𝑋 est compris entre 𝑥 un et 𝑥 deux» est égale à l’aire sous la courbe représentative de la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle compris entre 𝑥 un et 𝑥 deux. Comme notre intervalle est délimité par 𝑥 égale quatre et 𝑥 égale cinq, on commence par mettre en évidence la région sous la courbe sur cet intervalle.

On peut déterminer la probabilité de notre événement en calculant l’aire de la région colorée, qui est celle d’un trapèze. L’aire d’un trapèze étant égale à un demi fois la longueur de la grande base plus la longueur de la petite base, fois la hauteur, il nous faut déterminer les longueurs de la petite base, de la grande base et de la hauteur. On peut voir directement sur la figure que la grande base mesure un quart. La hauteur est cinq moins quatre, donc elle vaut une unité. Il ne nous reste plus qu’à déterminer la longueur de la petite base du trapèze. Cette longueur est égale à la coordonnée 𝑦 du point de la courbe situé en 𝑥 égale cinq.

Ce point se trouve sur le segment défini par les points de coordonnées quatre, un quart et six, zéro. Et puisque 𝑥 égale cinq se trouve exactement à mi-chemin entre 𝑥 égale quatre et 𝑥 égale six, alors la coordonnée 𝑦 en 𝑥 égale cinq est la moyenne des coordonnées 𝑦 des deux extrémités du segment. Donc, c’est la moyenne de un quart et de zéro. Cela nous donne que 𝑦 est égal à un demi fois un quart plus zéro, ce qui est égal à un huitième. Par conséquent, la petite base de notre trapèze mesure un huitième d’unité. On a trouvé que la grande base du trapèze mesure un quart d’unité, la petite base un huitième d’unité et la hauteur une unité.

On a maintenant tout ce qu’il nous faut pour calculer l’aire du trapèze. Elle est égale à un demi fois un quart plus un huitième, fois un. Ce qui fait trois sur 16 unité carré. Donc, pour la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 représentée sur la figure, la probabilité que 𝑋 soit compris entre quatre et cinq est égale à trois sur 16.

Dans cet exemple, on nous a donné la courbe représentative d’une fonction de densité. Dans le prochain exemple, nous déterminerons la probabilité d’un événement lorsque la fonction de densité nous est donnée sous sa forme algébrique.

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 63 si 𝑥 est compris entre neuf et 72 et à zéro sinon. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit supérieur à 64.

Dans cet exemple, on doit déterminer la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue, l’événement étant «𝑋 est supérieur à 64». On nous donne une fonction de densité, donc commençons par tracer sa représentation graphique. La fonction est égale à un sur 63 si 𝑥 est compris entre neuf et 72 et à zéro sinon.

On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’un événement est donnée par l’aire sous la courbe représentative de la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle représentant l’événement. Dans notre cas, on doit déterminer l’aire sous cette courbe sur l’intervalle allant de 64 à l’infini. Cependant, comme on sait que cette fonction est égale à zéro pour 𝑥 supérieur à 72, il suffit de déterminer l’aire sous la courbe pour 𝑋 compris entre 64 et 72. Cela correspond à l’aire de la région colorée, qui est un rectangle. Cette aire nous donnera la probabilité de notre événement.

On voit que la base du rectangle mesure 72 moins 64, soit huit unités. Et la hauteur du rectangle est de un sur 63. L’aire d’un rectangle est bien sûr égale à sa base multipliée par sa hauteur, ce qui nous donne ici huit fois un sur 63. Cela fait huit sur 63 unité carré. Par conséquent, la probabilité que 𝑋 soit supérieur à 64 est de huit sur 63. On note qu’il s’agit d’une réponse cohérente pour une probabilité, car huit sur 63 est bien compris entre zéro et un.

Il peut arriver que notre fonction de densité soit une fonction définie par morceaux, c’est à dire comportant de nombreuses sous-fonctions. Dans ce cas, pour déterminer la probabilité d’un événement, on se contente de tracer la partie de la courbe représentative pertinente pour l’événement. Mettons cela en pratique dans notre dernier exemple.

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 sur huit si 𝑥 est strictement compris entre deux et trois, à un sur 48 si 𝑥 est strictement compris entre trois et 36, et à zéro sinon. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit compris entre 11 et 24.

Dans cet exemple, on doit déterminer la probabilité d’un événement pour une variable aléatoire continue, l’événement étant «𝑋 est compris entre 11 et 24». On rappelle que pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’un événement est donnée par l’aire sous la courbe représentative de la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle représentant l’événement délimité par 𝑥 un et 𝑥 deux.

Donc, dans notre cas, on doit calculer l’aire sous la courbe sur l’intervalle compris entre 11 et 24. Et comme on n’a besoin que de l’aire sur cet intervalle, il n’est pas nécessaire de tracer la courbe représentative de la fonction en dehors de cette région. En particulier, la plus petite valeur de 𝑥 possible dans notre intervalle est 11 et la plus grande 24. Ces deux valeurs appartiennent à l’ensemble de définition de la deuxième sous-fonction de 𝑓 de 𝑥. C’est la sous-fonction définie entre trois et 36.

Par conséquent, seule la courbe représentative de cette sous-fonction a besoin d’être tracé. Pour 𝑥 strictement compris entre trois et 36, 𝑓 de 𝑥 est la fonction constante un sur 48. Si on met en évidence la région sous la courbe entre 𝑥 égale 11 et 𝑥 égale 24, on voit que notre aire est celle d’un rectangle. Et l’aire de ce rectangle correspond à la probabilité de notre événement.

On voit que la base de notre rectangle mesure 24 moins 11, c’est-à-dire 13 unités. Et la hauteur du rectangle est de un sur 48 unité. On sait que l’aire d’un rectangle est égale à sa base multipliée par sa hauteur. Par conséquent, l’aire de notre rectangle est égale à 13 fois un sur 48, ce qui fait 13 sur 48 unité carré. Donc, pour une variable aléatoire 𝑋 dont la fonction de densité est celle donnée dans l’énoncé, la probabilité que 𝑋 soit compris entre 11 et 24 est de 13 sur 48. On note qu’il s’agit d’une réponse cohérente pour une probabilité, car 13 sur 48 est bien compris entre zéro et un.

Pour finir, récapitulons quelques concepts importants abordés dans cette vidéo. On sait qu’une variable aléatoire continue peut prendre n’importe quelle valeur d’un ensemble continu. Une fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction de densité si 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro pour toute valeur de 𝑥 et si l’aire totale sous la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est égale à un. Enfin, la probabilité de l’événement «𝑋 est compris entre 𝑥 un et 𝑥 deux» correspond à l’aire sous la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 sur l’intervalle 𝐼 délimité par 𝑥 un et 𝑥 deux.