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Étant données 𝐸𝐴 égale 5,2 centimètres, 𝐸𝐶 égale six centimètres, 𝐸𝐵 égale 7,5 centimètres et 𝐸𝐷 égale 6,5 centimètres, les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 appartiennent-ils au même cercle ?
Considérons le diagramme qui nous a été donné. Il représente deux segments, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, qui se croisent en un point 𝐸. On nous donne dans la question la longueur du segment allant du point 𝐸 à chacun des quatre points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. On a 𝐸𝐴 égale 5,2 centimètres, 𝐸𝐶 égale six centimètres, 𝐸𝐵 égale 7,5 centimètres, et 𝐸𝐷 égale 6,5 centimètres. On nous demande de déterminer si les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 appartiennent au même cercle.
Ce type de configuration que nous avons dans le diagramme, deux segments qui se coupent, devrait nous rappeler le théorème des cordes sécantes. Ce théorème stipule que si deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 se coupent en un point 𝐸, alors 𝐴𝐸 multiplié par 𝐸𝐵 est égal à 𝐶𝐸 multiplié par 𝐸𝐷. En gros, cela nous dit que le produit des longueurs des deux segments que le point 𝐸 divise en chaque corde est le même pour les deux cordes. La réciproque est également vraie, ce qui signifie que si cette relation est valable pour deux segments qui se coupent, alors ces segments sont des cordes d'un même cercle. Les extrémités de ces segments se trouvent donc sur sa circonférence.
Pour répondre à cette question, il faut donc vérifier si cette relation est satisfaite par les longueurs qui nous ont été données. Premièrement, pour le segment 𝐴𝐵, 𝐴𝐸 multiplié par 𝐸𝐵, ou 𝐸𝐴 multiplié par 𝐸𝐵, est égal à 5,2 multiplié par 7,5, soit 39. Alors pour le segment 𝐶𝐷, 𝐶𝐸 multiplié par 𝐸𝐷, ou 𝐸𝐶 multiplié par 𝐸𝐷, est six multiplié par 6,5, ce qui est également égal à 39. Comme le produit est le même pour les deux segments, le théorème des cordes sécantes est satisfait, et donc les deux segments 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont des cordes du même cercle.
Les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont situés sur un même cercle, et la réponse à la question est donc oui.
