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Un objet de masse variable se déplace sur une ligne droite. À l’instant 𝑡 secondes, sa masse est donnée par 𝑚 égale sept fois la quantité 𝑡 plus quatre kilogrammes. Et son déplacement à partir d’un point fixe sur la droite est donné par 𝑠 égale un quart fois la quantité 𝑡 au carré moins deux 𝑡 plus 10 mètres. Calculez la variation de la quantité de mouvement de l’objet entre 𝑡 égale 10 secondes et 𝑡 égale 13 secondes.
On va appeler les valeurs de temps à chaque extrémité de notre intervalle d’intérêt, 𝑡 est égal à 10 secondes et 𝑡 est égal à 13 secondes, 𝑡 indice 𝑖 et 𝑡 indice 𝑓, respectivement. On veut calculer le changement de la quantité de mouvement de l’objet sur cet intervalle de temps. On appelle ce changement Δ𝐻. Pour nous aider à le calculer, on nous donne la masse de l’objet en fonction du temps ainsi que son déplacement, 𝑠, également en fonction du temps.
Commençons notre solution en rappelant l’équation mathématique de la quantité de mouvement. La quantité de mouvement d’un objet de masse variable est égale à la masse de l’objet multipliée par son vecteur vitesse 𝑣. Dans notre cas, on veut calculer un changement de la quantité de mouvement, Δ𝐻. À partir de notre expression pour la quantité de mouvement, on peut l’écrire comme la norme de la différence entre la masse finale multipliée par le vecteur vitesse finale et la masse initiale multipliée par le vecteur vitesse initiale. On va avoir besoin de vecteurs vitesse pour calculer Δ𝐻. Mais on nous donne le déplacement 𝑠 dans notre énoncé du problème. Les deux quantités sont liées par l’expression : 𝑣 est égale à la dérivée dans le temps du déplacement 𝑠.
Afin de résoudre pour 𝑣 indice 𝑖 et 𝑣 indice 𝑓, voyons d’abord ce qu’est 𝑣 en fonction de 𝑡. On fait cela en prenant la dérivée temporelle de 𝑠. En plaçant notre déplacement 𝑠, on calcule la dérivée temporelle qui est égale à un quart fois deux 𝑡 moins deux mètres par seconde. En factorisant un deux des parenthèses, on a l’expression pour le vecteur vitesse en fonction du temps. Rappelons-nous que l’on est spécifiquement intéressé par le vecteur vitesse de notre particule à 𝑡 est égal à 𝑡 indice 𝑖 et 𝑡 est égal à 𝑡 indice 𝑓. Et de même, on s’intéresse à la masse de la particule à ces deux moments.
On peut écrire 𝑚 indice 𝑖 fois 𝑣 indice 𝑖 comme sept fois 10 plus quatre kilogrammes multiplié par un demi fois 10 moins un mètres par seconde. Cela équivaut à 49 fois 9 kilogrammes mètres par seconde. Donc, c’est 𝑚 indice 𝑖 fois 𝑣 indice 𝑖.
En passant à 𝑚 indice 𝑓 𝑣 indice 𝑓, cela équivaut à sept fois 13 plus quatre kilogrammes multipliés par un demi de 13 moins un mètres par seconde. Cela équivaut à 42 fois 17 kilogrammes mètres par seconde.
En substituant cela dans notre expression, on est prêt à calculer Δ𝐻, la variation de la quantité de mouvement. En entrant ces valeurs sur notre calculatrice, on trouve que c’est 273 kilogrammes mètres par seconde. C’est la variation de la quantité de mouvement de cet objet sur l’intervalle de temps donné.
