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Vidéo de la leçon : Quantité de mouvement Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la quantité de mouvement d’une particule se déplaçant en ligne droite en utilisant la formule p = 𝑚𝐯.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la quantité de mouvement d’une particule se déplaçant en ligne droite en utilisant la formule p égale 𝑚𝐯. Imaginez deux objets, un camion se déplaçant à 30 kilomètres par heure le long d’une route et un avion en papier se déplaçant à deux kilomètres par heure dans les airs. Quel objet nécessiterait alors la plus grande force pour l’arrêter dans le même laps de temps ?

Intuitivement, on sait que le camion nécessitera la plus grande force pour l’arrêter car il a une masse plus grande et il se déplace plus rapidement. On peut donc dire que le camion a une plus grande quantité de mouvement. La quantité de mouvement peut être considérée comme une mesure de la difficulté à arrêter un objet en mouvement.

Commençons par donner une définition plus formelle de cela. Les deux facteurs qui contribuent à la quantité de mouvement d’un objet sont sa masse 𝑚 et son vecteur vitesse 𝐯. Plus la masse de l’objet est élevée, plus sa quantité de mouvement est élevée. Et de la même manière, plus la norme du vecteur vitesse de l’objet est élevée, plus sa quantité de mouvement est élevée. On peut donc définir la quantité de mouvement d’un objet comme le vecteur p égal à sa masse 𝑚 multipliée par son vecteur vitesse 𝐯. On note cela p égale 𝑚𝐯.

Puisque le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle et que la masse est une grandeur scalaire, la quantité de mouvement est une grandeur vectorielle. Mais on recherche souvent simplement la norme de la quantité de mouvement. On peut donc écrire que la norme du vecteur p est égale à la norme de 𝑚𝐯. Et comme la masse est une grandeur scalaire, on peut la sortir des symboles de norme ; on obtient ainsi que la norme du vecteur p est égale à 𝑚 fois la norme du vecteur 𝐯. Sur le membre droit, la norme du vecteur 𝐯 est simplement la norme du vecteur vitesse, c’est-à-dire la vitesse. On peut désigner la norme de la quantité de mouvement par p et la vitesse par 𝑣. Cela nous donne p égale 𝑚𝑣.

Si nous considérons une boule de bowling de masse 12 kilogrammes se déplaçant à une vitesse de cinq mètres par seconde le long d’une piste de bowling, nous pouvons calculer la quantité de mouvement de la boule en substituant les valeurs dans la formule p égale 𝑚𝑣. La quantité de mouvement p est égale à 12 kilogrammes fois cinq mètres par seconde. Comme 12 fois cinq égale 60, la quantité de mouvement est égale à 60 kilogrammes mètres par seconde. Cela nous dit l’unité standard de la quantité de mouvement est le kilogramme mètre par seconde. La quantité de mouvement peut cependant être mesurée dans d’autres unités, tant qu’il s’agit d’unité de masse fois une unité de vitesse.

Nous allons maintenant étudier quelques exemples.

Calculez la quantité de mouvement d’une voiture de masse 2,1 tonnes se déplaçant à 42 kilomètres par heure.

Commençons par rappeler que les deux facteurs qui affectent la quantité de mouvement d’un objet sont sa masse et sa vitesse car la quantité de mouvement p est égale à la masse 𝑚 fois la vitesse 𝑣. Dans cette question, on sait que la masse de la voiture est de 2,1 tonnes et que sa vitesse est de 42 kilomètres par heure. En substituant ces valeurs dans la formule, on trouve p égale 2,1 tonnes fois 42 kilomètres par heure. Pour calculer 2,1 fois 42, on peut multiplier deux par 42 puis 0,1 par 42. Ces deux produits sont respectivement égaux à 84 et 4,2. Comme la somme de ces deux valeurs est égale à 88,2 ; 2,1 fois 42 égale 88,2. Nous pouvons donc conclure que la quantité de mouvement de la voiture est de 88,2 tonnes kilomètres par heure.

Il s’agit d’une unité assez inhabituelle car l’unité standard de la quantité de mouvement est le kilogramme mètre par seconde. Mais toute unité de masse fois une unité de vitesse est une unité de quantité de mouvement valide. Si nous devions donner notre réponse en kilogrammes mètres par seconde, nous aurions dû convertir la masse en kilogrammes et la vitesse en mètres par seconde avant de multiplier leurs valeurs.

Dans le prochain exemple, nous allons calculer la quantité de mouvement en utilisant d’abord les équations du mouvement rectiligne uniformément varié, ou MRUV.

Calculez la quantité de mouvement d’une pierre de masse 520 grammes après une chute verticale de 8,1 mètres. On supposera que l’accélération due à la pesanteur est 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde carrée.

Dans cette question, nous ne connaissons pas la vitesse de la pierre dont nous avons besoin pour calculer la quantité de mouvement. Nous connaissons cependant la distance parcourue par la pierre pendant sa chute et son accélération. Comme nous n’avons pas d’information sur le mouvement initial de la pierre, nous pouvons supposer qu’elle était initialement au repos.

Sur la base de ces trois informations, nous pouvons utiliser les équations du MRUV pour nous aider à calculer la vitesse de la particule après sa chute de 8,1 mètres. Nous savons que le déplacement 𝑠 est de 8,1 mètres. La vitesse initiale 𝑢 est de zéro mètres par seconde. Nous essayons de calculer la vitesse finale 𝑣 en mètres par seconde. Et il est indiqué que l’accélération due à la pesanteur est de 9,8 mètres par seconde carrée.

Nous n’avons aucune information sur la durée. Nous pouvons donc utiliser l’équation 𝑣 au carré égale 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠. En substituant les valeurs de 𝑢, 𝑎 et 𝑠, on a 𝑣 au carré égale zéro au carré plus deux fois 9,8 fois 8,1. 𝑣 au carré est donc égal à 158,76. En prenant la racine carrée des deux membres de cette équation et en rappelant que la vitesse doit être positive, on obtient une valeur de 𝑣 égale à 12,6. Après une chute verticale de 8,1 mètres, la pierre se déplace à une vitesse de 12,6 mètres par seconde.

On rappelle ensuite que la quantité de mouvement de toute particule p est égale à sa masse 𝑚 fois sa vitesse 𝑣. L’unité standard de la quantité de mouvement est le kilogramme mètre par seconde puisque l’unité standard de masse est le kilogramme et que celle de la vitesse est le mètre par seconde. La masse de la pierre est de 520 grammes et on sait qu’il y a 1 000 grammes dans un kilogramme. Cela signifie que la masse de la pierre en kilogrammes est 0,52.

On peut donc calculer la quantité de mouvement de la pierre en multipliant 0,52 par 12,6. Taper ceci sur une calculatrice nous donne 6,552. Nous pouvons donc conclure qu’après une chute de 8,1 mètres, la pierre a une quantité de mouvement de 6,552 kilogrammes mètres par seconde.

Dans le prochain exemple, nous allons calculer la variation de la quantité de mouvement d’une particule à partir de son accélération et de son vecteur vitesse initial.

Un corps de masse 17 kilogrammes se déplace en ligne droite avec une accélération constante de 1,8 mètres par seconde carrée. Son vecteur vitesse initial a une norme de 22,3 mètres par seconde. Calculez l’augmentation de sa quantité de mouvement pendant les cinq premières secondes.

Cette question nous demande de calculer l’augmentation de la quantité de mouvement, c’est-à-dire sa variation, sur une période donnée. Nous devons donc calculer la différence entre sa quantité de mouvement finale et sa quantité de mouvement initiale. On peut l’exprimer mathématiquement par Δp égale p deux moins p un, où Δp est la variation de quantité de mouvement, p deux est la quantité de mouvement finale et p un est la quantité de mouvement initiale. Comme la quantité de mouvement est égale à la masse fois la vitesse, on peut le reformuler par Δp égale 𝑚𝑣 deux moins 𝑚𝑣 un, où 𝑣 deux est la vitesse finale, 𝑣 un est la vitesse initiale et 𝑚 est la masse du corps.

La question indique que la vitesse initiale du corps est de 22,3 mètres par seconde. On sait également que sa masse est de 17 kilogrammes. Cela signifie que nous devons commencer par calculer sa vitesse finale. On peut le faire en utilisant les équations du MRUV.

On sait que le vecteur vitesse initiale est de 22,3 mètres par seconde. L’accélération 𝑎 est de 1,8 mètres par seconde carrée. Et la durée qui nous intéresse est de cinq secondes. On peut donc calculer le vecteur vitesse final 𝑣 en utilisant l’équation 𝑣 égale 𝑢 plus 𝑎𝑡. En substituant les valeurs de 𝑢, 𝑎 et 𝑡, on a 𝑣 égale 22,3 plus 1,8 fois cinq. 1,8 fois cinq égale neuf. Donc 𝑣 est égal à 31,3. Le vecteur vitesse du corps après cinq secondes est de 31,3 mètres par seconde.

Nous avons maintenant les valeurs de 𝑚, 𝑣 un et 𝑣 deux. Nous connaissons la vitesse initiale, la vitesse finale et la masse de l’objet. La variation de la quantité de mouvement est donc égale à 17 fois 31,3 moins 17 fois 22,3. Bien que l’on puisse taper cela directement dans une calculatrice, on remarque que la masse 𝑚 est un facteur commun aux deux termes sur le membre droit. On peut donc reformuler la variation de la quantité de mouvement par 𝑚 fois 𝑣 deux moins 𝑣 un.

Dans ce cas, la variation de la quantité de mouvement est égale à 17 fois 31,3 moins 22,3. Cela se simplifie par 17 fois neuf, ce qui fait 153. Comme la masse du corps est mesurée en kilogrammes et que les vitesses ou vecteurs vitesses sont en mètres par seconde, nous allons utiliser l’unité standard de quantité de mouvement du kilogramme mètre par seconde. Pendant les cinq premières secondes de son mouvement, la quantité de mouvement de l’objet augmente de 153 kilogrammes mètres par seconde.

Dans le dernier exemple, nous allons calculer la quantité de mouvement à partir de l’expression du déplacement et de la masse d’un objet.

Une voiture de masse 1 350 kilogrammes se déplace en ligne droite telle qu’à l’instant 𝑡 secondes, son déplacement depuis un point fixe sur la droite est défini par 𝑠 égale six 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus quatre mètres. Calculez la norme de la quantité de mouvement de la voiture en 𝑡 égale trois secondes.

Cette question nous fournit une fonction décrivant la position de la voiture qui dépend uniquement du temps. Afin de trouver la quantité de mouvement de la voiture à un instant donné, nous avons besoin de son vecteur vitesse à cet instant. Et pour calculer ce vecteur vitesse, nous devons d’abord établir une fonction générale du vecteur vitesse de la voiture en fonction du temps.

On rappelle que le vecteur vitesse d’un objet 𝐯 est défini comme le taux de variation du déplacement de l’objet. C’est donc la dérivée du déplacement de l’objet par rapport au temps. Puisque cette question concerne un objet se déplaçant en une dimension, nous pouvons utiliser des quantités scalaires pour représenter le vecteur vitesse 𝑣 et le déplacement 𝑠, ce qui nous donne 𝑣 égale d𝑠 sur d𝑡. Puisque 𝑠 est égal à six 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus quatre, on peut le dériver terme par terme. Le vecteur vitesse 𝑣 est donc égal à 12𝑡 moins trois. Comme le déplacement est exprimé dans l’unité standard des mètres, le vecteur vitesse sera en mètres par seconde.

Nous souhaitons maintenant calculer la vitesse de la voiture en 𝑡 égale trois secondes. Substituer cela dans notre équation nous donne 𝑣 égale 12 fois trois moins trois. La vitesse de la voiture après trois secondes est donc de 33 mètres par seconde. On rappelle que la quantité de mouvement de tout corps peut être calculée en multipliant sa masse par sa vitesse. Cela signifie que la quantité de mouvement de la voiture est égale à 1 350, la masse en kilogrammes, fois 33, la vitesse en mètres par seconde. Taper ceci sur une calculatrice nous donne 44 550. Comme la masse est en kilogrammes et la vitesse en mètres par seconde, la quantité de mouvement sera dans l’unité standard du kilogramme mètre par seconde. En 𝑡 égale trois secondes, la voiture a une quantité de mouvement de 44 550 kilogrammes mètres par seconde.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le vecteur de la quantité de mouvement p d’un objet est égal au produit de sa masse 𝑚 et de son vecteur vitesse 𝐯 tel que p est égal à 𝑚 fois 𝐯. La quantité de mouvement est généralement mesurée en kilogrammes mètres par seconde. Comme nous l’avons vu dans cette vidéo, on peut parfois avoir besoin d’utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément varié pour trouver le vecteur vitesse d’un objet afin de calculer sa quantité de mouvement. Dans le dernier exemple, nous avons vu qu’à partir d’une fonction décrivant la position d’un objet à l’instant 𝑡, on peut calculer la dérivée de cette fonction par rapport au temps pour obtenir une fonction du vecteur vitesse. On peut ensuite l’utiliser pour calculer la quantité de mouvement.

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