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Fiche explicative de la leçon : Quantité de mouvement Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment calculer la quantité de mouvement d’une particule se déplaçant en ligne droite à l’aide de la formule 𝑝=𝑚𝑣.

Imaginez deux objets:un camion qui se déplace à 30 mi/h le long d’une route et un avion en papier se déplaçant à 2 mi/h dans les airs. Quel objet nécessiterait une plus grande force pour l’arrêter dans un même laps de temps?Intuitivement, nous savons que le camion aurait besoin d’une plus grande force pour l’arrêter car il a une plus grande masse et il se déplace plus vite. On peut dire que le camion a une plus grande quantité de mouvement. La quantité de mouvement peut être considérée comme une mesure de la difficulté d’arrêter un objet en mouvement.

Les deux facteurs qui contribuent à la quantité de mouvement d’un objet sont sa masse, 𝑚, et son vecteur vitesse, 𝑣. Plus la masse de l’objet est grande, plus sa quantité de mouvement est grande, et plus la vitesse de l’objet est grande, plus sa quantité de mouvement est grande. Sachant cela, nous pouvons maintenant définir la quantité de mouvement mathématiquement.

Définition : Quantité de mouvement

La quantité de mouvement d’un objet, 𝑝, est égale à sa masse, 𝑚, multipliée par son vecteur vitesse, 𝑣:𝑝=𝑚𝑣.

Comme le vecteur vitesse est une quantité vectorielle et que la masse est une quantité scalaire, la quantité de mouvement est une quantité vectorielle. Cependant, souvent, nous voulons juste la norme de la quantité de mouvement, que nous pouvons écrire sous la forme 𝑝=𝑚𝑣.

Comme la masse est une quantité scalaire, nous pouvons la sortir de la norme, ce qui donne 𝑝=𝑚𝑣.

À droite, 𝑣 est juste la norme de la vitesse. On peut indiquer la quantité de mouvement comme simplement 𝑝 et la vitesse comme juste 𝑣 ce qui donne 𝑝=𝑚𝑣.

C’est la forme scalaire de la définition de la quantité de mouvement et c’est cette forme que nous finirons par utiliser la plupart du temps.

Ainsi, par exemple, imaginez une boule de bowling avec une masse de 12 kg se déplaçant à une vitesse de 5 m/s le long de la voie d’un bowling. Quelle est la quantité de mouvement de la boule de bowling?On peut substituer ces valeurs dans 𝑝=𝑚𝑣 et obtenir 𝑝=12×5/kgms, ce qui donne 60 kg⋅m/s.

Cela nous montre que l’unité standard de la quantité de mouvement est le kg⋅m/s ou « kilogrammes-mètres par seconde »;cependant, la quantité de mouvement peut être mesurée en d’autres unités;en fait, toute unité correspondant à une masse multipliée par une vitesse est une unité de quantité de mouvement valide.

Voyons quelques exemples de questions.

Exemple 1: Déterminer la quantité de mouvement d’un objet sachant sa vitesse

Déterminez la quantité de mouvement d’une voiture de masse 2,1 tonnes se déplaçant à 42 km/h.

Réponse

La masse de la voiture vaut 2,1 tonnes et la vitesse de la voiture vaut 42 km/h. Ce sont les deux facteurs qui affectent la quantité de mouvement d’un objet et nous pouvons les substituer directement dans la formule 𝑝=𝑚𝑣 pour déterminer la quantité de mouvement:𝑝=𝑚𝑣𝑝=2,1×42/𝑝=88,2/tkmhtkmh

Ici, nous avons utilisé le symbole pour la tonne, qui est t. Cette réponse est exprimée en unités de tonnes-kilomètres par heure, qui est une unité légèrement inhabituelle, mais toujours une unité de quantité de mouvement valide.

Exemple 2: Déterminer la quantité de mouvement d’un corps en chute libre après une distance donnée

Calculez la quantité de mouvement d’une pierre de masse 520 g après une chute de 8,1 m verticalement vers le bas. Prenez l’accélération due à la gravité égale à 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Dans cette question, on ne nous donne pas la vitesse de la pierre, alors qu’on en a besoin pour calculer la quantité de mouvement;nous allons alors devoir la trouver en premier.

On nous dit de quelle distance la pierre a chuté et quelle est son accélération lorsqu’elle tombe. La question ne dit rien sur le mouvement initial de la pierre, donc on peut supposer qu’au départ, la pierre ne bouge pas. Connaissant ces trois informations, il y a une formule que nous pouvons utiliser pour déterminer la vitesse de la particule après qu’elle soit tombée de 8,1 m;c’est l’une des équations de la cinématique:𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑢 est la vitesse initiale de la pierre, 𝑎 est l’accélération de la pierre, 𝑠 est la distance que la pierre parcourt et 𝑣 est la vitesse finale de la pierre. Puisque 𝑢 vaut zéro, 𝑢 est également nul et cette formule se simplifie pour donner 𝑣=2𝑎𝑠.

On cherche à trouver 𝑣, donc on veut isoler 𝑣 dans l’équation. Pour ce faire, nous avons besoin de prendre la racine carrée de chaque côté de l’équation:𝑣=2𝑎𝑠𝑣=2𝑎𝑠.

Nous pouvons maintenant substituer les valeurs que nous avons pour 𝑎 et 𝑠:𝑣=2×9,8/×8,1𝑣=158,76/𝑣=12,6/.msmmsms

Ainsi la pierre part au repos;elle commence ensuite à tomber à 9,8 m/s2 en raison de la gravité et, au moment où elle est tombée d’une distance de 8,1 m, elle se déplace à une vitesse de 12,6 m/s.

L’autre quantité que nous devons connaître pour calculer la quantité de mouvement de la pierre est sa masse, qui nous a été donnée. La masse a été donnée en grammes;convertissons-la en unité standard de kilogrammes. Il y a 1‎ ‎000 g dans 1 kg, donc 520 g = 0,52 kg.

Nous pouvons maintenant substituer les valeurs de la masse et de la vitesse de la pierre dans la formule de la quantité de mouvement:𝑝=𝑚𝑣𝑝=0,52×12,6/𝑝=6,552/.kgmskgms

Donc, au moment où la pierre est tombée d’une distance de 8,1 m, elle avait une quantité de mouvement de 6,552 kg⋅m/s.

Exemple 3: Déterminer l’augmentation de la quantité de mouvement d’un corps en mouvement avec une accélération uniforme après un temps donné

Un corps ayant une masse de 17 kg se déplace en ligne droite avec une accélération constante de 1,8 m/s2. Sa vitesse initiale est de 22,3 m/s. Déterminez l’augmentation de sa quantité de mouvement dans les premières 5 secondes.

Réponse

Cette question nous demande de déterminer l’augmentation de la quantité de mouvement, la variation de la quantité de mouvement, sur une période donnée. Pour ce faire, nous devons déterminer la différence entre sa quantité de mouvement finale et sa quantité de mouvement initiale. On peut exprimer cela mathématiquement comme Δ𝑝=𝑝𝑝=𝑚𝑣𝑚𝑣,Δ𝑝 est la variation de la quantité de mouvement, 𝑝 est la quantité de mouvement finale, 𝑝 est la quantité de mouvement initiale, 𝑣 est la vitesse finale, 𝑣 est la vitesse initiale et 𝑚 est la masse.

Nous connaissons déjà la vitesse initiale de l’objet et sa masse;la seule chose que nous ne savons pas est sa vitesse finale, alors nous devrons d’abord résoudre ce problème.

Étant donné que l’objet subit une accélération constante, nous pouvons utiliser l’une des équations de la cinématique pour déterminer la vitesse finale de l’objet:𝑣=𝑣+𝑎𝑡,𝑎 est l’accélération de l’objet et 𝑡 est la durée pendant laquelle l’objet accélère. Nous connaissons les trois valeurs qui sont utilisées sur le côté droit de cette équation, de sorte que nous pouvons l’utiliser pour trouver 𝑣, la vitesse finale:𝑣=22,3/+1,8/×5𝑣=31,3/.msmssms

Nous connaissons donc maintenant la vitesse initiale, la vitesse finale et la masse de l’objet. Nous pouvons remplacer ces valeurs dans notre équation précédente pour déterminer la variation de la quantité de mouvement:Δ𝑝=𝑝𝑝Δ𝑝=𝑚𝑣𝑚𝑣Δ𝑝=17×31,3/17×22,3/Δ𝑝=532,1/379,1/Δ𝑝=153/.kgmskgmskgmskgmskgms

Ainsi, dans les premières 5 secondes de son mouvement, la quantité de mouvement de l’objet augmente de 153 kg⋅m/s.

Exemple 4: Déterminer la quantité de mouvement d’un objet à un instant donné, compte tenu de son déplacement par rapport au temps

Une voiture ayant une masse de 1‎ ‎350 kg se déplace en ligne droite de sorte qu’au temps 𝑡secondes, son déplacement à partir d’un point fixe sur la droite est donné par 𝑠=6𝑡3𝑡+4m. Déterminez la norme de la quantité de mouvement de la voiture à 𝑡=3s.

Réponse

Dans cette question, on nous donne une fonction pour la position de la voiture qui dépend uniquement du temps. Afin de déterminer la quantité de mouvement de la voiture à un instant donné, nous allons avoir besoin de connaître son vecteur vitesse à ce moment-là. Afin d’obtenir le vecteur vitesse à un instant donné, nous avons besoin d’obtenir une fonction générale du vecteur vitesse de la voiture au cours du temps.

Rappelons que le vecteur vitesse d’un objet, 𝑣, est défini comme le taux de variation du déplacement de l’objet. C’est la dérivée du déplacement de l’objet par rapport au temps:𝑣=𝑠𝑡.dd

Comme cette question concerne un objet se déplaçant dans une seule dimension, nous pouvons simplement utiliser des quantités scalaires pour représenter la vitesse 𝑣 et le déplacement 𝑠 ce qui donne 𝑣=𝑠𝑡.dd

Prenant la dérivée par rapport à 𝑡 de la fonction de 𝑠 qu’on nous donne dans la question, on obtient 𝑣=𝑡6𝑡3𝑡+4𝑣=(12𝑡3)/.ddms

Nous voulons connaître la vitesse de la voiture à 𝑡=3s, alors substituons cette valeur pour le temps dans l’équation ci-dessus:𝑣=(12×33)/𝑣=33/.msms

Nous connaissons maintenant la vitesse de la voiture et la masse de la voiture, de sorte que nous pouvons substituer ces valeurs dans la formule à la quantité de mouvement de la voiture:𝑝=𝑚𝑣𝑝=1350×33/𝑝=44550/.kgmskgms

À 𝑡=3s, la voiture a une quantité de mouvement de 44‎ ‎550 kg⋅m/s.

Exemple 5: Déterminer la quantité de mouvement d’un corps à un instant donné, compte tenu de l’expression de sa position avec le temps

Un corps ayant une masse de 7 kg se déplace en ligne droite. Son vecteur position au temps 𝑡 est donné par la relation 𝑟(𝑡)=𝑡+5𝑖+𝑡+𝑡𝑗, 𝑟 est mesuré en mètres et 𝑡 en secondes. Déterminez la quantité de mouvement du corps après 2 secondes.

Réponse

Dans cette question, on nous donne une fonction pour la position de l’objet qui dépend uniquement du temps. Afin de déterminer la quantité de mouvement de l’objet à un instant donné, nous allons avoir besoin de connaître le vecteur vitesse de l’objet à cet instant. Pour obtenir le vecteur vitesse à un instant donné, nous avons besoin d’obtenir une fonction générale du vecteur vitesse de l’objet au cours du temps.

Le vecteur vitesse, 𝑣, d’un objet est la dérivée de son déplacement, 𝑟, par rapport au temps:𝑣=𝑟𝑡𝑣=𝑡𝑡+5𝑖+𝑡+𝑡𝑗𝑣=𝑡𝑡+5𝑖+𝑡𝑡+𝑡𝑗𝑣=(2𝑡)𝑖+3𝑡+1𝑗.dddddddd

La quantité de mouvement, 𝑝, d’un objet est égale à sa masse, 𝑚, multipliée par son vecteur vitesse:𝑝=𝑚𝑣𝑝=𝑚(2𝑡)𝑖+3𝑡+1𝑗𝑝=𝑚(2𝑡)𝑖+𝑚3𝑡+1𝑗.

Nous avons maintenant une formule qui nous donne la quantité de mouvement vectorielle de l’objet au temps 𝑡. On peut substituer les valeurs de la masse de l’objet et du temps dans l’équation:𝑝=7×(2×2)𝑖+7×3×2+1𝑗𝑝=28𝑖+91𝑗/.kgms

La quantité de mouvement de l’objet après 2 secondes est 28𝑖+91𝑗/kgms.

Au début de cette fiche explicative, nous avons écrit une définition mathématique de la quantité de mouvement:𝑝=𝑚𝑣.

Si l’on prend la dérivée par rapport au temps de chaque côté de l’équation, dddddddddd𝑡𝑝=𝑡𝑚𝑣𝑝𝑡=𝑚𝑣𝑡𝑝𝑡=𝑚𝑎, on peut voir que la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps est égale à la masse de l’objet, 𝑚, multipliée par l’accélération de l’objet, 𝑎. Mais 𝑚𝑎 est également égale à la force exercée sur l’objet, 𝐹, alors 𝐹=𝑝𝑡.dd

Dans le cas où l’accélération d’un objet est constante ou dans le cas où l’on connaît l’accélération moyenne, on peut déterminer la variation de la quantité de mouvement, Δ𝑝, d’un objet si on connaît sa masse, son accélération et le temps pendant lequel il accélère, Δ𝑡:Δ𝑝=𝑚𝑎Δ𝑡 ou, sous forme scalaire, Δ𝑝=𝑚𝑎Δ𝑡.

Cette formule ne fonctionne que si l’accélération, 𝑎, est constante. Dans le cas où l’accélération varie avec le temps 𝑡, nous pouvons utiliser l’équation que nous avons trouvée plus tôt pour le taux de variation de la quantité de mouvement par rapport au temps, dd𝑝𝑡=𝑚𝑎, et intégrer les deux côtés de cette formule par rapport à 𝑡. Cela nous donne 𝑝𝑡𝑡=𝑚𝑎𝑡Δ𝑝=𝑚𝑎𝑡.ddddd

Sur la gauche, nous pouvons voir que l’intégrale supprime la variation dans le temps et tout ce qui nous reste est une variation de quantité de mouvement. Sur la droite, on peut sortir 𝑚 de l’intégrale car il s’agit d’une constante. Considérons maintenant à quoi cette formule ressemblerait si nous essayions de déterminer la variation de la quantité de mouvement sur l’intervalle de temps [𝑡;𝑡]:Δ𝑝=𝑚𝑎𝑡d ou, sous forme scalaire, Δ𝑝=𝑚𝑎𝑡.d

Voyons un exemple illustrant comment cela peut être utilisé pour déterminer une variation de la quantité de mouvement.

Exemple 6: Déterminer la variation de la quantité de mouvement d’un corps compte tenu de son accélération

Un corps ayant une masse de 5 kg se déplace le long d’une ligne droite. Au temps 𝑡secondes, son accélération est donnée par 𝑎=(6𝑡8)/ms. Déterminez la variation de la quantité de mouvement dans l’intervalle de temps 6𝑡9.

Réponse

On nous a donné l’accélération 𝑎 d’un corps en fonction du temps 𝑡 sous forme d’un scalaire. Par conséquent, afin de trouver sa variation de quantité de mouvement, nous pouvons utiliser la formule suivante:Δ𝑝=𝑚𝑎𝑡.d

D’après l’énoncé, nous pouvons voir que nous avons 𝑚=5kg, 𝑎=(6𝑡8)/ms, 𝑡=6s et 𝑡=9s. En substituant ces valeurs dans notre formule, nous avons Δ𝑝=5(6𝑡8)𝑡.d

En utilisant la règle de puissance pour l’intégration, nous augmentons les puissances de 𝑡 de 1, puis divisons chaque terme par la nouvelle puissance de 𝑡. Cela nous donne Δ𝑝=53𝑡8𝑡.

Maintenant, il suffit de substituer nos valeurs de 𝑡 et simplifier comme suit:Δ𝑝=53×98×93×68×6=5((24372)(5448))=795.

Nous ne devons pas oublier d’inclure les unités, ce qui nous donne notre solution de Δ𝑝=795/.kgms

Points clés

  • La quantité de mouvement, 𝑝, d’un objet est le produit de sa masse, 𝑚, et de son vecteur vitesse, 𝑣:𝑝=𝑚𝑣.
  • La quantité de mouvement est généralement mesurée en unités de kilogrammes-mètres par seconde, ou kg⋅m/s.
  • Parfois, il peut être nécessaire d’utiliser les équations de la cinématique pour déterminer la vitesse d’un objet afin de calculer sa quantité de mouvement.
  • Si on nous donne une fonction pour la position d’un objet au temps 𝑡, nous pouvons prendre la dérivée de cette fonction par rapport au temps pour obtenir une fonction pour le vecteur vitesse, puis utiliser cette fonction pour calculer la quantité de mouvement.

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