Video Transcript
Une particule commence à se déplacer en ligne droite. Après 𝑡 secondes, sa position par rapport à un point fixe est donnée par 𝑟 est égal à 𝑡 au carré plus quatre 𝑡 moins un mètres, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Déterminez la vitesse de la particule lorsque 𝑡 est égal à cinq secondes.
Ici, on nous a donné la position d’une particule par rapport à un point fixe au temps 𝑡 secondes. C’est une fonction du temps. Et cela signifie que la particule ne se déplacera pas nécessairement avec un vecteur vitesse constant. On doit trouver une expression pour la vitesse de la particule à un instant donné 𝑡 secondes.
Rappelons donc ce que l’on comprend par vecteur vitesse. C’est la variation du déplacement de la particule au fil du temps. Cela signifie que l’on peut trouver une fonction pour la vitesse en dérivant la fonction du déplacement ou de la position de la particule par rapport au point fixe par rapport au temps.
Alors, comment peut-on dériver l’expression 𝑡 au carré plus quatre 𝑡 moins un ? On multiplie chaque terme par sa puissance. Et puis on réduit cette puissance ou exposant d’une unité. Donc, la dérivée de 𝑡 carré est deux multiplié par 𝑡 à la puissance un. C’est juste deux 𝑡. Et la dérivée de quatre 𝑡 est un multiplié par quatre 𝑡 à la puissance zéro. Et 𝑡 à la puissance zéro est un. Donc, cela donne quatre. Et la dérivée d’une constante est zéro. Et c’est parce que c’est actuellement moins un multiplié par 𝑡 à la puissance zéro. Lorsque l’on multiplie par cette puissance zéro, on obtient zéro.
On peut donc dire que la vitesse à 𝑡 secondes est donnée par l’expression deux 𝑡 plus quatre. Et puisque le déplacement était en mètres et que le temps est en secondes, on dit que la vitesse est de deux 𝑡 plus quatre mètres par seconde. Pour trouver la vitesse lorsque 𝑡 est égal à cinq secondes, on substitue cinq dans cette expression. Lorsque 𝑡 est égal à cinq, 𝑣 est égal à deux multiplié par cinq plus quatre. Deux multiplié par cinq est 10.
La vitesse est donc donnée par 14 mètres par seconde.
Et à ce stade, il est utile de nous rappeler un schéma qui peut nous aider à nous rappeler comment relier le déplacement, la vitesse et l’accélération. On a déjà vu que l’on peut dériver une expression du déplacement par rapport au temps pour trouver une expression pour la vitesse.
De même, on peut dériver une expression de la vitesse par rapport au temps pour former une expression pour l’accélération. Et comme l’intégration est le contraire de la dérivation, on peut trouver une expression de la vitesse en intégrant l’expression de l’accélération par rapport au temps. Et enfin, on peut intégrer l’expression de la vitesse par rapport au temps pour trouver une expression pour le déplacement 𝑟.
